Тема 13. Числовые последовательности. Предел последовательности.

Если каждому натуральному числу по некоторому правилу поставлено в соответствие одно вполне определённое действительное число , то говорят, что задана числовая последовательность .

Число называется пределом последовательности , и пишут , если для любого числа найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство .

Последовательность , имеющая конечный предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Последовательность называется: 1) убывающей, если ; 2) возрастающей, если ; 3) неубывающей, если ; 4) невозрастающей, если . Все вышеперечисленные последовательности называются монотонными.

Последовательность называется ограниченной, если существует число такое, что для всех выполняется условие: . В противном случае последовательность - неограниченная.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Последовательность называется бесконечно малой, если . Последовательность называется бесконечно большой (сходящейся к бесконечности) и пишут , если для любого числа найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство .

Числомназывается предел последовательности, где

Постоянную называют неперовым числом. Логарифм числа по основанию называется натуральным логарифмом числа и обозначается .