5.3. Интегрирование рациональных функции.
Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби – отношения двух многочленов (без потери общности полагаем, что они не имеют общих корней).
Если степень числителя ниже степени знаменателя дробь называют правильной, в противном случае - неправильной.
Неправильную дробь (m ? n), разделив числитель на знаменатель, можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби
. Рациональные дроби вида: 
; 
; 
; 
, где k – целое положительное число ? 2, 
называются простейшими дробями 1, 2, 3 и 4 типов. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей, интегралы от которых рассмотрены ниже.
1. 
(5.23)
2. 
(5.24)
3. 
Применим следующий способ. Найдем дифференциал знаменателя d(x2 + nx + q) = (2x + n)dx и представим числитель в виде суммы 
, тогда
(5.25)
Интеграл от простейшей дроби четвёртого типа легко вычисляется с помощью тригонометрической подстановки и будет рассмотрен ниже.
Разложение рациональной дроби на простейшие можно осуществить опираясь на следующие теоремы (приводятся без доказательств).
1. Если х = а есть корень знаменателя кратности к, т.е. f(x) = (х – а)кf1(x) где f1(а) ? 0, то правильную дробь 
можно представить в виде суммы двух других правильных дробей 
, где А – постоянная, отличная от нуля , а F1(x) многочлен, степень которого ниже степени знаменателя (х – а)к–1f1(x).
3. Если f(x) = (x2 + nx + q)mj1(x), где многочлен j1(х) не делится на x2 + nx + q, то правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом: 
, где Ф(х) – многочлен, степень которого ниже степени многочлена (x2 + nx + q)m–1j(x). Применяя к дроби эти теоремы, можно выделить последовательно все простейшие дроби, соответствующие корням знаменателя f(x). Т.е. если f(x) = (х – а)a(х – b)b …(x2 + nx + q)m… (x2 + lx + s)n , то дробь представима в виде:
Коэффициенты А, А1, …, В, В1, … определяют исходя из того, что последнее равенство есть тождество. Приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителях слева и справа. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов А, А1, …,В, В1, …
Пример: используя предложенный способ разложим на простейшие дроби 
. Приведя слагаемые к общему знаменате-лю и приравняв числители, получим х2 + 2 = А(х – 2) + А1(х + 1)(х –2) +А2(х + 1)2(х –2) + В(х +1)3 или х2 + 2 = (А2 + В)х3 + (А1 + 3В)х2 + (А – А1 – 3А2 + 3В)х +
+ (–2А – 2А1 – 2А2 + В).
Приравнивая коэффициенты при х3, х2, х, и х0 (свобод-ный член) получим систему,
решая которую, найдем: А = –1, А1 = 1/3, А2 = – 2/9, В = 2/9
В результате получим: 
.
Чтобы вычислить интеграл от рациональной дроби, нужно, если дробь неправильная, представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби, а дробь разложить на сумму простейших.
Пример: 
Контрольные вопросы.
1) Что называется дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью)?
2) Назовите четыре типа правильных рациональных дробей.
3) Как найти интегралы от простейших рациональных дробей 1-го и 2-го типа?
4) Как найти интегралы от простейших рациональных дробей 3-го и 4-го типа?
Тест 23.
Найти неопределённые интегралы и выбрать правильный ответ:
1) 
; 2) 
.
1) а) 
; б) 
;
2) а) 
; б) 
.