§ 46, Определённый интеграл и его свойства

< < хп = Ь и обозначим Дві = — аго, Д^з ~ — яи,..*, Лз^ —

— х^¦,..., а через Д — длину максимального т.

гральной суммой Функции /(а;) на отрезке М, причём она зависит от способа разбиения отрезка {а, Ь] и от выбора точек & внутри получающими отрезков Ааг* (см, рис. 91).

Рассмотрим различные разбиения отрезка (а,Ь! таким образом, что ішисДяї — Д —* 0, при этом число разбиений п стремится к беско-нечности. Тогда, если существует предел интегральной суммы не зависящей от способа разбиения и от выбора точек то функция у = f(x) называется интегрируемой на отрезке [аЖ а этот предел называется определённым интегралом от функции Да) на отрезке

и обозначается | f(x)dx, т.е.

R

v

| f(x) dx ш Hm ? /fc) дXi=S.

і^. і 337

II. Определённый интеграл с равными пределами равен нулю:

а

J

ГІТ. Для любых трёх чисел а, Ь, с справедливо равенство:

ь с ¦ і

| f(x) dx = j f[x) dx + j f(x) dx.

але

IV. Постоянный множители можно выносить за знак определённого интеграла:

С * f{z) dx — C ^ f(x) dx,

я

где С — постоянная,

V. Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов отдельных слагаемых:

l/l (х) ±Мх)±...± /п (х)] dx =

¦р lJ р

— J А(я) dx± І dx ± ... -Jz J fn(x) dx.

VL Если функция /(x) непрерывна на отрезке [л,Ь], jo на этом отрезке найдётя такая точка что справедливо следующее равенство:

Значение определенного интеграла разно произведению длины промежутка интегрирований на значение подынтегральной функции при некотором промежуточном значении независимой переменной- Геометрический смысл этого утверждения состоит в том, что для площади, ограниченной кривой /(ж), осью Оя и двумя прямыми х = а, х = = Ь, можно найти равновеликий ей прямоугольник с тем же основанием 6 — а н с высотой, равной одной из ординат кривой на отрезке

ь

1а, Ь].

а

ем функции на отрезке [а,Ь}>

VII. Пусть з каждой точке отрезка [atbj выполняется неравенство /і(*) ^ f{x) % /2(2), тогда

и и

л

Если m - /і(ж) — наименьшее, а Ы = /2(я) — наибольшее значение функции f(x) на отрезке [а,Ь], то (опенка определённого интеграла)

(так как

dx = b — а).

§ 47. Вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

ь

При постоянных пределах а и b интеграл dx от данной функ*

а

ции /(г) равен числу. Если же верхний (или нижний) предел способен принимать различные значения, то интеграл становится функцией от верхнего (нижнего) предела. Обозначим верхний предел через х. а переменную интегрирования через t в отличие от верхнего предела. Тогда

на отрезке [а,6] определена функция Ф(ас) — J/(t)d?.

а

Теорема 22. Если f(z) — непрерывная функция и

то имеет место равенство: ф'(д?) -= /(г).

Доказательство. Придадим приращение Ах аргументу, которое вызовет прирашение функции ДФ:

аН-йт

і+Дз

І+Дї

-J/(l)«.+ J f{t)dt- j/(t)d?« j f{t)dt.

ДФ^ Ф(х + <\х)-Ф(х) = J f{t)dt- J7(i)rft =

Применял к последнему интегралу свойство VI, имеем:

дг+Ддг

где ? заключено между а: и х + Ах. Теперь составим предел отношения приращения функции к приращению аргумента и устремим приращение аргумента к нулю, т.е.

lim ?? lira /(?) ~ f{xl

так как при Ах —> 0 ? —» х и функция f(%) непрєрілтіна, но, с другой

стороны, по определению производной lim ^ = Ф'(а-). Таким обра-

зом< = f{x). Теорема доказана.

Равенство = f(x) означает, что для непрерывной на отрезке

х

[а, Ь) функции f{x) интеграл Ф(д;} = |/(?)d? оказывается перэообраз-

а

ной функцией,

Таким образом, производная от определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции^ аргумент которой есть верхний предел.

Пример. Найти

ь Ъ ь

1) ^ [/(*)«Ь, 2) ± \f{x)dx, 3) ^J

ft а а

Решс И И е.

1) Так как определённый интеграл есть число и величина его не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, поэтому

h и

d

(производная постоянной равна нулю).

Согласно только что доказанной теореме получим

.

2) ^ [/(*)<&

а b

a L

Пример. Найти

d Г v j n d f ds

J

ii ЦЯ*)**: } /(i) dx; 3) ? f

I3 M*)

)Ш л

А) -І f 5- dx. dx J я

tos- t

Решение, Согласно правилу дифференцирования сложной функции получим

О ± j /млї-асЛ^і-з^Ав»).

2) A j /(») dx = - vi(ir)/tv»t{as)).

«є jt

ҐІГ

1

2 „tf

-t

_чЭ

tB Г

(1 4 a:11)3 sin'' j: (14- ctg* eosa x (1 + tga a;)

2:r = -I.

— — Sill x — cos

4) А Г — rfx — 2 si ' dx J x

^ I

sin xcosx —ч h 2 sin a; cosX—

sm x

cos12 af

= 2 ctgxe™* x 4 2 tgse™3 ¦

r

I

Пример, Найти і

Л~" dx

Jsinnf2 di

3) Ііш —

1) lim/-

я —D

J arctg bt2 dt 0

Решение. Применяя правило Логтиталя, находим Jain at2dt

x—>0

1) Иш -

I arctg bt2 dt

; 2) lim ?

і—0 a: In (1 +л;)

= Um = lim ^ = 2.

10 arctgoa? я-»о о

(I + s)* dx

2) lim

і— 4LU — 1;

— lim

I—tO xln (I -J- x)

2x * с — lim — e.

i—fO sr 4 ?

1

' 4

= lim

3) Um

343

§47

Теорема 23. Если есть какая-либо первообразная от непре-рывной функции /(Ї), то справедлива формула

ь

jf(x)dx = F{b)-F(tі)

а

(эту формулу называют формулой Ньютона-Леибница).

Доказательство, Пусть F(:c) — некоторая первообразная от

*

функции /(а), функция j/(i)(/t по только нто доказанной теореме

а

также есть первообразная от f(x), Но две любые первообразные от данной функции отличаются ня постоянную (см, §40). Следовательно, можно написать, что

X

jf(t)dt = F{x)+C.

а

Положив здесь х — д, будем иметь:

л

J/(i)Тогда

шА.

jf(t)dt = F(x)-F(a).

а

Полагая х — Ь, получим формулу Ньютона-Лейбница: /(t) dt —

а

= )— F(a), или, заменив обозначение переменной интегрирования на х, окончательно получим:

¦ ь

\f(x)dx = F(b)-F(ay

а

Теорема доказана.

Замечание L Для обозначения разности F(b) — F(a) используется

символическое обозначение F(b) - * т- е-

Рассмотрим несколько примеров (а > О, Ь >0). -

dx

Ь~и ab '

а

(аЬ ф 0);

і

dx

2.

1 + х

= arctgх = arctg - arctg 0 = ^ - 0 = j]

о

0,5

dx

I

OdS ¦ л t- ¦ n її л її

0 - arcsm u,5 - arcsin 0 = - - 0 — -.

о

, J \/l +sin2ar = j

sin dr = \/sin3 x + cos2 j: + 2 sin x cos л da: —

ir/4

Г I*'4

= (sin x + сое ») dx — — cos я; + він a; j 1,

Здесь учтено, что при 0 ^ ^ ^ ^ sin х + caas > О

—І* І- 2 8

In

2 +

5.

Г * 1

71

i^TZ 2} 2

1 + 2 Г rfe' = 1

= l-f-2aictge*|o -1—^4- 2 arctg о.

J fl

5

dx

t - ч/ТТ^, Л- ,

/і + л2 =

1 ^ і ^ 2

2 _ 38 і ~ 15*

л/Л

sin х dx

U [ *

J сой л; \J

CO&X\fl + sin2 X

I sin xdx .

cos X — -r— = dt

? cos x

1 ^ t ^ \/2

ч/З

dt

J_ 2-f n/3

- 1 >/2 1 + л/Я

Учитывая, что

я) dx —

= J In sin t dt — 12л о

то получаем уравнение /г + = 2її ~ — ^ In2 -Ь ^ + ^ /э или 2¦=

~ — S In 2 + I2l отсюда fo — - Ту In 2 = ,

Таким образом, формула Ньютона-Лейбница показы мет, что для вычисления определённого интеграла от функции /{а) достаточно знать какую-нибудь первообразную от данной функции. Следовательно, методы, позволяющие найти первообразную, рассмотренные в §41, применимы для нахождения определённого интеграла.

Замечание 2'. Формула Ньютона-Лейбница существен но облегчает вычисление определённого интеграла, если известна первообразная подынтегральной функции. Вычисление определённого интеграла как предела интегральной суммы даже ъ простейших случаях задания подынтегральной функции связано с большими трудностями вычислительного характера.

Рассмотрим вычисление определённого интеграла как предел интегральных сумм для функций fi(x) ~ х2 и /з(ї) = є1 на отрезке [0,а]. Разобьём отрезок [0,а] на п равных частей а:0 = 0, Х]_ = х% ~

-- -.., хп — пЛх — а, а ~ п Ах, Ах — -.

а

Тогда, положив « — kAx = и составим интегральную сумму для функции f(x)

ft, = = ?/(*?)!

к-1. km t

I. Пусть /(і) = X2,

Учитывая, что I2 + 22 4- З2 4 < + п2 = ^ 1)(2тг+ 1), получим

. Um S„ -1 dx = lira +

Tn-tOc J ti—*so 6V П/ \ nj б 3

346

2. Если /(г) Я то

4-е'

1

к=[

а ? / = -Сп ( п \

1 + е« 4-с п -4- 4-е

Выражение в скобках есть геометрическая прогрессия со знаменателем q = cv и первым членом, разным І, ее сумма равна

q" - 1 - I

1

йл — і

тогда

л (?."—} * їй4

Sn = - ¦ -a е» И lim Sn - - 1) ,

П e~ _ j n-toa Є — 1

a

t - = Ilm 1,

П J h-»M

так как

lim

= limfl + 0 = 1

i^O й1 - і M) (по правилу Лопиталя), Аналогично для функции /(х) = ї>т.

a

= lim = f- t (А = lim (ІЛ - 1) =

Л —>ос Vn / 1—"О Ь - 1 4

= {Ьа - 1) lim Ж- = (Г- 1) lim + " « ^ v ' t-*o і1 - і 4 ' t^o бМп Ь Іпй

В некоторых случаях при нахождении пределов сумм используют определенные интегралы.

К Найти 5= lim (—+ —Ц + ... + —Ї .

wVtt + 1 n-f-2 n + nj

І я 1

(h/n)

Так как 5 — lim - У пгт-т есть интегральная сумма для

П—ОО п 1 +

ri— 1

і

функции /(і) = т—j— на отрезке |0Т 1], то

S = =Ь|1+х|Г = In 2.

J 1 4-а: 1о

348 Интегральное исчисление [ ГлЛЛ

п С V 1 / . 7Г . . 2їҐ . , , Тт(і*4і)\

2. S — Ііш - [ sm - +¦ am — 4-... 4 sm - ¦¦ =

п—чж пуп П п J

sin rt (Ііг —

*

11 V ¦ "ч. 1 + ктт 1

= lim > sm — — —

14 —' ОС- ' ТІ ТІ 7Г

?

.. 1 " Ч- 2і"+ 3*+ ...4tiv J, hm

lim * Г f-T- n ^ \nj J 14и

t=i о

, 1424 3 + ,. , + n-l 4. bm — x

n^+oo тї,

n-1 fc 1 г 1

lim > - ¦ — — з dar = з, і—'oo ' ft гг J 2

fc-1 о

5 lim ( :-2 + ~r^zі + -• - + і П і I = lim У , - \ uJ 4 I n* + 2 ГІ 4 n3 / i^oo ^ + fc1

dfc " |1 JT

7 = arctg ff =

- Ц.ГІЛ- Л

n , , * J 1 4a;

fc-l 1-І—j о

n

6 jsai n fcR+v^ I+ -+V^)-

= tїіА+5 =

7Г

JT

7 liin -n 14 cos - f- ..,

2 71

4 соз ——^ 7г I = lim V — cos

n—OO

2n j n~*oa 2n 2n f A-i

т/2

=f J coexdx — = I

Oil

Ь — -a

8 lim -

|Q0 П

L k=l

a

j f(x) dx,

b -

Ахіt — ™—за точки ffc взяты крайние правые точки из каждого

п

Axkt — a 4- .

8

clt.

t+ 1

Пример. Пайти наименьшее значение функции f(x) =

Решен и е. Из условия ff(x) = сх~—у = 0 или е1^1 - 2)(е2:р -

е® +1) = 0 находим критическую точку (см, §36) е* — 2, х = In 2, тогда (f (Ь2) s= 16 > 0)

а я = 2 - 9 1п 3>

о 3

Пример, Решить уравнения:

dt

em г Ї+2Я

= З,

1) | f{x)dx = 0; 2}

(і - ъ)г/3

r-l-10

СОЯ Я

Решение.

Используя свойство определённого интеграла J f(x) dx — 0, полу-

а

чим ein х = созт или tga: — I, тогда a; = — 4- irk = ^-(1 + 4/;) (/(я) ф О).

Так как

dt

Ї+-29

ї-ЬІО

ч- JC+IQ \ /

то получаем уравнение ух + "24 — \/х + = 1.

1 х ¦

Г Є S1H ьЕ

Пример, Найти точки экстремума функции /(х) = -д 5 dx,

J а т х

о

Решение. f'{x) — = 0, отсюда SIN X = 0 v\ х= 7г к,

2 , 2 а А х

S\3

(аатїг)

[(о2 + х2 - 2х) sin X + (л2 + ?2) соз х)

и

ни i\ с cos?rfc

Г(тгк) - а д а

а + л в

Знак второй производной в точках х — ък определяется множителем сов -к к.

J) к ^ О, f"(0) > 0, f(x) имеет min;

2) к = 1, f"(ir) < 0, f(x) имеет максимум, н так далее.

Iа

Пример. Найти экстремум функции f{x) = J {а - 3)(s - 4)da;.

о

Решение. Находим точки, подозреваемые на экстремум f'(x) ~ 0. ff(x) = 2х(х2 - - 4} = 0, = -X яг2 = - у'З = \/3,

эта = 2. Тогда методом интервалов находим min; Х\ = -2, хз = 0. x,i — - 2; max: Xi — — \/3 , х.\ = Следовательно, функция

f{x) - Г (х - 3)(z - 4) dx = ^ aG - І я:4 -I- 12.T3

имеет:

—а

/ты = Л0) = о, /тЬ-=/(-2)=/(2)= Пример. При каких значениях о выполняется неравенство e3xdx < Ь

а

Решение, j" e3xdx ~ | (с3* -е-30) < тогда (й3'}3 - | е3а -

— я

1 < 0, отсюда имеем 0 < c3(t < 2 члн —оо < а < - In2.