Аналитическое продолжение

Пусть в односвязной области задана функция , а в односвязной области .

Если можно ввести такую функцию, то говорят, что является аналитическим продолжением функции в области и наоборот.

Достаточный признак существования аналитического продолжения:

Пусть - граница раздела и . Пусть функции и непрерывны на границе . Кроме того, пусть на границе выполнено условие ; в этом случае существует аналитическое продолжение.

Доказательство:

Если внутри D для любого контура L выполнено условие , то внутри D функция f(z) аналитическая (теорема Морера).

Рассмотрим следующий контур L:

- если это равенство верно, то справедливо и, следовательно (теорема Морера), функция - аналитическая в области D.

Рассмотрим контур .

+=0

Рассмотрим контур

.

Складывая эти два равенства, получим: .