3.3.5. Разложение многочлена на множители

Определение. Преобразование многочлена к виду произведения двух или нескольких многочленов ненулевой степени называется разложением многочлена на множители. Например: x2 – a2= (x – a)(x + a).

Рассмотрим различные приемы разложения многочленов на множители.

1) Способ гpyппировки и вынесение общего множителя за скобки.

При использовании этого способа иногда целесообразно применить "искусственные" преобразования — разбить отдельные члены на подобные слагаемые или ввести взаимно уничтожающиеся члены.

Пример 1. Разложить на множители многочлен a2 -2bc + 2ac - ab.

Решение. а2 – 2bс + 2ас ‑ ab= (а2 + 2ас) ‑ (2bс + ab) =

=a (а + 2с) –b(2с + а) = (a + 2с)(a ‑ b).

Пример 2. Разложить на множители многочлен: х2 ‑ 3х + 2.

Решение.

х2 ‑ 3х + 2 = х2 – х ‑ 2х + 2 = (х2 ‑ х) ‑- (2х ‑ 2) = х(х ‑ 1) ‑ 2(х ‑ 1) = (х ‑ 1)(х ‑ 2).

2) Применение формул сокращенного умножения. С помощью формул сокращенного умножения часто значительно облег­чается разложение на множители.

Пример 3. Разложить на множители многочлен: 5a5x3 + 5а2х9.

Решение. Сначала вынесем за скобки общий множитель 5a2х3, а затем применим формулу для суммы кубов:

5a5х3 + 5а2 х9 = 5а2х3(а3 + х6) = 5a2х3 (a3 + (х2)3) = 5a2x3(a+x2)(a2 ‑ ax2 +x4).

Пример 4. Разложить на множители многочлен Р(х) = х3 - 3х - 2.

Решение. Р(х) =х3 ‑ 3х ‑ 2 = х3 ‑ х ‑ 2х ‑ 2 = (х3 ‑ х) ‑ (2х+ 2) =

= х(х2 ‑ 1) ‑ 2(х+1) =х(х + 1)(х ‑ 1) ‑ 2(х + 1) = (х + 1)(х2 – х ‑ 2). Так как,

х2 ‑ х ‑ 2 = х2 ‑ х ‑ 1 ‑ 1 = (х2 ‑ 1) ‑ (х + 1) = (x+1)(x ‑ 1) ‑ (x+1)=(x+1)(x ‑ 2),

то P(x)=(x+1)2(x ‑ 2).

Иногда полезно выделение полного квадрата.

Пример 5.

Решение.

х4 + 4 = х4 + 4х2 + 4 ‑ 4х2 = (х2 +2)2 - (2х)2 = (х2 +2х + 2)(х2 ‑ 2х + 2).

Для разложения на множители оказалось удачным выделение полного квадрата в выражении х4+4=(х2)2 + 22 (использована формула a2 + b2 = (а + b)2 ‑ 2ab.

3) Разложение квадратного трёхчлена на множители.

ах2 + bх + с = а(х – х0)(x ‑ х2); (а≠0,D = b2 ‑ 4ac≥0), где x1 и х2 – корни трехчлена ах2 + bх + с.

4) Разложение многочлена n-ой степени относительно х на множители.

Многочлен n-й степени относительно х имеет вид

Р(х) = аохп +a1xn-1 +...+аn-1x+аn,

где а0 ≠ 0, n ≥ 0 – целое число, а0,, a1,..., аn – постоянные (коэффициенты многочлена), буква (величина) х может принимать любые числовые значения. Многочлен Р(х) записан в стандартном виде по убывающим степеням х.

Два многочлена Р(х) и P1(х) считаются равными: Р(х) = Р1(х),если при всех значениях х они принимают одинаковые значения.

Теорема Безу. При делении многочлена Рn(х) на двучлен (х-х0) получаем остаток R, равный значению многочлена при х =x0, т.е. R=Pn(x0).

Рn(x)=(х - х0 )Qn-1 (х) + P(x0).

Следствия из теоремы Безу:

1. Если Рn(х) делится на (х ‑ х0) без остатка, т.е. R = 0, то х = х0 – корень многочлена Рn(x), т.е. Рn(x0) = 0.

2. Если х = х0 – корень многочлена Рn(x), т.е. Рn(х0) = 0, то Рn(х) делится на (х–х0) без остатка, т.е. Рn(x)=(х ‑ х0 )Qn-1 (х)).

Обобщая, получим: Рn(x)=a0(х – х1) (x - x2)…(x ‑ xn), где x1, x2, …,xn – корни многочлена.

Пример 6. Разложить на множители многочлен

Р(х) = (х2 + х + 1)(х2 + х + 2) - 12.

Решение.

Р(х) = (х2 + х + 1)((х2 +х + 1) + 1) ‑ 12 = (х2 +x + 1)2 + (х2 + х + 1) - 12.

Пусть x2 + х + 1=у. Тогда имеем у2 + y ‑ 12 = (у + 4) (у ‑ 3), так как корни трехчлена у2 + у ‑ 12 равны ‑ 4 и 3. Переходя от у к x, получаем

Р(х) = (х2 + х + 5) (х2 +x ‑ 2). Так как трехчлен x2 + х ‑ 2 = (х ‑ 1) (х + 2),

то Р(х) = (х ‑ 1) (х + 2) (х2 + х + 5).