5. Алгебраическая и аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия в том виде, как мы ее находим у Декарта и Ферма, использует, как увидим ниже, только второй основной принцип и имеет целью не аналитическое доказательство геометрических теорем, а графическое решение уравнений.
Поэтому геометрию Декарта, пожалуй, лучше называть не аналитической, а алгебраической, а может быть, еще лучше - геометрической алгеброй.К тому же смысл терминов "анализ" и "синтез" сильно колеблется. В методике вслед за Паппом анализ понимается обычно как прием нахождения доказательства (или решения) путем восхождения от следствий к причинам; синтез же, наоборот, вдет от причин к следствиям9. Соответственно этим приемам мышления отличаются и два приема изложения. В этом смысле об аналитическом изложении, противоположном чисто синтетическому методу изложения в "Началах" Евклида, молено говорить лишь применительно к аналитической геометрии в ее развитой форме.
В другом лее понимании анализ толкуется как изучение целого путем дробления его на части, а синтез как воссоединение частей. В этом смысле говорят об анализе бесконечно малых или о химических анализе и синтезе. Хотя эти понимания и различны, но, вне сомнения, меледу ними существует логическая связь; то, что мы находим в целом, мы молеем мыслить обусловленным свойством частей.
Но толкование названных терминов в первом смысле перешло в XVII в. в понимание анализа просто как алгебраической методы; уравнение при этом рассматривается как основание свойств геометрического объекта, например, кривой, и восхождение к уравнению тогда является восхождением от следствий к причинам.
Мы не молеем, однако, настаивать на том, что геометрию Декарта следует назвать алгебраической, потому что при своем зарождении алгебраическая геометрия понималась значительно шире; к ней относились все-возможные алгебраические решения задач (главным образом на построение), в которых ни первый, ни второй из упомянутых принципов не используются.
Алгебраическая геометрия в широком смысле или алгебраические методы решений задач сделались возможными после изобретения Виэтом буквенной алгебры. При этом выявились два момента:приведение геометрической задачи к уравнению, определяющему неизвестное, от которого зависит решение задачи; коэффициенты этого уравнения выралеаются через данные величины. Это приложение алгебры к геометрии;
построение корня уравнения, которое, естественно, требовало изучения построения элементарных выражений. Это прилолеение геометрии к алгебре.
До аналитической геометрии Декарта уже существовала алгебраи-ческая геометрия, и аналитическая геометрия явилась системой специальных методов решения задач алгебраической геометрии.
Следует особое внимание обратить иа работы Гетальди10, приводящего решение задачи на построение к уравнениям 2-й и высших степеней и заключающего, в случае мнимых корней, - о невозможности решения поставленной задачи, а в случае неопределенного уравнения - о бесчисленном мнолеестве решений.
Тщетные попытки решения уравнений выше 4-й степени послу- лсили причиной сдвига в самом понимании решения уравнения, которое стало пониматься не в смысле конструирования (т.е. построения в радикалах), а в смысле вычисления по приближению или же в графическом. В последнем случае корни стали определяться отрезками, определяемыми точками пересечения кривых, которые вычерчиваются не только с помощью циркуля и линейки, например, параболы, эллипса, гиперболы, конхоиды и других.
Интересно отметить, что математики XVII в. занимаются построением сложных алгебраических выражений без сведения их к простым. Конечно, во многих случаях построения получаются более простые, чем те, которые даются общей методой. Следует еще отметить, что алгебраический характер исследования конических сечений выдерживается в XVII и XVIII вв. различными учеными в различной мере, и многие пользуются только алгебраическими обозначениями, ио не алгебраическими операциями.
Даже в середине XVII в. античные методы перемешиваются с кар-тезианскими: уравнения конических сечений выводятся из стереометрических соображений, вместо уравнений используются неудобные для дальнейших операций пропорции, применяется устарелая символика и т.д.