З.5. Последовательности

Для систем связи с многостанционным доступом с кодовым разделением каналов (CDMA) требуется, чтобы используемые в них кодовые последовательности имели малые значения автокорреляционных и взаимно-корреляционных функций.

Компактная запись совершенных разностных множеств с параметрами v=127, k=63, А=31 приведена в таблице 3.4. Здесь буквами А, В, С обозначены классы разностных множеств Бомера-Фридриксена [33], а буквами S, L, Н соответственно разностные множества Зингера, Лежандра и Холла.

Единицами в соответствующей строке отмечены те вычеты ctj в первой строке таблицы, которые участвуют в образовании соответствующего данной строке множества по правилу щ 21 , 0Таблица 3.4.

Разностные множества (127,63,31).

ВЫЧЕТЫ aj

5 7 9 11 13 15 19 21 23 27 29 43 47 55 63 S 1 1 1 1 1 1 1 1 П н 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 7 9 11 13 15 19 21 23 27 29 43 47 55 63 А 1 1 1 1 1 1 1 1 1 В 1 1 1 1 1 1 1 1 1 с 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Таким образом, существуют 2 изоморфных разностных множеств Лежандра, 6 изоморфных разностных множеств Холла и по 18 изоморфных разностных множеств в каждом из классов Зингера, А, В и С, т.е.

Интересно, что в отличие от класса S ПСП классов L, Н, А, В и С не линейны и имеют линейную сложность, превышающую линейную сложность т-последовательностей значности 127, для которых она равна 7. Поэтому довольно привлекательным может быть использование этих ПСП в качестве базисных для генерации ПСП GMW. Действительно, линейная сложность у образуемых на их основе ПСП GMW, как показано в разделе 2.6, в

целом оказывается больше, чем у ПСП GMW на основе базисных m-последовательностей. К тому же применение ПСП классов L, Н, А, В, С в качестве базисных для генерации ПСП GMW длины 27J-1, где J>2, приводит к существенному увеличению общего числа ПСП GMW.

ПСП символов Лежандра - ПСП L

ПСП L образуют самый маломощный класс ПСП с двухуровневой ПАКФ из двух ПСП (прямой и обратной), символы которых обладают свойством зеркально-инверсной симметрии. С помощью этого свойства было получено следующее точное выражение для пикового значения ПВКФ ПСП L

вс=у-2 , (3.29)

где v-значность ПСП.

Так, например, для v=127, 0С=125. Отсюда приходим к выводу о нежелательности совместного использования этих двух ПСП в системах CDMA. С другой стороны, компьютерный анализ показал, что среди всех известных 80-ти ПСП с двухуровневыми ПАКФ ПСП L обладают наилучшими корреляционными параметрами автооптимальности (АО), в смысле [8].

Действительно, для них существует такой АО-сдвиг, при котором пиковое значение

нечетной (меандро-инвертированной) АКФ равно QA0 = 13, а энергия боковых лепестков S

[8] равна 1491. Другой не менее важной по значимости особенностью ПСП L является их ВКФ с ПСП S.

85% случаях это значение равно 17. Здесь уместно заметить, что произвольное множество ПСП S периода 127 из 7-ми и более ПСП характеризуется сравнительно большим пиковым значением взаимной корреляции 6С=41. Аналогичные расчеты были также проведены для нечетных ПВКФ m-последовательностей с ПСП L. При этом пиковые значения нечетных ПВКФ для АО-сдвигов ПСП, входящих в 7-ми элементное множество с 6С=19, не превышают 33.

Таким образом, за счет объединения ПСП S с ПСП L могут быть образованы два

непересекающихся подмножества из 7-ми ПСП с 8с=19 и 9Г = 33. Дальнейшие исследования

показали, что объединение ПСП S со всеми остальными классами ПСП приводят к существенному ухудшению их ВКФ.

ПСП классов А, В, С

Внутри каждого класса ПСП введем нумерацию, при которой ПСП с номером к будет

к

соответствовать изоморфный коэффициент 3 mod 127. В соответствие с результатами раздела 3.2 матрица пиковых значений Ру- ПВКФ для каждого такого класса будет обладать следующим замечательным свойством. Каждая последующая строка корреляционной матрицы Ру является циклическим сдвигом вправо ее предыдущей строки. Таким образом, все строки матрицы, начиная с первой, могут быть получены из нулевой строки, при этом достаточно вычислить только первые ее 9 элементов, не считая первого. В таблице 3.5 приведены нулевые строки матрицы Ру для каждого класса А, В, С, а также для класса ПСП S, имеющего тот же самый набор изоморфных коэффициентов. Из анализа этой таблицы следует, что при выборе подмножеств из 9 ПСП класс А оказывается более предпочтительным, так как можно получить 0С=27, тогда как для классов В, С и S 6С=41.

Проведенные на компьютере расчеты пиковых значений ПВКФ пар ПСП, взятых из различных классов, приводят к следующему выводу.

Таблица 3.5.

Пиковые значения ПВКФ ПСП классов А, В, С, S.

І 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 127 23 23 23 23 41 27 41 23 25 23 41 27 41 23 23 23 23 рв 127 23 29 21 25 25 41 31 27 27 27 31 41 25 25 21 29 23 j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 рс 127 41 41 25 23 19 17 23 41 43 41 23 17 19 23 25 41 41 ps 127 17 17 17 17 17 41 41 41 21 41 41 41 17 17 17 17 17

Комбинации ПСП из различных классов А, В, С, S образуют множества ПСП с большими значениями 6С, чем у ПСП исходных классов.

классов С и S имеет параметр 9С=43, в то время как множества ПСП, образованные соответственно из классов А П В, А ПС, В f|C, A f)S, В f]S обладают сравнительно худшими параметрами 6С, достигающими значений 69-5-71. Интересно отметить, что взаимокорреляционный параметр 0с ПСП L с ПСП классов А, В, С составляет соответственно 43,29 и 27.

Для более полного представления корреляционных свойств ПСП классов А, В, С целесообразно рассмотреть их нечетные ПВКФ. Известно, что нечетные ВКФ так же как и нечетные АКФ зависят от выбора сдвигов коррелируемых ПСП. Для нахождения

А

оптимальных сдвигов, минимизирующих значение вс была использована квазиоптимальная процедура поиска. В таблице 3.6 (верхняя часть от диагонали) приведены значения пиков

нечетной ВКФ для последовательностей класса А при оптимальных сдвигах, минимизирующих эти значения. Соответственно, в таблице 3.6 (нижняя часть от диагонали) приведены значения пиков нечетной ВКФ для автооптимальных сдвигах этих последовательностей. Из таблицы 3.6 видно, что существует подмножество из 14

последовательностей класса А со значением корреляционного параметра #с=33. Для

сравнения при АО сдвигах для этого же подмножества ПСП 0С=43. В целом же для ПСП

класса А этот параметр при оптимальных и автооптимальных сдвигах соответственно равен 35 и 47. Заметим, что ПСП классов В, С и S при АО-сдвигах обладают примерно такими же значениями ВКФ, что и класс А.

Таблица 3.6.

Пики нечетных ВКФ последовательностей класса А при автооптимальных и оптимальных

сдвигах.

0 1 2 3 4 5 6 7 1 9 10 II 12 13 14 13 16 17 0 25/21 31 29 31 29 33 31 29 31 29 29 33 33 31 31 11 33 31 1 33 19/17 33 31 23 33 33 27 31 27 27 29 31 33 33 27 29 27 2 27 2$ 2149 29 33 27 31 29 31 S3 29 27 и 27 33 11 29 } 19 33 37 17/17 31 31 33 29 31 11 33 31 31 35 27 31 33 29 4 Г7 25 39 31 21/21 33 29 29 29 31 31 29 27 33 31 27 29 27 3 31 29 29 27 35 21/19 25 29 29 27 31 31 31 35 35 23 33 29 6 57 41 31 31 39 35 21/19 29 29 31 33 35 35 31 29 29 31 31 7 27 27 35 27 25 43 27 23/19 31 27 31 31 35 35 29 31 29 31 S 27 29 27 39 29 29 31 37 21/17 31 27 27 33 31 31 27 29 25 9 41 29 31 35 37 35 33 35 31 23/21 29 27 27 29 13 13 31 27 10 29 41 29 29 31 33 29 27 31 33 29/17 33 33 29 27 31 31 31 II 11 29 47 29 27 39 35 27 35 27 25 23/19 27 33 31 35 29 12 33 29 29 43 25 31 27 31 31 39 33 37 25/17 29 13 33 29 27 :з J7 31 27 25 43 31 33 25 33 27 25 39 31 25/21 2J 31 33 33 14 J5 33 39 31 31 43 27 35 27 31 29 29 27 35 11/19 33 33 33 IS 35 29 35 27 33 27 43 31 17 41 31 31 39 15 23/19 31 29 16 33 27 27 31 23 35 29 47 31 27 27 15 27 25 43 27 31/19 29 1? 31 31 35 3) 33 27 31 17 27 29 27 39 29 29 31 37 21/17

Последовательности Холла Как и ранее, строки корреляционной матрицы значений ПВКФ для ПСП Н могут быть получены из нулевой строки посредством ее циклических сдвигов вправо.

0 1 2 3 4 5

127 41 41 43 41 41

В соответствии с (3.27) наибольшая нижняя граница максимума ПВКФ ПСП Холла

Л

длины 127 равна 0 = (v+2)/3=41, что согласуется с приведенными выше результатами расчета. Дополнительно к этому были также исследованы ПВКФ ПСП Н с ПСП остальных классов. В результате было установлено, что наиболее предпочтительными являются сочетания ПСП Н с ПСП классов В и S, для которых параметр 0С не превышает значения 41,

тогда как сочетание с классами А и С дают 6С=69. Кроме того, для ПСП Н были также исследованы нечетные ВКФ при автооптимальных и оптимальных сдвигах. Оказалось, что в первом случае 9С = 47, а во втором - 29.

Линейная сложность ПСП классов S, L, Н, А,В, С

В недавно опубликованной работе [31] было показано, что последовательности А, В, С являются частным случаем при п=7 трех новых семейств последовательностей, получивших соответственно условные названия: Предложение 3, Предложение 5 и Предложение 1. Причем последовательности всех этих семейств выражаются в виде сумм следовых функций. В соответствии с этим для ПСП классов А, В, С имеем:

a(t) = tr}1(a^)+trl1(ai') + trl7(a2^t) + tr?(al*) + tr?(a29^) , (3.30)

b(t)=tr7(a') + tr7(ai,) + tr7(a2U)^tr7(aii,) + tr7(a29') , (3.31)

с(/) = /г,7(а') + Гг17(а9') + Гг)7(а,3/) . (3.32)

Аналогичные представления также были найдены для ПСП Н и L значности 127 [35[:

НО * "Г («') ¦ (*25') + »1 С*"') . (3.33)

/(t)=i>v"*) . (3.34)

Из выражений (3.30)-(3.34) легко вычисляется линейная сложность этих последовательностей, значения которой представлены в таблице 3.7.

Таблица 3.7.

Линейная сложность последовательностей длины 127.

тип последовательности линейная сложность Зингер (S) 7 Лежандр (L) 63 Холл (Н) 21 А 35 В 35 С 21

Проведенные исследования показали (см. таблицу 2.9), что на основе нелинейных последовательностей классов L, Н, А, В и С могут быть построены ПСП GMW с линейной сложностью, превышающей линейную сложность ПСП GMW на основе т-последовательностей 127.

І Выводы.

1. Предложенный метод изоморфных коэффициентов является эффективным средством исследования взаимно-корреляционных свойств последовательностей, построенных на основе разностных множеств типа Адамара. Этот метод позволяет существенно ускорить расчет на компьютере их ПВКФ, а, следовательно, и построение систем ФМ сигналов с заданными корреляционными свойствами.

2. Природа сверхвысоких пиков ПВКФ m-последовательностей, родственных им ПСП GMW, а также ПСП Холла и Лежандра носит строго детерминированный характер, обусловленный структурной спецификой данных последовательностей.

Наибольшая аналитическая нижняя граница максимума ПВКФ класса т-последовательностей совпадает с аналогичной нижней границей для большинства классов ПСП GMW, при этом сверхвысокими пиковыми значениями будут обладать пары, связанные децимациями dr. Полученные результаты могут быть использованы в системах с CDMA при отборе последовательностей с небольшими пиками взаимной корреляции.

Проведенные полные расчеты ПВКФ ПСП GMW для 6Классы ПСП Холла и Лежандра характеризуются большими пиковыми значениями ПВКФ и малой мощностью, что существенно ограничивает их практическое применение.

ПСП классов L, Н, А, В и С зшчности 127, построенные на основе разностных множеств с параметрами v=127, k=63, Х=31, образуют в совокупности мощное множество из 62-х последовательностей с близкими к идеальным значениями ПАКФ. Использование этих ПСП наряду с m-последовательностями в системах связи с CDMA позволяет значительно расширить возможность выбора множеств ПСП с приемлемыми корреляционными параметрами. ПСП класса А, В, С и Н целесообразно также использовать в тех случаях, когда требуются последовательности с более высокими, чем у т-последовательностей значениями линейной сложности.

7. Другой не менее важной областью применения последовательностей классов L, Н, А, В и С может стать их использование в качестве базисных для генерации новых классов ПСП GMW, что приводит к существенному увеличению общего числа этих последовательностей. Кроме того, в силу нелинейности последовательностей

классов L, Н, А, В и С можно предположить, что образованные на их основе ПСП GMW будут обладать большими значениями линейной сложности.