§ 46, Определённый интеграл и его свойства
< < хп = Ь и обозначим Дві = — аго, Д^з ~ — яи,..*, Лз^ —
— х^¦,..., а через Д — длину максимального т.
е. Л = шах На каждом Да;І произвольным образом выберем точку и в каждой из этик точек вычислим значений функции ГШ- Составим .сумму Ьп - = + /Й*)*®» + - + /(Єя)А^п. Эта сумма называется интегральной суммой Функции /(а;) на отрезке М, причём она зависит от способа разбиения отрезка {а, Ь] и от выбора точек & внутри получающими отрезков Ааг* (см, рис. 91).
Рассмотрим различные разбиения отрезка (а,Ь! таким образом, что ішисДяї — Д —* 0, при этом число разбиений п стремится к беско-нечности. Тогда, если существует предел интегральной суммы не зависящей от способа разбиения и от выбора точек то функция у = f(x) называется интегрируемой на отрезке [аЖ а этот предел называется определённым интегралом от функции Да) на отрезке
и обозначается | f(x)dx, т.е.
R
v
| f(x) dx ш Hm ? /fc) дXi=S.
і^. і 337
II. Определённый интеграл с равными пределами равен нулю:
а
J
ГІТ. Для любых трёх чисел а, Ь, с справедливо равенство:
ь с ¦ і
| f(x) dx = j f[x) dx + j f(x) dx.
але
IV. Постоянный множители можно выносить за знак определённого интеграла:
С * f{z) dx — C ^ f(x) dx,
я
где С — постоянная,
V. Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов отдельных слагаемых:
l/l (х) ±Мх)±...± /п (х)] dx =
¦р lJ р
— J А(я) dx± І dx ± ... -Jz J fn(x) dx.
VL Если функция /(x) непрерывна на отрезке [л,Ь], jo на этом отрезке найдётя такая точка что справедливо следующее равенство:
Значение определенного интеграла разно произведению длины промежутка интегрирований на значение подынтегральной функции при некотором промежуточном значении независимой переменной- Геометрический смысл этого утверждения состоит в том, что для площади, ограниченной кривой /(ж), осью Оя и двумя прямыми х = а, х = = Ь, можно найти равновеликий ей прямоугольник с тем же основанием 6 — а н с высотой, равной одной из ординат кривой на отрезке
ь
1а, Ь].
Отметим, что /(?) = L ' - J/(ac)d® называется средним значени-а
ем функции на отрезке [а,Ь}>
VII. Пусть з каждой точке отрезка [atbj выполняется неравенство /і(*) ^ f{x) % /2(2), тогда
и и
л
Если m - /і(ж) — наименьшее, а Ы = /2(я) — наибольшее значение функции f(x) на отрезке [а,Ь], то (опенка определённого интеграла)
(так как
dx = b — а).
§ 47. Вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
ь
При постоянных пределах а и b интеграл dx от данной функ*
а
ции /(г) равен числу. Если же верхний (или нижний) предел способен принимать различные значения, то интеграл становится функцией от верхнего (нижнего) предела. Обозначим верхний предел через х. а переменную интегрирования через t в отличие от верхнего предела. Тогда
на отрезке [а,6] определена функция Ф(ас) — J/(t)d?.
а
Теорема 22. Если f(z) — непрерывная функция и
то имеет место равенство: ф'(д?) -= /(г).
Доказательство. Придадим приращение Ах аргументу, которое вызовет прирашение функции ДФ:
аН-йт
і+Дз
І+Дї
-J/(l)«.+ J f{t)dt- j/(t)d?« j f{t)dt.
ДФ^ Ф(х + <\х)-Ф(х) = J f{t)dt- J7(i)rft =
Применял к последнему интегралу свойство VI, имеем:
дг+Ддг
где ? заключено между а: и х + Ах. Теперь составим предел отношения приращения функции к приращению аргумента и устремим приращение аргумента к нулю, т.е.
lim ?? lira /(?) ~ f{xl
так как при Ах —> 0 ? —» х и функция f(%) непрєрілтіна, но, с другой
стороны, по определению производной lim ^ = Ф'(а-). Таким обра-
зом< = f{x). Теорема доказана.
Равенство = f(x) означает, что для непрерывной на отрезке
х
[а, Ь) функции f{x) интеграл Ф(д;} = |/(?)d? оказывается перэообраз-
а
ной функцией,
Таким образом, производная от определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции^ аргумент которой есть верхний предел.
Пример. Найти
ь Ъ ь
1) ^ [/(*)«Ь, 2) ± \f{x)dx, 3) ^J
ft а а
Решс И И е.
1) Так как определённый интеграл есть число и величина его не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, поэтому
h и
d
(производная постоянной равна нулю).
Согласно только что доказанной теореме получим
.
Ь2) ^ [/(*)<&
а b
a L
Пример. Найти
d Г v j n d f ds
J
ii ЦЯ*)**: } /(i) dx; 3) ? f
I3 M*)
)Ш л
А) -І f 5- dx. dx J я
tos- t
Решение, Согласно правилу дифференцирования сложной функции получим
О ± j /млї-асЛ^і-з^Ав»).
2) A j /(») dx = - vi(ir)/tv»t{as)).
«є jt
ҐІГ
1
2 „tf
-t
_чЭ
tB Г
(1 4 a:11)3 sin'' j: (14- ctg* eosa x (1 + tga a;)
2:r = -I.
— — Sill x — cos
4) А Г — rfx — 2 si ' dx J x
^ I
sin xcosx —ч h 2 sin a; cosX—
sm x
cos12 af
= 2 ctgxe™* x 4 2 tgse™3 ¦
r
I
Пример, Найти і
Л~" dx
Jsinnf2 di
3) Ііш —
1) lim/-
я —D
J arctg bt2 dt 0
Решение. Применяя правило Логтиталя, находим Jain at2dt
x—>0
1) Иш -
I arctg bt2 dt
; 2) lim ?
і—0 a: In (1 +л;)
= Um = lim ^ = 2.
10 arctgoa? я-»о о
(I + s)* dx
2) lim
і— 4LU — 1;
— lim
I—tO xln (I -J- x)
2x * с — lim — e.
i—fO sr 4 ?
1
' 4
= lim
3) Um
343
§47
Теорема 23. Если есть какая-либо первообразная от непре-рывной функции /(Ї), то справедлива формула
ь
jf(x)dx = F{b)-F(tі)
а
(эту формулу называют формулой Ньютона-Леибница).
Доказательство, Пусть F(:c) — некоторая первообразная от
*
функции /(а), функция j/(i)(/t по только нто доказанной теореме
а
также есть первообразная от f(x), Но две любые первообразные от данной функции отличаются ня постоянную (см, §40). Следовательно, можно написать, что
X
jf(t)dt = F{x)+C.
а
Положив здесь х — д, будем иметь:
л
J/(i) шА. jf(t)dt = F(x)-F(a). а Полагая х — Ь, получим формулу Ньютона-Лейбница: /(t) dt — а = )— F(a), или, заменив обозначение переменной интегрирования на х, окончательно получим: ¦ ь \f(x)dx = F(b)-F(ay а Теорема доказана. Замечание L Для обозначения разности F(b) — F(a) используется символическое обозначение F(b) - * т- е- Рассмотрим несколько примеров (а > О, Ь >0). - dx Ь~и ab ' а (аЬ ф 0); і dx 2. 1 + х = arctgх = arctg - arctg 0 = ^ - 0 = j] о 0,5 dx I OdS ¦ л t- ¦ n її л її 0 - arcsm u,5 - arcsin 0 = - - 0 — -. о , J \/l +sin2ar = j sin dr = \/sin3 x + cos2 j: + 2 sin x cos л da: — ir/4 Г I*'4 = (sin x + сое ») dx — — cos я; + він a; j 1, Здесь учтено, что при 0 ^ ^ ^ ^ sin х + caas > О —І* І- 2 8 In 2 + 5. Г * 1 71 i^TZ 2} 2 1 + 2 Г rfe' = 1 = l-f-2aictge*|o -1—^4- 2 arctg о. J fl 5 dx t - ч/ТТ^, Л- , /і + л2 = 1 ^ і ^ 2 2 _ 38 і ~ 15* л/Л sin х dx U [ * J сой л; \J CO&X\fl + sin2 X I sin xdx . cos X — -r— = dt ? cos x 1 ^ t ^ \/2 ч/З dt J_ 2-f n/3 - 1 >/2 1 + л/Я Учитывая, что я) dx — = J In sin t dt — 12л о то получаем уравнение /г + = 2її ~ — ^ In2 -Ь ^ + ^ /э или 2¦= ~ — S In 2 + I2l отсюда fo — - Ту In 2 = , Таким образом, формула Ньютона-Лейбница показы мет, что для вычисления определённого интеграла от функции /{а) достаточно знать какую-нибудь первообразную от данной функции. Следовательно, методы, позволяющие найти первообразную, рассмотренные в §41, применимы для нахождения определённого интеграла. Замечание 2'. Формула Ньютона-Лейбница существен но облегчает вычисление определённого интеграла, если известна первообразная подынтегральной функции. Вычисление определённого интеграла как предела интегральной суммы даже ъ простейших случаях задания подынтегральной функции связано с большими трудностями вычислительного характера. Рассмотрим вычисление определённого интеграла как предел интегральных сумм для функций fi(x) ~ х2 и /з(ї) = є1 на отрезке [0,а]. Разобьём отрезок [0,а] на п равных частей а:0 = 0, Х]_ = х% ~ -- -.., хп — пЛх — а, а ~ п Ах, Ах — -. а Тогда, положив « — kAx = и составим интегральную сумму для функции f(x) ft, = = ?/(*?)! к-1. km t I. Пусть /(і) = X2, Учитывая, что I2 + 22 4- З2 4 < + п2 = ^ 1)(2тг+ 1), получим . Um S„ -1 dx = lira + Tn-tOc J ti—*so 6V П/ \ nj б 3 346 2. Если /(г) Я то 4-е' 1 к=[ а ? / = -Сп ( п \ 1 + е« 4-с п -4- 4-е Выражение в скобках есть геометрическая прогрессия со знаменателем q = cv и первым членом, разным І, ее сумма равна q" - 1 - I 1 йл — і тогда л (?."—} * їй4 Sn = - ¦ -a е» И lim Sn - - 1) , П e~ _ j n-toa Є — 1 a t - = Ilm 1, П J h-»M так как lim = limfl + 0 = 1 i^O й1 - і M) (по правилу Лопиталя), Аналогично для функции /(х) = ї>т. a = lim = f- t (А = lim (ІЛ - 1) = Л —>ос Vn / 1—"О Ь - 1 4 = {Ьа - 1) lim Ж- = (Г- 1) lim + " « ^ v ' t-*o і1 - і 4 ' t^o бМп Ь Іпй В некоторых случаях при нахождении пределов сумм используют определенные интегралы. К Найти 5= lim (—+ —Ц + ... + —Ї . wVtt + 1 n-f-2 n + nj І я 1 (h/n) Так как 5 — lim - У пгт-т есть интегральная сумма для П—ОО п 1 + ri— 1 і функции /(і) = т—j— на отрезке |0Т 1], то S = =Ь|1+х|Г = In 2. J 1 4-а: 1о 348 Интегральное исчисление [ ГлЛЛ п С V 1 / . 7Г . . 2їҐ . , , Тт(і*4і)\ 2. S — Ііш - [ sm - +¦ am — 4-... 4 sm - ¦¦ = п—чж пуп П п J sin rt (Ііг — * 11 V ¦ "ч. 1 + ктт 1 = lim > sm — — — 14 —' ОС- ' ТІ ТІ 7Г ? .. 1 " Ч- 2і"+ 3*+ ...4tiv J, hm lim * Г f-T- n ^ \nj J 14и t=i о , 1424 3 + ,. , + n-l 4. bm — x n^+oo тї, n-1 fc 1 г 1 lim > - ¦ — — з dar = з, і—'oo ' ft гг J 2 fc-1 о 5 lim ( :-2 + ~r^zі + -• - + і П і I = lim У , - \ uJ 4 I n* + 2 ГІ 4 n3 / i^oo ^ + fc1 dfc " |1 JT 7 = arctg ff = - Ц.ГІЛ- Л n , , * J 1 4a; fc-l 1-І—j о n 6 jsai n fcR+v^ I+ -+V^)- = tїіА+5 = 7Г JT 7 liin -n 14 cos - f- .., 2 71 4 соз ——^ 7г I = lim V — cos n—OO 2n j n~*oa 2n 2n f A-i т/2 =f J coexdx — = I Oil Ь — -a 8 lim - |Q0 П L k=l a j f(x) dx, b - Ахіt — ™—за точки ffc взяты крайние правые точки из каждого п Axkt — a 4- . 8 clt. t+ 1 Пример. Пайти наименьшее значение функции f(x) = Решен и е. Из условия ff(x) = сх~—у = 0 или е1^1 - 2)(е2:р - е® +1) = 0 находим критическую точку (см, §36) е* — 2, х = In 2, тогда (f (Ь2) s= 16 > 0) а я = 2 - 9 1п 3> о 3 Пример, Решить уравнения: dt em г Ї+2Я = З, 1) | f{x)dx = 0; 2} (і - ъ)г/3 r-l-10 СОЯ Я Решение. Используя свойство определённого интеграла J f(x) dx — 0, полу- а чим ein х = созт или tga: — I, тогда a; = — 4- irk = ^-(1 + 4/;) (/(я) ф О). Так как dt Ї+-29 ї-ЬІО ч- JC+IQ \ / то получаем уравнение ух + "24 — \/х + = 1. 1 х ¦ Г Є S1H ьЕ Пример, Найти точки экстремума функции /(х) = -д 5 dx, J а т х о Решение. f'{x) — = 0, отсюда SIN X = 0 v\ х= 7г к, 2 , 2 а А х S\3 (аатїг) [(о2 + х2 - 2х) sin X + (л2 + ?2) соз х) и ни i\ с cos?rfc Г(тгк) - а д а а + л в Знак второй производной в точках х — ък определяется множителем сов -к к. J) к ^ О, f"(0) > 0, f(x) имеет min; 2) к = 1, f"(ir) < 0, f(x) имеет максимум, н так далее. Iа Пример. Найти экстремум функции f{x) = J {а - 3)(s - 4)da;. о Решение. Находим точки, подозреваемые на экстремум f'(x) ~ 0. ff(x) = 2х(х2 - - 4} = 0, = -X яг2 = - у'З = \/3, эта = 2. Тогда методом интервалов находим min; Х\ = -2, хз = 0. x,i — - 2; max: Xi — — \/3 , х.\ = Следовательно, функция f{x) - Г (х - 3)(z - 4) dx = ^ aG - І я:4 -I- 12.T3 имеет: —а /ты = Л0) = о, /тЬ-=/(-2)=/(2)= Пример. При каких значениях о выполняется неравенство e3xdx < Ь а Решение, j" e3xdx ~ | (с3* -е-30) < тогда (й3'}3 - | е3а - — я 1 < 0, отсюда имеем 0 < c3(t < 2 члн —оо < а < - In2.