<<
>>

§ 45. Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегрирование функции ?теоз;г), где символ R

означает рациональную функцию своих аргументов. Интеграл от такой функции находится путем замены переменной. Рассмотрим некоторые особенности интегрирования данной функции.

I. Универсальная подстановка t = tjf JJ-J — < х < тг. При этой под-становке имеем

8ШІС =

2sm- cos- 2 sm - cos — 2 Eg ^

і _;_2 я , —; , " Г.

зт ~

зі p 2 T j 2 і

coa a; -

cos д ^ COB - -sm - l-tg^g

1 '^JTl^* " 1 + E ITT5'

cos - + sin 0

Ut

2 *

г = 2 arctg

1 +1

dx

RkllLt

Ч- tg2 -

-jHS то

Тогда j Л(5Іпх,ео5т) dx = j Л Ьк?) ІЇ?'

Пример 1.

Найти интеграл І\ =

Решение, Так как —

зш x

-rC.

il^ll 2lU«f rrftsl ._. i s

——^— ^ГЇЇГ — —^ rs ^

1 + j tg-

Аналогично вычисляется интеграл

!L»_,n|tg(*-f)| + C-

_du sin

I = f-^ Г dx

J J 5in(~-x)

3 + 2 cos sc.

Пример 2. Найти интеграл = J

1-І

Б + ї

Решение. Преобразуем 3 + 2coax=t=3 + ^ — ГТТз

і т t I + с

Г (1 +

{5 + t*)(l

)(1 +11) J 5 + ? Уб & л/5

* *

4- G

= 7stircfcg

1 Гл. VI

322

^шпегралъной исчисление^

х

Данная подстановка t => tg— всегда приводит интеграл от функции R(sirix, cosx) к интегралу от рациональной функции аргумента поэтому её называют универсальной подстановкой. Однако эта подстановка нередко приводит к сложным вычислениям. Перечислим некоторые частные случаи интегралов от тригонометрических функций, когда вычисление может быть упрощено, если применить другие подстановки.

II. Если подынтегральная функция содержит sin а; и созд; только а чётных степенях, то применяется подстановка t В втом случае

интеграл от рассматриваемой функции более просто приводится к интегралу от рациональной. Учитывая, что sin2x + cos2x — 1, и разделив это соотношение на cos3 я, а второй раз — на sin2 х, получим tg3 х + + 1 = 1/ cos'J х\ 1 + Qt^x — l/sjir* х. Отсюда

cos2 х =

sin3 X —

х

•і t

1 I

rgJar _ _Г

1 + t

1+Ctg:t 1 + lg'tf l+(

dt

x = arctg t, fine = ——j.

1 + r

dx

Пример 3. Найти интеграл /"з = —

It l + t!

COS X

г, TO

J 1 І

Решение. Так как 1 S- cos"1 х =

dt

1 + t'

2+f 1+Г

Пример 4, Найти интеграл І4 — —-

J 3 si

dx

¦ч - 2 - з

3 Sin х + О COS х

Решение. Преобразуем знаменатель подынтегральной функции;

5 + Зі

Ги3

» • 2 , е. 2 Зі2 , 5 38№ х 4 5 cos* х - Ї + ^ м

1 + r

1+Ґ

Тогда получим

= ТТ? = 5V®

¦л

Ш. Если подынтегральная функция зависит только от tga, то также можно применять подстановку і tgx.

Пример 5. Найти интеграл /5 = j —,—.

J J + tg jB

Решение, Производя замену і = tgx, получим; х = arctg , іit

1 + t'

dt

1 Г tdt 3

71 T" Tn

10

20

10

{3 + 00 + h

/б -

УЛ t, 1 Г

+ i + ~~ lo J з + t

10

A Ї = ^ 4* + 3[ - 4 in(l * і*) -ь 1 arctg t +

l + t

+

c= ^ ln|tg* + 3j - ^ la i/l + tg^ + + С = ~ +

In

Lgz+ 3

10 ч/ц- tg2*

j

— — + — In j sin x 3 cos + С.

Аналогично находится интеграл Ji — I ——.

1 J J я +Otg:t

dx

til1

а + Ь tg s

и

- * [f ^ + ^\= — {ag -f bin (a + btgt) - \ 6!n —

ft +o V * '

tf + b

[a x + b In |a cos x +¦ 6 sin а; |) + C.

Здесь учтено, что a.rcfcg(tg a?) = ar, 1 4- tg- x — cos 2 3;,

Пример Найти интеграл /в = J tg3*^ Решение.

Положив t — tg і, получим:

- 1

= ^ tg2:r-F- lnicosttj 4- ??.

&

її'

Отметим, что интеграл айда = tgmxdx можно найти, используя

1

^ о-

tg'а;

QQ&2 X

— 1. Тогда

m—2

xdx ~

1 m

= Ibk"1)''2- J w—«*•) - J

Т^11™- 1

_ r.g x m — 1

Повторяя этот приём, приведем интеграл 1т при чётном m к интегралу

j tg х dx =

J

j dx = x, а при m нечетном положительном — к интегралу = — Infcosxf, при т нечётном, но отрицательном — к интегралу ctga: da; — In | sin x\. IV, Если рассматриваемая функция

Л(зтх, cos х) = Ri (sins) - cosx, то подстановка t = sin аг, dt = cos xdx приведет к

J Лі (sin x) cos x dx j Йі(і) dt.

Пример 7. Найти интеграл /7 = f

_ _ J ^ "T

Решение. Замена t — sin ас t тогда

dt

Ззіл x і

=J

- \ In [2 4- 3t\ + C^ \ In |2 -j-3 sinx| + С

2+ 3t 3 V. Если рассматриваемая функция

/?(sin а^совх) Й2(сшх) - яіпх,

то замена на Ь — сов г, dt = - sin xdx приведёт к

і

| Д^Ссозх) • sinxtir — -

Пример 8. Найти интеграл /в = [

sin xdx З + соаа х"

Решение. Замена it = rasi, тогда dt — sin xdx и

-J

dt

arctg + С =

1 , cos x . л

arctg —?=- -Ь С,

34- і* V3 * у/% ' УЗ ь v'^

VI. Рассмотрим интеграл вида jsin™ х - cos4 xdx.

1) По крайней мере, один из показателей, т или тц — целое нечётное положительное число. В этом случае рассматриваемый интеграл сводится к IV или V.

Г COS

Пример 9, Найти интеграл

¦ vein х 324

Г 2 J

СОВ X ¦ cos х ах

X

Решение.

= j" d(Binx) = I (г І - tl) dt -

= 2Vt - + 2Vsmx - % (sins) 5 + С.

Оба показателя, man,— чётные положительные числа. В этом случае степени могут быть понижены вдвое: применив известные формулы из тригонометрии (см. Приложение)

sin х ¦ cosx ~ ~ sin 2х\ sin2 х = ^ (1 - cos 2ar)i

cos2 х — ~ {1 + cos 2х).

?t

Пример 10. Найти интеграл До * J sin.2 ас cos4 xdx. Решение,

ho = j (зіїїя ¦ vq&x)2 - cos2 xdx = ~ J3*®* 2л; - (1 + cos 2x) dx =

= ~ I sin2 2x dx + g J sin2 2x cos 2x dx = ^ [ (1 — cos &x) dx +

4- ™ f sin2 d(sm2x) JL sin3 2x ~ ± s\n4x + + С. 16 J 43 64 16

Оба показателя, тип, — чётные, причем хотя бы одни из них отрицательный. В этом случае применяется подстановка: t = tgx нли ? = Ctff ЛГ.

Г dx

Пример 11. Найти интеграл/ц. = * —

J соз ї ¦ sin dx

Решение. Заменим t = fcgx, тогда dt —;

cos x

- 0+ihi" (I+?)3-

COSTTIX * cos nx dat, JsShms ¦ sinnz dx. 325

VIL Интегралы вида I shims ¦ cosrcsdtf.

= tg я - 3 ctgz - ctg3 т — ^ ctg^ x +C.

Эти интегралы легко находятся с помощью следующих формул: sin ттсз: * cos пх = ^ [ein(m + 4- —

cos л\х ¦ cos7i:c » ц fcosfm 4- + cos(rti — n)x],

ainrrtx ¦ sin их — ^ [cos(m — rt)x - cos(m 4- n)x}.

Пример 12. Найти интеграл jfa — j cos7i * cos ILcdi, Решение-

112 — t: I [со* I8x ¦+¦ cos 4x] dx = ~ sm -j- ™ sio 4x 4- С- ?r J JO H

В заключение отметим следующее.

I. В зависимости от применяемых приёмов интегрирования интеграл от одной и той же функции может иметь разные по форме ответы. Поясним это на примерах.

Пример 13» Найти интеграл Іщ *

Решение, а) если интегрировать непосредственно, то

Г ' т3

/и = (я3 + 2х + 1) dx = ~ 4- X2 + г + С;

б) если интегрировать методом введення переменной под знак диф-ференциала, то

Лэ

(я 4-1 4-1) + у +z2 +Х+І+С!-

Отсюда видно, что при О ^ — 4- С\ оба результата равны.

Рассмотрим ещё один пример.

г dx

+ sin а:

Пример 14. Найти интеграл = I — Решение. Учитывал, что

1 4- smi = 1 +cos

имеем:

-U

4-c.

Ju

dx

сов

(f-5)

Однако, если применить универсальную подстановку t — tg —, то

м

1 ¦ ¦ 1 ¦ 2f П + j 2dt

l+ain® —14 —5 = -—-з-; dx — ——г;

1 +1 14-і3 1 + i*

2dt

Ы =

+ Gi-

+ <7i

dt

(1 -hi)2 Ги*

X

(1 + і? . І + г

Для того, чтобы получить одинаковые по форме ответы, заменим

tgf - 1 + 1-1

- 15

t + te5

* я + 1

l+lg5

tgU 2/ i+tB;.teS

1 + tgx

Таким образом, при С] =; С + 1 ответы равны (см, теорему 20)

2. Рассмотренные нами методы и приемы интегрирования позволяют найти такие интегралы от элементарны* функций, которые выражаются через элементарные функции. Однако не всякий интеграл от элементарной функции может быть выражен через элементарные функции К числу таких интегралов относятся, например.

• Ji

sin X

dx

dx

X

[ \/l — k2 sin2 х dxj е drc, j аІпя2 dx

и многие другие. Выписанные интегралы представляют собой новые функции, которые не выражаются через элементарные, такие интегралы называются *кеберущиыися». Они хорошо изучены, для низе составлены таблицы для различных значений х. Однако изучение этил интегралов выходит за рамкн нашей программу.

Задание, Учитывая вышеприведённые вычисления первообразных, проверить нахождение следующих интегралов:

L | Ux3 + ea+bl + sin (11 - 5s) + ) dx =

= X4 + і ea+bx + І cos.(U - 5x) + A XT -Ь C.

о 5 17

-i/Ъ

cos 8® -

Хл/Х

Xі + I

sin 8л; + їх

+ -x)ds - I sinВз; + -L + І¦ I \n(x2 + 1) + C?

J Ї +1 9 V® 3 2

3 [ _cos3: ~ 7gilia; ^ _ г jjgjflf hi- 7cggj0 _ q _ і

' J (sinя; + 7cosx)^ J (sins + 7 cosx)* sma: + 7i

СОДгЯ

stna x + cos2 x сон5 x sin3 x

dx

-J

4

dx

сое2 x sin5 x

- f f—V- + -V) dz = tgx-

і \ cos X Sill x J

-ctgx + C.

14.|sin4 хcos2 xdx = і J(1 — cog2x)2(l + cos2x) dx —

I

a j

(1 — cos 2x — cos^ 2x -t- cosd 2x) dx = Ї — — sin 2x —

8 1&

^ J(l + cus4x)(fc: + - sin3 2x)rfsin 2x =

15,

j sm3 xdx — - ain^ х^соая « j [cos2 x — 1)с!сойл: =

— — COS x 4- ^ cos3 x -h C.

о

16. J cos3 xdx — I (1 — sma a;) dsinx -sini- - slna x + C* - - if X3 4- 2x , f dxQ 1 Г dx* , a , I , и , 4, , ^

dsinx

I — sin2 X

I — sin X 1 -f- sinx

>

і сов X J COS X J

X

= -In

X

l+tg5

dx

1 з

~ -x nxctg x —

О

19. jx2 arctg xdx =

и» arctgx, dii =

1 + я

x2 dx — du% v -

dx —

X + 1 — 1

z3 +1

= І x3 arctg a; - l-x2 + ~ lu(l + Xа) + C-

dx

>1 -fvf

vT

20. I Eircsin x dx =

u = axcsmx, du =

= xrarcsmx —

1 f _ x^

329

dx = dv, f — ^

— x arcsin x + ? I У — $ «resin x + y/l -x2 + C.

Уі -Xа 2 J i/l

dt

Л * I «Г 1 — t-h2T <й Л

=1

+ f*+iP(i + о

ш

—JC

с

1 -t + 2t* - ^ г l-t + ЯГ <& * f 1-С + 2Г t" 4-

x

+ C.

_ 6 f dt _ 6 f ґ X ct? 6 In [ —І = 6 Іті

1+

-b\t(l + t) °J \t t+1/ [l + tl

dx

J cos11 J J vcos'a; /

„ f 8в3+6ваЧ-10я?Н-Ю ^ Г СД+Д)3 1J , _

f Г-^-Г - , 2 dB In ]* - 1[ + 3—T + C.

J - 1- (X +2fJ 1 1 {as + 2)

¦к

л + а

•J

2G

+ з - /

(г 4 3)

д3 4 4 2lx + 21 (г + 3)а(*4 4 3)

]=В + С С «1-5 С = 1 - Б С = 1

9 = А 4 3S 4 6С + ? Ъ = А-ЪВ + D \ = А-2В А = 1

X

з*

21 ='6В + 9С-h 6L> 2 ~В 4 D 1 = Л4бВ В = О

21 =-~ ЗА + 9В + 9L> 1 = А 4 ЪВ 4 ZD D — 2 + В D — 2

" " ЇТ5 Ч + 3) + ^ *rctg 4 С

Отметим, если бы мы не заметили в примере 25, нто числитель можно представить в виде (a; -f З)3 - 2(х — l)f то нужно было бы представить подынтегральную функцию в виде

В

х-\ 0 + 2)3 (і + 2)г а: + 2' где коэффициенты Д І?, Су D удовлетворяют системе уравнений

х

А - 1

и В = - 2 С= D = О

1 = А + D 6 = + C+3D 10 = 12А -\~В + С 10 = ЗА ~ В — AD — 2С

Г dx _ 1 Г + а' - xe . _ I f te __ _l_ Г dx

21- J (PT~ 7 J + J? йх ~ a2 J "r7?^ Й2 J С^+й")"'

_ і _ ? dx

V> — CLO ' ¦ ^ ^ ^ ї

f д ^ — I 'ЛІН = I ' + a )

] rfic _

..а і -

ГС

I I J Л

^ + — arctg-,

+ J 2(*J + a2) 2{я* + a3) ' 2a

л

® ana(as3+aa)

т^ТЇ = CT»"*!! + * + a

(a^+O 2c Другой способ-

Замена a; = atgi, da; = -^jr, t = arctg-, siritcosi " 5- -

cos ? 1+tg t

2

ClU

Jt a2(l+tgst)=~Arr;

COS I

(TOj* " 7 If Л = ^ ((1 + <» It) Л = ^ (t + і sin 2t) =

= JL (? + sintcost) = і arctg ? + j j д.- + (см. также § 48).

= ^ /{од; + Ь) + С,

xf"(x) dx —

и ~ x} du — dx, dv = fff(x)dx, v - j f"{x) dx = f'{x)

= xf'{x) - I f'(x) dx = xf'(x) - fix) + a

29. Найти f(x)> если

1) f'(x2) = i, x > 0; 2) f (si;n2 x) ^

Замена t = + + С, полагаем t = я и получаем f{x) — 2^/x -f C.

t — sin^s, cos2 л; a 1- sin2 я - 1 -t, /'(ріп^я) = f'(t) - 1 — tt

f(t) = t —' -t2 -\-C полагаем x = i, имеем f{x) = x -

j? ?

и --- ^/x2 ± a2, dv — dx,

, X dx

du = —7:f = x

30, /=JVs2±a2

T5 ^й"3

/^ftt2

dx —

2 ±a2

=- x\fx2 ± a2 — Г —- — iV^3 =Ь а3 — [ * % J Vi2 ± ^ J v^

= x\/x2±a2 - \ Ї/Х2 ±a*dx ±a2 \

J . J Vx*±

= x\/x2±a3 у/х^То?

Получаем уравнение относительно J:

і - J ± а2In х +

Отсюда

і Jdx « і jrvV rfea2 ± і aaIn |® + \Ai2 ±a2 | +C.

31. J di = І+ ^

a: + ~ 1 -~dx =

g — 3/2 у

32,

l/l + х — х2' dx —

>/5 1

= а2 - t2, a, = ? = і — eft — fie

- j Vfl.2 - t2 dt = (см. пример 25 §41) - у ш-csin І + - і2 -

і2 + С.

6 . 2х-1 , 2х - 1

=я ~ arcsm —-I —

G 4

33.jVax + l = ^

ах + 1 = і2, 2tdt — ах Laacfo,

, 2 tdl ax —

(t - l)ln«

2 Г fdt 2 ft3 -1 +1 ^ 2 / 1,

+ a

х/а^П - 1

- ifr vW,l

in a

V«T +1 + 1

Ve*"TT - 1

+ G. + C

При a = e, j +1 — ^ve^TT + In ^ -у

34 [ ^ _ J_ Г dt = JL in [v^TT - 1 J \/ax -b 1 lna J t" - і in a j

+ 1 +1

-K

1 , ^ 1 + e

dx m j

dx

2i

1

35 jq+e")3 , r l + e*

+ e

dfi*

1 + CO

х-У 2 arctg e* 4- C.

1

Ф — —

s3 + j s4 +1

arctg

36.

У2

1 , - I

—re arctg %/2 ¦ з;\/2

de¦

E* dx

cil

37. [

— arctg е® + С.

- Г ^ f „?

1 + Ю

ц — Of

e -be

™ J * . 1 " J U1

J* I

В H ї

Учитывая, что

т ¦ xdx

х2 dx

J +

f xdx j

/ Я ' 77™ BS dv, І) =

2 я: u, du = dx

д: 1 Г ^я _

2(l-n)(«x!

Jn— If

+ ~ 2(1 - п) J рТТр1" L

тгда

2(1 -п)(в" + аґ)' 1

2(1 - n)

получим

Л " - IK** + + Jn l'

2) Jn -

и = siIIті 1 я, tfrx = (rt — 1}Sin71 2 ?cos xdx,

sin xdx — dv, v = — cosx = —тевіРаЬй4^1 x-f- {n — l)|s]n™-ascos2a:?ir =

= - cosrsmn_1 x + (n — — (n - 1) Jn.

Отсюда

T 1 ¦ ll—'l . ft — 1 T

Jn = COS X Sin X + J„ -2 ¦

П П

-(

3) Jn ~ j соб* X dx =

= sin x coan +

и — cos™'1 x7 du = -(л — 1) cos""2 zsinn{Ід;

dv — cos x dx, v — sin я

Отсюда

T 1 ' tl-1 , Tt — 1 *

л «я — 3111ЯГ COS 1 X + — Jn-2- П A

Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников

Определённый интеграл и его свойства 337

Л.

dx

Ґ cos X і sirf^

-J

dx + JT.

cos3 X + sin; x

dx

J sins

2 xdx

(cos si

и — cos xj du — — sin x dx,

COSS j j, 1 '

sin3: я:

dx — dv, v -

sin4 x

I - n sin" 1 *

r f ^

J (1-ті)sin"-'

1 cos a; 1-n, am " " x

?

СОЙ jr sin'

1 cosx , n — 2

1 -n sin""1 X П- 1 -2

1 COSX 1 J J

J = Ц r ,—— Jfl-^ + ^n-^i

І - n sin з; 1 — n

Л -

, r , г sin x і

1

Sinn;

= Л-2 +

Ї1 — 1 COSn 1 X 71 - 1 n-2

Jn-2*

sin a;

Jn =

* ... 1- 1-

Л — 1 COS71'1 X Пг ~ 1

<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме § 45. Интегрирование тригонометрических функций:

  1. § 45. Интегрирование тригонометрических функций
  2. Вопросы для самопроверни
  3. ПРИЛОЖЕНИЕ.
  4. Содержание часть 1
  5. 5.3. Интегрирование рациональных функции.
  6. 5.4. Интегрирование тригонометрических функций.
  7. 5.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
  8. Вопросы для самопроверки.
  9. Содержание
  10. Содержание дисциплины
  11. ПЕРЕЧЕЬ ТЕМ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ (СЕМИНАРСКИХ) ЗАНЯТИЙ
  12. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
  13. Интегрирование биноминальных дифференциалов.
  14. Ряды Фурье.
  15. Перечень вопросов к экзамену на первом курсе
  16. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  17. Содержание