<<
>>

Определенный интеграл.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

y

M

m

0 a xi b x

Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x0 < x1 < x2 < … < xn

Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, … ,xn – xn–1 = Dxn;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x0, x1] ® m1, M1; [x1, x2] ® m2, M2; … [xn–1, xn] ® mn, Mn.

Составим суммы:

n = m1Dx1 + m2Dx2 + … +mnDxn =

n = M1Dx1 + M2Dx2 + … + MnDxn =

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой.

Т.к. mi £ Mi, то n £ n, а m(b – a) £ n £ n £ M(b – a)

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.

x0 < e1 < x1, x1 < e < x2, … , xn–1 < e < xn.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

Sn = f(e1)Dx1 + f(e2)Dx2 + … + f(en)Dxn =

Тогда можно записать: miDxi £ f(ei)Dxi £ MiDxi

Следовательно,

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

Обозначим maxDxi – наибольший отрезок разбиения, а minDxi – наименьший. Если maxDxi® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

Если , то

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение :

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Также верны утверждения:

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Определенный интеграл.:

  1. § 46, Определённый интеграл и его свойства
  2. § 48, Вычисление определённого интеграла методом замены переменной и интегрирования по частям
  3. Глава 5. Неопределенный интеграл.
  4. 5.1. Определение. Таблица интегралов.
  5. Неопределенный интеграл.
  6. Определенный интеграл.
  7. Вычисление определенного интеграла.
  8. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интеграла.
  9. Задача о площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл.
  10. 4.1. Понятие неопределённого интеграла
  11. 4.3. Определённый интеграл и его свойства.
  12. Неопределенный интеграл
  13. Свойства неопределенного интеграла. Простейшие неопределенные интегралы
  14. Определенный интеграл
  15. 1. Неопределенные и определенные интегралы.
  16. Неопределенный интеграл
  17. Лекция 13 Сингулярный интеграл
  18. §1. Первообразная и неопределенный интеграл.
  19. 1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на пространстве с конечной мерой
  20. 3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае