Тема 11. Комплексные числа и многочлены.
Комплексным числом называется число вида 
, где 
,
-действительные числа, символ 
- мнимая единица, для которой 
.
- называется действительной частью комплексного числа 
, число 
- мнимой частью. Комплексное число 
совпадает с действительным, а число 
называется чисто мнимым. Множество всех комплексных чисел обозначается 
. Комплексное число изображается на плоскости с системой координат 
(называемой комплексной плоскостью) точкой, обозначаемой той же буквой и имеющей координаты 
. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые – оси ординат (поэтому ось 
называется действительной осью, а ось 
- мнимой осью). Комплексное число на комплексной плоскости изображается также радиус-вектором точки 
.
, а угол его 
с осью 
называется аргументом комплексного числа: 
, 
. Аргумент комплексного числа вычисляют, как правило, по формуле: 
. Комплексно-сопряжённым числу называется число 
.
Представление комплексного числа выражением 
называется алгебраической формой комплексного числа, а выражением 
- тригонометрической формой комплексного числа.
Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение) над комплексными числами в алгебраической форме выполняют по правилам действий над многочленами, с учётом того, что 
:
;
.
Деление комплексных чисел выполняют следующим образом: 
.
Возведение комплексного числа 
в натуральную степень 
выполняют, используя формулу Муавра: 
.
Извлечение корня 
-ой степени из комплексного числа (не равного нулю) выполняют по формуле:
, 
(здесь 
- действительное положительное число). Таким образом, корень степени из комплексного числа имеет различных значений, расположенных на комплексной плоскости на окружности радиуса 
.
Алгебраическим многочленом степени называется выражение вида:
,
где 
, 
- некоторые числа (вообще говоря, комплексные), называемые коэффициентами многочлена, причём 
.
Алгебраическим уравнением степени называется уравнение вида 
Число 
, для которого 
называется корнем многочлена или уравнения.
Теорема Безу. Число является корнем многочлена 
тогда и только тогда, когда делится на 
, т.е.
представляется в виде: 
, где 
- многочлен степени 
. Число называется корнем кратности 
многочлена , если 
, где 
.
Для многочленов имеет место следующая теорема:
Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий многочлен ненулевой степени имеет ровно корней, если каждый корень считать ровно столько раз, какова его кратность .
Всякий многочлен с действительными коэффициентами всегда можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами.
Всякий квадратный многочлен 
с действительными коэффициентами на множестве комплексных чисел всегда можно разложить в произведение линейных множителей: 
, где корни многочлена 
и 
находятся по формулам:
1) если 
, то 
- действительные;
2) если 
, то 
- комплексно-сопряжённые.
Для нахождения корней алгебраического уравнения 
с действительными коэффициентами поступают, как правило, следующим образом: находят один из корней подбором (например, корнем может быть целый делитель свободного слагаемого 
), а затем, последовательно применяя теорему Безу, сводят нахождение корней уравнения к нахождению корней линейных и квадратных уравнений.