3.3.6. Алгебраические дроби

Выражение вида , где Р(х) и Q(х) – многочлены, называется алгебраической дробью, причем многочлен Р(х) называется числителем алгебраической дроби, а многочлен Q (х) – её знаменателем.

Дробь рассматривается только при допустимых значениях входящей в нее величины (буквы) х, т.е. Q(x). Например, для дроби считаем, что х2 ‑ 1 ≠0, т.е. х ≠ 1, х ≠ ‑ 1.

Определение. Алгебраические дроби и считаются равными: =, если выполняется равенство Р(х)∙Q1(x) = Q(x)∙P1(x).

Например, . Т.к. (x+1)∙(x ‑ 1)=(x2 ‑ 1), то ОДЗ: x≠1, x≠ ‑ 1.

Из определения равенства дробей вытекает, что алгебраическая дробь не изменится, если числитель и знаменатель умножить на один и тот же многочлен К(х) : (Q(x)≠0, K(x)≠0) (основное свойство алгебраической дроби).

Используя основное свойство дроби, можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель (многочлен, входящий в разложение числителя и знаменателя одновременно) и приводить дроби к общему знаменателю.

Например, . ОДЗ: (x≠1).

Сложение и умножение алгебраических дробей определяются по следующим правилам:

+=, ∙=,

где Q(x)≠0, Q1(x)≠0.

Вычитание и деление алгебраических дробей определяются как действия, обратные соответственно сложению и умножению. Из этого определения выводятся правила вычитания и деления:

‑ =, :=,

где Q(x)≠0, Q1(x)≠0.

Кроме того, во втором случае деления Р1(х) ≠ 0.

Практически для выполнения сложения или вычитания дроби приводят к общему знаменателю. Разложив знаменатели дробей на множители, принимают за общий знаменатель произведение всех полученных множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они входят в знаменатели данных дробей.

Рассмотрим примеры на действия с алгебраическими дробями.

Пример 1. Выполнить действия:

.

Решение. Сначала выполним действия в скобках:

;

.

Затем умножим полученные дроби:

.

Допустимые значения: x ≠ y, x ≠ -y, x ≠ 0, 2x-y ≠ 0.

Пример 2. Упростить выражение: .

Решение. Порядок выполнения действий над алгебраическими дробями такой же, как для действий над числами: сначала выполняют возведение в степень, затем – умножение и деление и, наконец, сложение и вычитание; при наличии скобок прежде всего выполняют действие в скобках. В данном примере:

.

Использовано тождество a3 +b3 = (a + b) (a2 -ab + b2) и сокращение дроби.

;

;

.

Полученные результаты справедливы для всех значений х, удовлетворяющих условиям х3+8 ≠0, х ‑ 2≠0, т.е. x≠ ‑ 2, x≠2.

Пример 3. Сократить дробь: .

Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители:

,

Поэтому данная дробь равна дроби: где a≠2.