Монотонные последовательности.

Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если xn+1 ? xn для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная

{xn} = n – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность {xn}= монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности {xn+1}=

Найдем знак разности: {xn}–{xn+1}=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{xn} = .

Найдем . Найдем разность

, т.к. nÎN, то 1 – 4n 0 существует такое число N, что xN > a – e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. {xn}– неубывающая последовательность, то при N > n а – e < xN £ xn,

xn > a – e.

Отсюда a – e < xn < a + e

–e < xn – a < e или ôxn – aô< e, т.е. lim xn = a.

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана.