>>

1. Понятие последовательности. Ограниченные последовательности. Предел последовательности. Единственность предела последовательности.

Под числовой последовательностью х1, х2, x3,..., хn... понимается функция

xn=f(n) (1)

заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается в виде {хn} или хn, nєN.

Число x1 называется первым членом (элементом) последовательности, х2 — вторым,..., хn — общим или n-м членом последовательности.

Чаще всего последовательность задается формулой его общего члена. Формула (1) позволяет вычислить любой член последовательности по номеру , по ней можно сразу вычислить любой член последовательности. Так, равенства

задают соответственно последовательности

Последовательность {хn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого nєN выполняется неравенство

|хn|≤М.

В противном случае последовательность называется неограниченной. Легко видеть, что последовательности уn и un ограничены, а νn и zn — неограничены.

Последовательность {хn} называется возрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется неравенство an+1>an (an+1≥аn). Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.

Все эти последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательности vn, yn, un монотонные, a zn — не монотонная.

Если все элементы последовательности {хn} равны одному и тому же числу с, то ее называют постоянной.

Другой способ задания числовых последовательностей — рекуррентный способ. В нем задается начальный элемент xi (первый член последовательности) и правило определения n-го элемента по (n-1)-му:

xn=f(xn-1).

Таким образом, x2=ƒ(xi), х3=ƒ(х2) и т. д. При таком способе задания последовательности для определения 100-го члена надо сначала посчитать все 99 предыдущих.

Можно заметить, что члены последовательности un неограниченно приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последовательность un, nєN стремится к пределу 1.

Число α называется пределом последовательности (хn), если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство

|хn-α|class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1301/image/3.jpg"> и - бесконечно большие ф-ии в точке а.

Ф-ия j(х) имеет предел в точке а, отличный от 0

Ф-ия a(х) и b(ч) – бесконечно малые

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Произведение двух бесконечно больших ф-ий – бесконечно большая ф-ия.

2. Произведение бесконечно больших на ф-ию, имеющую отличный от нуля предел - бесконечно большая.

3. Ф-ия, обратная величине бесконечно большой – есть бесконечно малая, и наоборот.

СВЯХЬ ББФ с БМФ: Если f(x) – бесконечно большая функция при , то - бесконечно малая функция при Если а(х) – бесконечно малая функция при и - бесконечно большая функция при

| >>
Источник: Неизвестный. Высшая математика. Ответы на экзамен. 2015

Еще по теме 1. Понятие последовательности. Ограниченные последовательности. Предел последовательности. Единственность предела последовательности.:

  1. 83. Теоретическое обоснование и объем применения закона за пределами государств
  2. 1.3 Формальные пределы власти: политико-правовое содержание принципа разделения властей
  3.   2.3. Понятие и признаки акционерного общества в России и предпринимательской корпорации в США
  4. Глава вторая.ПОНЯТИЕ «ИСТОЧНИКА ПОВЫШЕННОЙ ОПАСНОСТИ
  5. §2. Понятие «непреодолимой силы» в советской правовой литературе
  6. Глава VIОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕСТА СОВЕРШЕНИЯ ПРЕСТУПЛЕНИЯИ ПРЕДЕЛЫ ДЕЙСТВИЯ СОВЕТСКИХ УГОЛОВНЫХ ЗАКОНОВ
  7. РАЗДЕЛ I ПОНЯТИЯ ОБЩИЕ
  8. 1. Понятие последовательности. Ограниченные последовательности. Предел последовательности. Единственность предела последовательности.
  9. § 3. Рационалистическая активность и ее пределы
  10. Приложение. Об амфиболии рефлективных понятий, происходящей от смешения эмпирического применения рассудка с трансцендентальным
  11. Примечание 1 Определенность понятия математического бесконечного
  12. Отмена общепринятого понятия времени
  13. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  14. 5.2. Вопросы к экзамену (1 семестр).
  15. 2. Понятия и предложения из теории функций и функционального анализа
  16. Избирательный процесс: различные подходы к определению, понятие и особенности
  17. 1. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах и полные метрические пространства
  18. ПОНЯТИЕ И ПРИЗНАКИ ПРИМЕНЕНИЯ ПРАВА