<<
>>

Тема 11. Комплексные числа и многочлены.

Комплексным числом называется число вида , где ,-действительные числа, символ - мнимая единица, для которой .

Число - называется действительной частью комплексного числа , число - мнимой частью. Комплексное число совпадает с действительным, а число называется чисто мнимым. Множество всех комплексных чисел обозначается .

Комплексное число изображается на плоскости с системой координат (называемой комплексной плоскостью) точкой, обозначаемой той же буквой и имеющей координаты . Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые – оси ординат (поэтому ось называется действительной осью, а ось - мнимой осью). Комплексное число на комплексной плоскости изображается также радиус-вектором точки .

Длина радиус-вектора называется модулем комплексного числа: , а угол его с осью называется аргументом комплексного числа: , . Аргумент комплексного числа вычисляют, как правило, по формуле: .

Комплексно-сопряжённым числу называется число .

Представление комплексного числа выражением называется алгебраической формой комплексного числа, а выражением - тригонометрической формой комплексного числа.

Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение) над комплексными числами в алгебраической форме выполняют по правилам действий над многочленами, с учётом того, что :

;

.

Деление комплексных чисел выполняют следующим образом: .

Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняют, используя формулу Муавра: .

Полученный результат представляют затем в алгебраической форме.

Извлечение корня -ой степени из комплексного числа (не равного нулю) выполняют по формуле:

,

(здесь - действительное положительное число). Таким образом, корень степени из комплексного числа имеет различных значений, расположенных на комплексной плоскости на окружности радиуса .

Алгебраическим многочленом степени называется выражение вида:

,

где , - некоторые числа (вообще говоря, комплексные), называемые коэффициентами многочлена, причём .

Алгебраическим уравнением степени называется уравнение вида Число , для которого называется корнем многочлена или уравнения.

Теорема Безу. Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на , т.е.

когда представляется в виде: , где - многочлен степени .

Число называется корнем кратности многочлена , если , где .

Для многочленов имеет место следующая теорема:

Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий многочлен ненулевой степени имеет ровно корней, если каждый корень считать ровно столько раз, какова его кратность .

Всякий многочлен с действительными коэффициентами всегда можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами.

Всякий квадратный многочлен с действительными коэффициентами на множестве комплексных чисел всегда можно разложить в произведение линейных множителей: , где корни многочлена и находятся по формулам:

1) если , то - действительные;

2) если , то - комплексно-сопряжённые.

Для нахождения корней алгебраического уравнения с действительными коэффициентами поступают, как правило, следующим образом: находят один из корней подбором (например, корнем может быть целый делитель свободного слагаемого ), а затем, последовательно применяя теорему Безу, сводят нахождение корней уравнения к нахождению корней линейных и квадратных уравнений.

<< | >>
Источник: Бикчурина Л.Ж., Тимергалиев С.Н., Углов А.Н.. Математика. Часть 1: Учебно-методический комплекс для студентов заочной и дистанционной форм обучения по экономическим специальностям. / Составители: Бикчурина Л.Ж., Тимергалиев С.Н., Углов А.Н. Набережные Челны: Изд-во: ИНЭКА, 2006, 125 с.. 2006

Еще по теме Тема 11. Комплексные числа и многочлены.:

  1. § 1. УРАВНЕНИЕ РЕАКЦИИ СИСТЕМЫ
  2. § 3. ПРИМЕР: МОДЕЛЬ КОНЪЮНКТУРНОГО ЦИКЛА ПО М. КАЛЕЦКОМУ
  3. Содержание дисциплины
  4. Разложение многочлена на множители.
  5. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  6. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  7. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  8. 4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ
  9. 2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
  10. 5.2. Вопросы к экзамену (1 семестр).