§ 5. Абстрактное и конкретное число.
Проблема о существовании числа вполне аналогична проблеме об универсалиях, и она получает в схоластике решение, примиряющее враждующие стороны (хотя число вовсе не фигурирует как универсалия).
Но самого Аристотеля интересовала проблема, совершенно не входящая в область схоластических исследований: "могут ли числа быть признаны идеями"51.Могут ли они быть отнесены к умопостигаемому платоновскому мир)', представившему по существу переработку философской мыслью политеистического мира богов, отвергаемого христианством?
Чисто платоновское мировоззрение отличается от платоновско-пи- фагорейского именно тем, что идеи пополняются в последнем числами. По словам Аристотеля, пифагорейцы мыслили числа пространственно. Числа платоно-пифагорейские, так называемые идеальные числа, отличаются от математических, для античных мыслителей всегда конкретных, как идея отличается от ее отображения в мире материи; но вместе с тем они отличаются и от абстрактных, чисел, совершенно чуждых античной мысли, совершенно так же, как идеи Платона отличаются от схоластических универсалий.
Аристотелевское опровержение реального существования таких идеальных чисел52 основывается иа том, что в мире идей каждая единица должна быть индивидуализирована, в мире идей единицы поэтому не могут быть однородны, но каждая должна быть образцом как идея, а при таком положении не может уже образоваться число. Вследствие того же число приходится спустить вниз, оно может быть только конкретным числом.
И не идеальное число Платона, а это конкретное число Аристотеля, состоящее, по его словам, из смешиваемых и однородных, ио обязательно конкретных единиц, эволюционирует в схоластической мысли в абстрактное число, состоящее тоже из смешиваемых и однородных, ио уже абстрактных единиц.
Еще Альберт Великий33 раздваивает число, отделяя формальное, акцидепциалыюе от абстрактного.
из которых первое, приложенное к вещам, остается в них, а последнее переводится в душу.Если мы имеем пять вещей, то число три, приложенное к трем вещам, обязательно должно рассматриваться, как часть пяти, между тем, как абстрактное число, ему соответствующее, должно рассматриваться вполне самостоятельно, а ие как часть объемлющего его числа.
Так как вещей может быть не пять, а семь, девять и т.д., то возникает странная мысль рассматривать приложенное число всегда как часть восходящего над ним числа, и наконец, наибольшего конкретного числа, которое утверждается с отрицанием, согласно Аристотелю, актуально-бесконечного.
Здесь схоластическая мысль приближается к точке зрения современных логиков, определяющих конечное число бесконечным" .
Но бесспорно, что это половинчатое признание реального числа, т.е. признание реальности приложенного, по нашей терминологии, конкретного числа, не устраняет всех затруднений. Как только что указано, с признанием реальности только приложенных чисел ставится высшая граница для реальных чисел.
Но вместе с тем открывается и брешь в другом месте, через которую входит отвергаемая Аристотелем бесконечность.
Получается актуальная бесконечность пар, троек, четверок. Если существует пара камней и пара людей, то есть и пары пар и т.д. до бесконечности.
Один выход из этого затруднения - признать реальность абстрактного числа, признать то, что одно и то же "два" заключается и в паре камней, и в паре людей и, наконец, в паре пар.
Но некоторые схоластики находят другую лазейку: пара разнородных пар уже не признается парой, для такой пары не усматривается числового единства, за ней признается только единство трансцендентное55.
Точно таким же образом разрешается вопрос и о рефлективности36 числа, чуждой реальным вещам.
Свойство это состоит в том, что операция, произведение которой над элементами а, Ь, с... дает А, В, С..., будучи приложено к А, В, С^дает А,, В,, Cj... той же совокупности.
Здесь схоластическая мысль проходит около современной идеи груп- пып: группой, относящейся к операции Q., в современном смысле называется такая совокупность объектов, что операция ?2, произведенная над несколькими из них, дает объект той же совокупности.
Нет белизны белизны, но пара пар. такое же число, как и просто пара. Это, конечно, верно для абстрактных чисел. Но для чисел приложенных это неверно, и приходится возражать, что две пары уже не число, а только множество, связанное не числовым, а только трансцендентным единством,