§ 11. Иррациональное число как отношение98.
У Евклида математическое отношение это не число, это один из видов аристотелевского отношения, Евклид дает ему следующее определение;
"Это некая взаимная зависимость двух однородных величин по их количеству"1'9,
Но определение это остается логически не действующим.
Рабочим является 5-е определение - тождественности отношений100 .
"Величины, - говорится, - суть в том же отношешш, первое ко второй и третьей к четвертой, когда равнократные второй и четвертой, взятые по какому-либо краткованшо, суть таковы, что попеременно каждая каждой или купно равны или купно больше пли купно меньше".На алгебраическом языке
а : b = с : d
если при всяких целых числах, т.е. таких, что
ma > nb также mc > nd та < ab также mc < nd та = nb та к vice mc = nd
Для Евклида, как мы уже выше заметили, число - это собрание единиц, так, что и дробь для него не является еще числом. Между геометрическими величинами и числами еще нет взаимно-однозначного соответствия; отношение двух отрезков, площадей или объемов а;Ь еще не сводится к отношению двух чисел,
Евклиду приходится строить две теории пропорций: величин в 5- й книге и чисел в 7-й книге.
С нашей точки зрения, ему приходіггся повторяться. Но это только с нашей точки зрения, а ие с точки зрения самого Евклида. У него не только нет взаимооднородного соответствия между геометрическими величинами и характеризующими их числами, у него нет и идеи, объемлющей видовые понятия геометрической величины и числа, которая является результатом дальнейшей эволюции математической мысли.
Чисто формальная точка зрения противна Евклиду, определение совокупностью формальных законов ему чуждо.
Число и прямолинейный отрезок (в его терминологии - прямую) он не решается отнести к одному классу в силу тождественности формальных законов, которым подчиняются соответствующие операции над ними.
Величины в I книге (см.
акс, 8) взаимно налагаются.Аксиомы 1, 2, З101:
"Величины, равные одной и той же величине, равны между собой".
"Если к величинам равным придадим равные, то получим равные суммы".
"Если от величии равных отнимем равные, то получим равные" и т.д. все относятся ие к числам, а к геометрическим величинам, т.е. к классу, в который отнюдь не входят числа.
Что является в высокой степени интересным - это то, что эти и другие аксиомы лежат в основе арифметики1" Евклида, так как все ариф- мєтические действия над целыми числами Евклид сводит к действиям над особым классом отрезков, составленных из одного определенного, отвечающего единице.
Между отрезками этого класса и целыми числами существует взаимно-однозначное соответствие, и оно позволяет Евклиду, идя в обратном современному направлении, свести ие геометрию к арифметике, а арифметику к геометрии.
В дальнейшей эволюции математической мысли отношение становится числом. Оба понятия сливаются между собой, потому что законы соответствующих формальных операций над ними оказываются теми же. Здесь начинается тот математический формализм, который в конечном итоге одерживает окончательную победу над противоположным схоластическим направлением, в котором центр тяжести кладется в анализ понятия, а не в формальные операции.
Схоластика резко противополагает число отношению.
Число это абсолютная акциденция. Число - количество, а как таковое, согласно Аристотелю, формально абсолютно.
О количестве говорится не как об относящемся к чему-либо, но как о количестве чего-либо.
Нельзя сказать, что число берется относительно единицы, как из-меренное относительно меры, так как число есть не само отношение, а то, на чем последнее основывается - 5 и 5 : 1 представляют собой различные сущности. Если ввести символ "=", то 5 = 5 : I, во всяком случае, не абсолютное тождество; 5, согласно более поздней терминологии, число-индекс103 отношения 5 : 1, 2 - число-индекс отношения б : 3, причем, такой индекс не всегда существует.
Он не существует для случая отношения величин несоизмеримых, например, диагонали и стороны квадрата.Только у Арно104 отношение становится величиной, хотя еще и с эпитетом "относительной", гак что количеству отказывается в безусловной абсолютности.
Но Ныотои уже всякое число рассматривает как отношение.
"Под числом, - говорит Ньютон'05, - разумеют не собрание многих едииниц, а скорее отношение абстрактное одного количества к другому того же рода, которое рассматривается как единица".
Для того, чтобы и всякое отношение оказалось числом, необходима была арифметизация.
Геометрия, которая через Бертрана106 шла к Лежандру107, уже постулирующему взаимно-однозначное соответствие между числами и геометрическими величинами. Для Лежандра всякое отношение - число рациональное или иррациональное.
Теория геометрической пропорции у него сливается с арифметической.
Можно укачать следующую схему эволюции мысли, ведущей к иррациональному числу из Евклидова отношения:
Реализация отношения: отношение отвоевывает себе право на существование наряду с членами отношения.
Оно становится количеством - относительной величиной, не будучи еще числом.
Всякое число становится отношением, всякое отношение числом.