<<
>>

Число е.

Рассмотрим последовательность {xn} = .

Если последовательность {xn} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность {xn} – возрастающая. Действительно, запишем выражение xn+1 и сравним его с выражением xn:

Каждое слагаемое в выражении xn+1 больше соответствующего значения xn, и, кроме того, у xn+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {xn} возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: xn < 3.

Итак, последовательность – монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Из неравенства следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {xn} все члены, начиная с четвертого, имеем:

переходя к пределу, получаем

Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа:

Предположим:

Найдем

Число е является основанием натурального логарифма.

Выше представлен график функции y = lnx.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Число е.:

  1. Тема 5. Работа с датами и числами.
  2. § 21. Подчиненное, чисто "согласуемое" положение формальных признаков числа в 3-м лице глагола
  3. 4. Метафизика числа
  4. § 21. Подчиненное, чисто «согласуемое» положениеформальных признаков числа в 3-м лице глагола
  5. Глава 8 Пространственность числа
  6. § 21. Подчиненное, чисто "согласуемое" положение формальных признаков числа в 3-м лице глагола
  7. 1.6. Числовая прямая и числовые промежутки
  8. Примечание 2 [Употребление числовых определений для выражения философских понятий]
  9. Тема 10. Множества. Числовые множества. Функция.
  10. §1. Натуральные, целые и рациональные числа
  11. О ЧИСЛОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ УТВЕРЖДАЕМОГО ТОЖДЕСТВА.
  12. Однозначные числа
  13. Двузначные и многозначные числа
  14. Числа и символика тела
  15. Числа и внутренняя алхимия
  16. Числа, пространство и время
  17. Числа в русской народной духовной традиции
  18. Числа, циклы, история