<<
>>

1.3.1. Приближенное вычисление определенного интеграла

Простейшие формулы для приближённого вычисления определённого интеграла называются квадратурными. В многомерном случае их называют также кубатурными. К простейшим квадратурным формулам относятся формулы прямоугольников, трапеций и формула Симпсона, объединённые общим названием – квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

Все эти формулы основаны на свойстве аддитивности определённого интеграла, а именно: интеграл по сумме отрезков равен сумме интегралов по этим отрезкам. Поэтому, если нужно вычислить определённый интеграл от некоторой функции вдоль отрезка , то его можно представить в виде суммы интегралов по частичным отрезкам разбиения интервала : , где .

Задача состоит в выборе достаточного числа разбиений отрезка (отрезки , как правило, выбираются одинаковыми), и удачной замене подынтегральной функции . Обычно она заменяется интерполяционным многочленом степени :

, (1)

где – остаточный член интерполяции.

Т. о., на каждом частичном промежутке

,

где – приближённое значение интеграла на частичном промежутке, а – величина ошибки на том же промежутке.

Соответственно, приближённое значение интеграла , (2)

а ошибка

.

(3)

На рис. 1 представлена геометрическая интерпретация определённого интеграла, как площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, графиком функции и прямыми , и интеграла на частичном промежутке . (Заштрихованная криволинейная трапеция).

Заметим здесь, что если считать шаг разбиения в методе Симпсона равным целому, без деления пополам, то в расчётах, вместо формулы (2.16) (п.2.4 Учебного пособия), можно использовать следующую:

. (4)

Соответствующие формулы, вместе с оценками погрешностей и примерами вычислений Вы можете найти в Учебном пособии.

Более полное изложение этой темы – в [7], c.86-163.

Вопросы для самопроверки по теме 1.3

1. Напишите формулы прямоугольников, трапеции и Симпсона.

2. Сформулируйте обобщённую теорему о среднем.

<< | >>
Источник: Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко. Математика ч.2: учебно-методический комплекс / сост. Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко - СПб.: Изд-во CЗТУ,2008. – 158 с.. 2008

Еще по теме 1.3.1. Приближенное вычисление определенного интеграла:

  1. § 48, Вычисление определённого интеграла методом замены переменной и интегрирования по частям
  2. Содержание дисциплины
  3. ПЕРЕЧЕЬ ТЕМ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ (СЕМИНАРСКИХ) ЗАНЯТИЙ
  4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
  5. Определенный интеграл.
  6. Свойства определенного интеграла.
  7. Вычисление определенного интеграла.
  8. Интегрирование по частям.
  9. Геометрические приложения определенного интеграла.
  10. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
  11. Вычисление двойного интеграла.
  12. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ И ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
  13. Перечень вопросов к экзамену на первом курсе
  14. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  15. 1.3.1. Приближенное вычисление определенного интеграла
  16. Решение задач
  17. Определенный интеграл
  18. Метод прямоугольников вычисления определенного интеграла
  19. О приближенных вычислениях
  20. 3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае