<<
>>

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е.

все члены последовательности принадлежат промежутку (–М; M).

Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

xn £ M.

Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

xn ? M

Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim xn = a.

В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n®¥.

Свойство: Если отбросить какое– либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример.

Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {xn} = 2.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность {xn}имеет два предела a и b, не равные друг другу.

xn ® a; xn ® b; a ? b.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e– любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

Теорема. Если xn ® a, то .

Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:

, т.е. , т.е. . Теорема доказана.

Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательностьне имеет предела, хотя

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Ограниченные и неограниченные последовательности.:

  1. § 17. Предел числовой последовательности
  2. § 82. Введение и переход от Декарта к Спинозе*
  3. АНАКСИМАНДР
  4. §4.2. Виды формы правления
  5. МОРФОЛОГИЯ. ВВЕДЕНИЕ
  6. СИНТАКСИС. ВВЕДЕНИЕ
  7. Ограниченные и неограниченные последовательности.
  8. Монотонные последовательности.
  9. Тесты по дисциплине «Экономическая теория»
  10. 1. Понятие последовательности. Ограниченные последовательности. Предел последовательности. Единственность предела последовательности.
  11. 4.4. Системы неравенств с одним неизвестным
  12. Примечание 2 (Кантовская антиномия ограниченности и неограниченности мира во времени и пространстве]
  13. Особенности и ограничения в восприятии времени
  14. 5.2. Вопросы к экзамену (1 семестр).
  15. Тема 13. Числовые последовательности. Предел последовательности.
  16. 2.4.8. Допустимость исключения сторонамиобычных императивных норм выбранного договорного статута