5.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

1. Интегралы вида òR(x, (ax + b) m1/n1, (ax + b) m2/n2, …)dx, где R – рациональная функция, а mi, ni,– целые числа, вычисляются с помощью подстановки ах + b = ts, где s – наименьшее общее кратное чисел ni.

Пример:

где

2. Интегралы вида сводятся к табличным выделением полного квадрата в подкоренном выражении.

Пример:

3. Интегралы вида вычисляются с помощью известного уже приема – в числителе выделяют производную подкоренного выражения и интеграл представляют в виде суммы более простых интегралов.

Пример:

3. Интеграл вида с помощью подстановки х – a = 1/t сводится к интегралу, рассмотренному ранее.

Пример:

5. Интегралы вида , , приводятся к интегралам от рациональных относительно sint (cost) функций с помощью надлежащей тригонометрической подстановки: для первого

х =а sect (х = а cosect), для второго х = а sint (х = а cost) и для третьего

х = а tgt (x = a ctgt).

Пример:

Контрольные вопросы.

1) Как найти интегралы вида , где R – рациональная функция, а mi, ni – целые числа?

2) Как найти интегралы вида ?

3) Как найти интегралы вида ?

4) Как найти интегралы вида ?

Тест 25.

Найти неопределённые интегралы и выбрать верные ответы:

1) ; 2) .

1) а) б) .

2) а) б) .