Теорема об интегрировании подстановкой. Теорема об интегрировании по частям.
Теорема об интегрировании подстановкой
Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:
Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:
По рассмотренному свойству №2 неопределенного интеграла:
f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt
что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением.
Теорема доказана.
Интегрирование по частям:
Способ основан на известной формуле производной произведения:
(uv)¢ = u¢v + v¢u
где u и v – некоторые функции от х.
В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu
Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:
или
;
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.
15.