Интегрирование рациональных дробей

Дробной рациональной функцией называют частное от деления двух многочленов. При этом можно считать, что степень многочлена, стоящего в числителе, ниже степени многочлена в знаменателе (в противном случае, можно выделить целую часть, разделив "углом" числитель на знаменатель).

Как известно, из теории многочленов, каждый многочлен может быть представлен в виде произведения многочленов (разложен на множители) первой и/или второй степени в зависимости от того, действительные или комплексные у него корни, причем кратным корням отвечают одинаковые множители. В соответствии с этим, рациональная дробь представляется в виде суммы некоторого количества выражений следующих видов: , , , , где ‑ трехчлен с действительными коэффициентами не имеет действительных корней.

Рассмотрим, как находятся интегралы от этих простейших дробей.

1. (подстановка ).

2. (применяется та же подстановка).

3. Следующий интеграл находится путем такого преобразования:

.

Произвольную постоянную здесь можно опускать, пока в правой части равенства есть хоть один интеграл. Первый из интегралов найден с помощью подстановки:

.

Оставшийся интеграл путем несложных преобразований (выделение полного квадрата) легко привести к виду:

,

который приводится к табличному с помощью подстановки , что дает в результате .

4. Последняя из простейших дробей интегрируется следующим образом.

Сначала, как и в предыдущем случае, представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов, один из которых легко берется:

.

Оставшийся интеграл несложными подстановками сводится к виду:

Обозначим его . Для нахождения этого интеграла применим способ интегрировния по частям.

Пусть .

Тогда получим (для любого ):

.

Из полученного уравнения можно найти . Полученная формула (рекуррентная) позволяет снизить порядок, т.е. перейти от интеграла к интегралу с показателем на единицу меньше. Так, последовательно понижая порядок до единицы, можно прийти к табличному интегралу.

С помощью подходящей замены переменной к интегрированию рациональных дробей сводятся интегралы от различных функций.