Многочлен Лагранжа

Будем искать многочлен в виде линейной комбинации множеств степени : .

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен во всех узлах интерполяции, за исключением одного , где он равен 1. Легко проверить, что этим условиям отвечает многочлен вида

.

Действительно, . При числитель выражения равен 0. По аналогии получим:

,

.

Подставив эти формулы в исходный многочлен, получим:

.

Эта формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа , совпадающий с функцией в точках

.

Решение. Составим таблицу

Подставляя эти значения в формулу Лагранжа, получим:

Если функция непрерывно дифференцируема до -го порядка включительно, то остаточный член интерполяционного многочлена в форме Лагранжа имеет вид

,

где – внутренняя точка минимального отрезка, содержащего узлы интерполирования и точку .