§ 45. Интегрирование тригонометрических функций

Л(зтх, cos х) = Ri (sins) - cosx, то подстановка t = sin аг, dt = cos xdx приведет к

J Лі (sin x) cos x dx j Йі(і) dt.

Пример 7. Найти интеграл /7 = f

_ _ J ^ "T

Решение. Замена t — sin ас t тогда

dt

Ззіл x і

=J

- \ In [2 4- 3t\ + C^ \ In |2 -j-3 sinx| + С

2+ 3t 3 V. Если рассматриваемая функция

/?(sin а^совх) Й2(сшх) - яіпх,

то замена на Ь — сов г, dt = - sin xdx приведёт к

і

| Д^Ссозх) • sinxtir — -

Пример 8. Найти интеграл /в = [

sin xdx З + соаа х"

Решение. Замена it = rasi, тогда dt — sin xdx и

-J

dt

arctg + С =

1 , cos x . л

arctg —?=- -Ь С,

34- і* V3 * у/% ' УЗ ь v'^

VI. Рассмотрим интеграл вида jsin™ х - cos4 xdx.

1) По крайней мере, один из показателей, т или тц — целое нечётное положительное число. В этом случае рассматриваемый интеграл сводится к IV или V.

Г COS

Пример 9, Найти интеграл

¦ vein х 324

Г 2 J

СОВ X ¦ cos х ах

X

Решение.

= j" d(Binx) = I (г І - tl) dt -

= 2Vt - + 2Vsmx - % (sins) 5 + С.

Оба показателя, man,— чётные положительные числа. В этом случае степени могут быть понижены вдвое: применив известные формулы из тригонометрии (см. Приложение)

sin х ¦ cosx ~ ~ sin 2х\ sin2 х = ^ (1 - cos 2ar)i

cos2 х — ~ {1 + cos 2х).

?t

Пример 10. Найти интеграл До * J sin.2 ас cos4 xdx. Решение,

ho = j (зіїїя ¦ vq&x)2 - cos2 xdx = ~ J3*®* 2л; - (1 + cos 2x) dx =

= ~ I sin2 2x dx + g J sin2 2x cos 2x dx = ^ [ (1 — cos &x) dx +

4- ™ f sin2 d(sm2x) JL sin3 2x ~ ± s\n4x + + С. 16 J 43 64 16

Оба показателя, тип, — чётные, причем хотя бы одни из них отрицательный. В этом случае применяется подстановка: t = tgx нли ? = Ctff ЛГ.

Г dx

Пример 11. Найти интеграл/ц. = * —

J соз ї ¦ sin dx

Решение. Заменим t = fcgx, тогда dt —;

cos x

- 0+ihi" (I+?)3-

COSTTIX * cos nx dat, JsShms ¦ sinnz dx.

VIL Интегралы вида I shims ¦ cosrcsdtf.

= tg я - 3 ctgz - ctg3 т — ^ ctg^ x +C.

Эти интегралы легко находятся с помощью следующих формул: sin ттсз: * cos пх = ^ [ein(m + 4- —

cos л\х ¦ cos7i:c » ц fcosfm 4- + cos(rti — n)x],

ainrrtx ¦ sin их — ^ [cos(m — rt)x - cos(m 4- n)x}.

Пример 12. Найти интеграл jfa — j cos7i * cos ILcdi, Решение-

112 — t: I [со* I8x ¦+¦ cos 4x] dx = ~ sm -j- ™ sio 4x 4- С- ?r J JO H

В заключение отметим следующее.

I. В зависимости от применяемых приёмов интегрирования интеграл от одной и той же функции может иметь разные по форме ответы. Поясним это на примерах.

Пример 13» Найти интеграл Іщ *

Решение, а) если интегрировать непосредственно, то

Г ' т3

/и = (я3 + 2х + 1) dx = ~ 4- X2 + г + С;

б) если интегрировать методом введення переменной под знак диф-ференциала, то

Лэ

(я 4-1 4-1) + у +z2 +Х+І+С!-

Отсюда видно, что при О ^ — 4- С\ оба результата равны. Рассмотрим ещё один пример.

г dx

+ sin а:

Пример 14. Найти интеграл = I — Решение. Учитывал, что

1 4- smi = 1 +cos

имеем:

-U

4-c.

Ju

dx

сов

(f-5)

Однако, если применить универсальную подстановку t — tg —, то

м

1 ¦ ¦ 1 ¦ 2f П + j 2dt

l+ain® —14 —5 = -—-з-; dx — ——г;

1 +1 14-і3 1 + i*

2dt

Ы =

+ Gi-

+ <7i

dt

(1 -hi)2 Ги*

X

(1 + і? . І + г

Для того, чтобы получить одинаковые по форме ответы, заменим

tgf - 1 + 1-1

- 15

t + te5

* я + 1

l+lg5

tgU 2/ i+tB;.teS

1 + tgx

Таким образом, при С] =; С + 1 ответы равны (см, теорему 20)

2. Рассмотренные нами методы и приемы интегрирования позволяют найти такие интегралы от элементарны* функций, которые выражаются через элементарные функции. Однако не всякий интеграл от элементарной функции может быть выражен через элементарные функции К числу таких интегралов относятся, например.

• Ji

sin X

dx

dx

X

[ \/l — k2 sin2 х dxj е drc, j аІпя2 dx

и многие другие.

Задание, Учитывая вышеприведённые вычисления первообразных, проверить нахождение следующих интегралов:

L | Ux3 + ea+bl + sin (11 - 5s) + ) dx =

= X4 + і ea+bx + І cos.(U - 5x) + A XT -Ь C.

о 5 17

-i/Ъ

cos 8® -

Хл/Х

Xі + I

sin 8л; + їх

+ -x)ds - I sinВз; + -L + І¦ I \n(x2 + 1) + C?

J Ї +1 9 V® 3 2

3 [ _cos3: ~ 7gilia; ^ _ г jjgjflf hi- 7cggj0 _ q _ і

' J (sinя; + 7cosx)^ J (sins + 7 cosx)* sma: + 7i

СОДгЯ

stna x + cos2 x сон5 x sin3 x

dx

-J

4

dx

сое2 x sin5 x

- f f—V- + -V) dz = tgx-

і \ cos X Sill x J

-ctgx + C.

14.|sin4 хcos2 xdx = і J(1 — cog2x)2(l + cos2x) dx —

I

a j

(1 — cos 2x — cos^ 2x -t- cosd 2x) dx = Ї — — sin 2x —

8 1&

^ J(l + cus4x)(fc: + - sin3 2x)rfsin 2x =

15,

j sm3 xdx — - ain^ х^соая « j [cos2 x — 1)с!сойл: =

— — COS x 4- ^ cos3 x -h C.

о

16. J cos3 xdx — I (1 — sma a;) dsinx -sini- - slna x + C* - - if X3 4- 2x , f dxQ 1 Г dx* , a , I , и , 4, , ^

dsinx

I — sin2 X

I — sin X 1 -f- sinx

>

і сов X J COS X J

X

= -In

X

l+tg5

dx

1 з

~ -x nxctg x —

О

19. jx2 arctg xdx =

и» arctgx, dii =

1 + я

x2 dx — du% v -

dx —

X + 1 — 1

z3 +1

= І x3 arctg a; - l-x2 + ~ lu(l + Xа) + C-

dx

>1 -fvf

vT

20. I Eircsin x dx =

u = axcsmx, du =

= xrarcsmx —

1 f _ x^

329

dx = dv, f — ^

— x arcsin x + ? I У — $ «resin x + y/l -x2 + C.

Уі -Xа 2 J i/l

dt

Л * I «Г 1 — t-h2T <й Л

=1

+ f*+iP(i + о

ш

—JC

с

1 -t + 2t* - ^ г l-t + ЯГ <& * f 1-С + 2Г t" 4-

x

+ C.

_ 6 f dt _ 6 f ґ X ct? 6 In [ —І = 6 Іті

1+

-b\t(l + t) °J \t t+1/ [l + tl

dx

J cos11 J J vcos'a; /

„ f 8в3+6ваЧ-10я?Н-Ю ^ Г СД+Д)3 1J , _

f Г-^-Г - , 2 dB In ]* - 1[ + 3—T + C.

J - 1- (X +2fJ 1 1 {as + 2)

¦к

л + а

•J

2G

+ з - /

(г 4 3)

д3 4 4 2lx + 21 (г + 3)а(*4 4 3)

]=В + С С «1-5 С = 1 - Б С = 1

9 = А 4 3S 4 6С + ? Ъ = А-ЪВ + D \ = А-2В А = 1

X

з*

21 ='6В + 9С-h 6L> 2 ~В 4 D 1 = Л4бВ В = О

21 =-~ ЗА + 9В + 9L> 1 = А 4 ЪВ 4 ZD D — 2 + В D — 2

" " ЇТ5 Ч + 3) + ^ *rctg 4 С

Отметим, если бы мы не заметили в примере 25, нто числитель можно представить в виде (a; -f З)3 - 2(х — l)f то нужно было бы представить подынтегральную функцию в виде

В

х-\ 0 + 2)3 (і + 2)г а: + 2' где коэффициенты Д І?, Су D удовлетворяют системе уравнений

х

А - 1

и В = - 2 С= D = О

1 = А + D 6 = + C+3D 10 = 12А -\~В + С 10 = ЗА ~ В — AD — 2С

Г dx _ 1 Г + а' - xe .

21- J (PT~ 7 J + J? йх ~ a2 J "r7?^ Й2 J С^+й")"'

_ і _ ? dx

V> — CLO ' ¦ ^ ^ ^ ї

f д ^ — I 'ЛІН = I ' + a )

] rfic _

..а і -

ГС

I I J Л

^ + — arctg-,

+ J 2(*J + a2) 2{я* + a3) ' 2a

л

® ana(as3+aa)

т^ТЇ = CT»"*!! + * + a

(a^+O 2c Другой способ-

Замена a; = atgi, da; = -^jr, t = arctg-, siritcosi " 5- -

cos ? 1+tg t

2

ClU

Jt a2(l+tgst)=~Arr;

COS I

(TOj* " 7 If Л = ^ ((1 + <» It) Л = ^ (t + і sin 2t) =

= JL (? + sintcost) = і arctg ? + j j д.- + (см. также § 48).

= ^ /{од; + Ь) + С,

xf"(x) dx —

и ~ x} du — dx, dv = fff(x)dx, v - j f"{x) dx = f'{x)

= xf'{x) - I f'(x) dx = xf'(x) - fix) + a

29. Найти f(x)> если

1) f'(x2) = i, x > 0; 2) f (si;n2 x) ^

Замена t = + + С, полагаем t = я и получаем f{x) — 2^/x -f C.

t — sin^s, cos2 л; a 1- sin2 я - 1 -t, /'(ріп^я) = f'(t) - 1 — tt

f(t) = t —' -t2 -\-C полагаем x = i, имеем f{x) = x -

j? ?

и --- ^/x2 ± a2, dv — dx,

, X dx

du = —7:f = x

30, /=JVs2±a2

T5 ^й"3

/^ftt2

dx —

2 ±a2

=- x\fx2 ± a2 — Г —- — iV^3 =Ь а3 — [ * % J Vi2 ± ^ J v^

= x\/x2±a2 - \ Ї/Х2 ±a*dx ±a2 \

J . J Vx*±

= x\/x2±a3 у/х^То?

Получаем уравнение относительно J:

і - J ± а2In х +

Отсюда

і Jdx « і jrvV rfea2 ± і aaIn |® + \Ai2 ±a2 | +C.

31. J di = І+ ^

a: + ~ 1 -~dx =

g — 3/2 у

32,

l/l + х — х2' dx —

>/5 1

= а2 - t2, a, = ? = і — eft — fie

- j Vfl.2 - t2 dt = (см. пример 25 §41) - у ш-csin І + - і2 -

і2 + С.

6 . 2х-1 , 2х - 1

=я ~ arcsm —-I —

G 4

33.jVax + l = ^

ах + 1 = і2, 2tdt — ах Laacfo,

, 2 tdl ax —

(t - l)ln«

2 Г fdt 2 ft3 -1 +1 ^ 2 / 1,

+ a

х/а^П - 1

- ifr vW,l

in a

V«T +1 + 1

Ve*"TT - 1

+ G. + C

При a = e, j +1 — ^ve^TT + In ^ -у

34 [ ^ _ J_ Г dt = JL in [v^TT - 1 J \/ax -b 1 lna J t" - і in a j

+ 1 +1

-K

1 , ^ 1 + e

dx m j

dx

2i

1

35 jq+e")3 , r l + e*

+ e

dfi*

1 + CO

х-У 2 arctg e* 4- C.

1

Ф — —

—

s3 + j s4 +1

arctg

36.

У2

1 , - I

—re arctg %/2 ¦ з;\/2

de¦

E* dx

cil

37. [

— arctg е® + С.

- Г ^ f „?

1 + Ю

ц — Of

e -be

™ J * . 1 " J U1

J* I

В H ї

Учитывая, что

т ¦ xdx

х2 dx

J +

f xdx j

/ Я ' 77™ BS dv, І) =

2 я: u, du = dx

д: 1 Г ^я _

2(l-n)(«x!

Jn— If

+ ~ 2(1 - п) J рТТр1" L

тгда

2(1 -п)(в" + аґ)' 1

2(1 - n)

получим

Л " - IK** + + Jn l'

2) Jn -

и = siIIті 1 я, tfrx = (rt — 1}Sin71 2 ?cos xdx,

sin xdx — dv, v = — cosx = —тевіРаЬй4^1 x-f- {n — l)|s]n™-ascos2a:?ir =

= - cosrsmn_1 x + (n — — (n - 1) Jn.

Отсюда

T 1 ¦ ll—'l . ft — 1 T

Jn = COS X Sin X + J„ -2 ¦

П П

-(

3) Jn ~ j соб* X dx =

= sin x coan +

и — cos™'1 x7 du = -(л — 1) cos""2 zsinn{Ід;

dv — cos x dx, v — sin я

Отсюда

T 1 ' tl-1 , Tt — 1 *

л «я — 3111ЯГ COS 1 X + — Jn-2- П A

Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников

Определённый интеграл и его свойства 337

Л.

dx

Ґ cos X і sirf^

-J

dx + JT.

cos3 X + sin; x

dx

J sins

2 xdx

(cos si

и — cos xj du — — sin x dx,

COSS j j, 1 '

sin3: я:

dx — dv, v -

sin4 x

I - n sin" 1 *

r f ^

J (1-ті)sin"-'

1 cos a; 1-n, am " " x

?

СОЙ jr sin'

1 cosx , n — 2

1 -n sin""1 X П- 1 -2

1 COSX 1 J J

J = Ц r ,—— Jfl-^ + ^n-^i

І - n sin з; 1 — n

Л -

, r , г sin x і

1

Sinn;

= Л-2 +

Ї1 — 1 COSn 1 X 71 - 1 n-2

Jn-2*

sin a;

Jn =

* ... 1- 1-

Л — 1 COS71'1 X Пг ~ 1