<<
>>

3.3.6. Алгебраические дроби

Выражение вида , где Р(х) и Q(х) – многочлены, называется алгебраической дробью, причем многочлен Р(х) называется числителем алгебраической дроби, а многочлен Q (х) – её знаменателем.

Дробь рассматривается только при допустимых значениях входящей в нее величины (буквы) х, т.е. Q(x). Например, для дроби считаем, что х2 ‑ 1 ≠0, т.е. х ≠ 1, х ≠ ‑ 1.

Определение. Алгебраические дроби и считаются равными: =, если выполняется равенство Р(х)∙Q1(x) = Q(x)∙P1(x).

Например, . Т.к. (x+1)∙(x ‑ 1)=(x2 ‑ 1), то ОДЗ: x≠1, x≠ ‑ 1.

Из определения равенства дробей вытекает, что алгебраическая дробь не изменится, если числитель и знаменатель умножить на один и тот же многочлен К(х) : (Q(x)≠0, K(x)≠0) (основное свойство алгебраической дроби).

Используя основное свойство дроби, можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель (многочлен, входящий в разложение числителя и знаменателя одновременно) и приводить дроби к общему знаменателю.

Например, . ОДЗ: (x≠1).

Сложение и умножение алгебраических дробей определяются по следующим правилам:

+=, =,

где Q(x)≠0, Q1(x)≠0.

Вычитание и деление алгебраических дробей определяются как действия, обратные соответственно сложению и умножению. Из этого определения выводятся правила вычитания и деления:

=, :=,

где Q(x)≠0, Q1(x)≠0.

Кроме того, во втором случае деления Р1(х) ≠ 0.

Практически для выполнения сложения или вычитания дроби приводят к общему знаменателю. Разложив знаменатели дробей на множители, принимают за общий знаменатель произведение всех полученных множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они входят в знаменатели данных дробей.

Рассмотрим примеры на действия с алгебраическими дробями.

Пример 1. Выполнить действия:

.

Решение. Сначала выполним действия в скобках:

;

.

Затем умножим полученные дроби:

.

Допустимые значения: x ≠ y, x ≠ -y, x ≠ 0, 2x-y ≠ 0.

Пример 2. Упростить выражение: .

Решение. Порядок выполнения действий над алгебраическими дробями такой же, как для действий над числами: сначала выполняют возведение в степень, затем – умножение и деление и, наконец, сложение и вычитание; при наличии скобок прежде всего выполняют действие в скобках. В данном примере:

.

Использовано тождество a3 +b3 = (a + b) (a2 -ab + b2) и сокращение дроби.

;

;

.

Полученные результаты справедливы для всех значений х, удовлетворяющих условиям х3+8 ≠0, х ‑ 2≠0, т.е. x≠ ‑ 2, x≠2.

Пример 3. Сократить дробь: .

Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители:

,

Поэтому данная дробь равна дроби: где a≠2.

<< | >>
Источник: А.И. Колосов. Пособие по математике (для дополнительных занятий со студентами 1 курса дневной формы обучения всех специальностей, а также с иностранными студентами). Под ред. проф. А.И. Колосова.– Харьков: ХНАГХ, 2005. – 80 с.. 2005

Еще по теме 3.3.6. Алгебраические дроби:

  1. 2.2. Алгебраическо-комбинаторные основания построения ПСП вМУ
  2. § 1. Решение системы алгебраических уравнений. Правило Крамера- Метод Гаусса
  3. Алгебраические дополнения.
  4. Алгебраические структуры.
  5. Интегрирование элементарных дробей.
  6. Интегрирование рациональных дробей.
  7. 1.1.5. Дроби обыкновенные и десятичные, арифметические действия над ними
  8. 3.3.6. Алгебраические дроби
  9. Інтегрування раціональних функцій. Найпростіші раціональні дроби.
  10. § 7. Основные алгебраические операции Виэты.
  11. § 6. Алгебраическом аксиоматика Херигона.
  12. 5. Алгебраическая и аналитическая геометрия
  13. Интегрирование рациональных дробей
  14. 3.6. Алгебраические методы реконструкции
  15. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
  16. Тема 3 Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.