Тема 14. Непрерывность функции.

Если функция определена всюду в некоторой окрестности точки (левой полуокрестности, правой полуокрестности) и (, ), то функция называется непрерывной в точке (непрерывной слева, непрерывной справа).

Каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой внутренней точке своей области определения и непрерывна слева (справа) в крайней правой (крайней левой) точке области определения.

Если в точке , то называется точкой разрыва функции . При этом различают следующие случаи:

1) Если , то называется точкой устранимого разрыва функции .

2) Если в точке функция имеет конечные односторонние пределы и , но они не равны друг другу, то называется точкой разрыва 1-ого рода.

3) В остальных случаях называется точкой разрыва 2-ого рода .

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой его точке (в точке - непрерывна справа, в точке - непрерывна слева). Функция непрерывная на отрезке обладает свойствами: 1) ограничена на ; 2) достигает на отрезке своего наименьшего значения и наибольшего значения ; 3) для любого числа , заключённого между числами и , всегда найдётся точка такая, что ; 4) если , то всегда найдётся точка такая, что .