<<
>>

5.3. Интегрирование рациональных функции.

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби – отношения двух многочленов (без потери общности полагаем, что они не имеют общих корней).

Если степень числителя ниже степени знаменателя дробь называют правильной, в противном случае - неправильной.

Неправильную дробь (m ? n), разделив числитель на знаменатель, можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби .

Рациональные дроби вида: ; ; ; , где k – целое положительное число ? 2, называются простейшими дробями 1, 2, 3 и 4 типов. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей, интегралы от которых рассмотрены ниже.

1. (5.23)

2. (5.24)

3. Применим следующий способ. Найдем дифференциал знаменателя d(x2 + nx + q) = (2x + n)dx и представим числитель в виде суммы , тогда

(5.25)

Интеграл от простейшей дроби четвёртого типа легко вычисляется с помощью тригонометрической подстановки и будет рассмотрен ниже.

Разложение рациональной дроби на простейшие можно осуществить опираясь на следующие теоремы (приводятся без доказательств).

1. Если х = а есть корень знаменателя кратности к, т.е. f(x) = (х – а)кf1(x) где f1(а) ? 0, то правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей , где А – постоянная, отличная от нуля , а F1(x) многочлен, степень которого ниже степени знаменателя (х – а)к–1f1(x).

3. Если f(x) = (x2 + nx + q)mj1(x), где многочлен j1(х) не делится на x2 + nx + q, то правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом: , где Ф(х) – многочлен, степень которого ниже степени многочлена (x2 + nx + q)m–1j(x). Применяя к дроби эти теоремы, можно выделить последовательно все простейшие дроби, соответствующие корням знаменателя f(x). Т.е. если f(x) = (х – а)a(х – b)b …(x2 + nx + q)m… (x2 + lx + s)n , то дробь представима в виде:

Коэффициенты А, А1, …, В, В1, … определяют исходя из того, что последнее равенство есть тождество. Приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителях слева и справа. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов А, А1, …,В, В1, …

Пример: используя предложенный способ разложим на простейшие дроби . Приведя слагаемые к общему знаменате-лю и приравняв числители, получим х2 + 2 = А(х – 2) + А1(х + 1)(х –2) +А2(х + 1)2(х –2) + В(х +1)3 или х2 + 2 = (А2 + В)х3 + (А1 + 3В)х2 + (А – А1 – 3А2 + 3В)х +

+ (–2А – 2А1 – 2А2 + В).

Приравнивая коэффициенты при х3, х2, х, и х0 (свобод-

ный член) получим систему,

решая которую, найдем: А = –1, А1 = 1/3, А2 = – 2/9, В = 2/9

В результате получим: .

Чтобы вычислить интеграл от рациональной дроби, нужно, если дробь неправильная, представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби, а дробь разложить на сумму простейших.

Пример:

Контрольные вопросы.

1) Что называется дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью)?

2) Назовите четыре типа правильных рациональных дробей.

3) Как найти интегралы от простейших рациональных дробей 1-го и 2-го типа?

4) Как найти интегралы от простейших рациональных дробей 3-го и 4-го типа?

Тест 23.

Найти неопределённые интегралы и выбрать правильный ответ:

1) ; 2) .

1) а) ; б) ;

2) а) ; б) .

<< | >>
Источник: Гофман В.Г., Брусник Н.А., Семёнова С.В.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов технологических и механических специальностей, всех форм обучения. Часть 2. - МГУТУ, 2004. 2004

Еще по теме 5.3. Интегрирование рациональных функции.:

  1. § 42. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен
  2. §43. Интегрирование простейших рациональныхфункций
  3. § 45. Интегрирование тригонометрических функций
  4. Содержание часть 1
  5. 5.3. Интегрирование рациональных функции.
  6. 5.4. Интегрирование тригонометрических функций.
  7. 5.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
  8. Вопросы для самопроверки.
  9. Содержание
  10. Содержание дисциплины
  11. ПЕРЕЧЕЬ ТЕМ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ (СЕМИНАРСКИХ) ЗАНЯТИЙ
  12. Интегрирование рациональных функций.