1.3.1. Приближенное вычисление определенного интеграла

Простейшие формулы для приближённого вычисления определённого интеграла называются квадратурными. В многомерном случае их называют также кубатурными. К простейшим квадратурным формулам относятся формулы прямоугольников, трапеций и формула Симпсона, объединённые общим названием – квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

Задача состоит в выборе достаточного числа разбиений отрезка (отрезки , как правило, выбираются одинаковыми), и удачной замене подынтегральной функции . Обычно она заменяется интерполяционным многочленом степени :

, (1)

где – остаточный член интерполяции.

Т. о., на каждом частичном промежутке

,

где – приближённое значение интеграла на частичном промежутке, а – величина ошибки на том же промежутке.

Соответственно, приближённое значение интеграла , (2)

а ошибка

.

На рис. 1 представлена геометрическая интерпретация определённого интеграла, как площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, графиком функции и прямыми , и интеграла на частичном промежутке . (Заштрихованная криволинейная трапеция).

Заметим здесь, что если считать шаг разбиения в методе Симпсона равным целому, без деления пополам, то в расчётах, вместо формулы (2.16) (п.2.4 Учебного пособия), можно использовать следующую:

. (4)

Соответствующие формулы, вместе с оценками погрешностей и примерами вычислений Вы можете найти в Учебном пособии.

Более полное изложение этой темы – в [7], c.86-163.

Вопросы для самопроверки по теме 1.3

1. Напишите формулы прямоугольников, трапеции и Симпсона.

2. Сформулируйте обобщённую теорему о среднем.