Лекция 13 Сингулярный интеграл

Рассмотрим несобственный интеграл от действительной переменной :

Так как - произвольное положительное число, то предел не существует, следовательно, интеграл расходится.

Рассмотрим вычисление того же интеграла при условии

Значение несобственного интеграла при называют главным значением сингулярного (или особого) интеграла. Когда говорят о вычислении сингулярного интеграла, имеют в виду вычисление его главного значения.

Обобщим эти понятия на случай комплексной переменной.

Аналитическая функция может быть определена интегралом Коши.

Рассмотрим частный случай, когда . Тогда, в зависимости от того, где лежит точка z, возможны следующие случаи

, если точка z лежит вне контура L;

, если точка z лежит внутри контура L.

Что же будет, если точка z лежит на самом контуре (будем обозначать ее в этом случае как )? Очевидно, что интеграл будет несобственным и, как и в рассмотренном выше случае, расходящимся. Однако и здесь можно ввести ограничения, которые обеспечивают существование конечного главного значения.

Сингулярным интегралом называется интеграл по контуру , при условии, что концы дуги , оставаясь от неё на одинаковом расстоянии.

Пусть

Точка (см. рис.) обходится слева, но это не принципиально: точно такой же результат получается, если обходить ее справа

Дадим общее определение сингулярного интеграла.

Пусть АВ – кусочно-гладкая кривая. В частном случае контур АВ может быть замкнут. Определим на нём функцию f(t), которая необязательно аналитическая. Проведём из точки М окружность радиуса R. Сингулярный интеграл определяется формулой

Если точка t – регулярная точка функции f(t), то определение сингулярного интеграла совпадает с определением обычного интеграла.