1. Понятие последовательности. Ограниченные последовательности. Предел последовательности. Единственность предела последовательности.
Под числовой последовательностью х1, х2, x3,..., хn... понимается функция
xn=f(n) (1)
заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается в виде {хn} или хn, nєN.
Число x1 называется первым членом (элементом) последовательности, х2 — вторым,..., хn — общим или n-м членом последовательности.Чаще всего последовательность задается формулой его общего члена. Формула (1) позволяет вычислить любой член последовательности по номеру , по ней можно сразу вычислить любой член последовательности. Так, равенства
задают соответственно последовательности
Последовательность {хn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого nєN выполняется неравенство
|хn|≤М.
В противном случае последовательность называется неограниченной. Легко видеть, что последовательности уn и un ограничены, а νn и zn — неограничены.
Последовательность {хn} называется возрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется неравенство an+1>an (an+1≥аn). Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.
Все эти последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательности vn, yn, un монотонные, a zn — не монотонная.
Если все элементы последовательности {хn} равны одному и тому же числу с, то ее называют постоянной.
Другой способ задания числовых последовательностей — рекуррентный способ. В нем задается начальный элемент xi (первый член последовательности) и правило определения n-го элемента по (n-1)-му:
xn=f(xn-1).
Таким образом, x2=ƒ(xi), х3=ƒ(х2) и т. д. При таком способе задания последовательности для определения 100-го члена надо сначала посчитать все 99 предыдущих.
Можно заметить, что члены последовательности un неограниченно приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последовательность un, nєN стремится к пределу 1.
Число α называется пределом последовательности (хn), если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство
|хn-α|class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1301/image/3.jpg"> и - бесконечно большие ф-ии в точке а.
Ф-ия j(х) имеет предел в точке а, отличный от 0
Ф-ия a(х) и b(ч) – бесконечно малые
Тогда справедливы следующие утверждения:
1. Произведение двух бесконечно больших ф-ий – бесконечно большая ф-ия.
2. Произведение бесконечно больших на ф-ию, имеющую отличный от нуля предел - бесконечно большая.
3. Ф-ия, обратная величине бесконечно большой – есть бесконечно малая, и наоборот.
СВЯХЬ ББФ с БМФ: Если f(x) – бесконечно большая функция при , то
- бесконечно малая функция при
Если а(х) – бесконечно малая функция при
и
- бесконечно большая функция при