Тема 13. Числовые последовательности. Предел последовательности.
Если каждому натуральному числу по некоторому правилу
поставлено в соответствие одно вполне определённое действительное число
, то говорят, что задана числовая последовательность
.


Число называется пределом последовательности
, и пишут
, если для любого числа
найдётся номер
такой, что при всех
выполняется неравенство
.
Последовательность , имеющая конечный предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Последовательность называется: 1) убывающей, если
; 2) возрастающей, если
; 3) неубывающей, если
; 4) невозрастающей, если
. Все вышеперечисленные последовательности называются монотонными.
Последовательность называется ограниченной, если существует число
такое, что для всех
выполняется условие:
. В противном случае последовательность - неограниченная.
Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Последовательность называется бесконечно малой, если
. Последовательность
называется бесконечно большой (сходящейся к бесконечности) и пишут
, если для любого числа
найдётся номер
такой, что при всех
выполняется неравенство
.
Числомназывается предел последовательности
, где
Постоянную называют неперовым числом. Логарифм числа
по основанию
называется натуральным логарифмом числа
и обозначается
.