Тема 11. Комплексные числа и многочлены.
Комплексным числом называется число вида , где ,-действительные числа, символ - мнимая единица, для которой .
Число - называется действительной частью комплексного числа , число - мнимой частью. Комплексное число совпадает с действительным, а число называется чисто мнимым. Множество всех комплексных чисел обозначается .Комплексное число изображается на плоскости с системой координат (называемой комплексной плоскостью) точкой, обозначаемой той же буквой и имеющей координаты . Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые – оси ординат (поэтому ось называется действительной осью, а ось - мнимой осью). Комплексное число на комплексной плоскости изображается также радиус-вектором точки .
Длина радиус-вектора называется модулем комплексного числа: , а угол его с осью называется аргументом комплексного числа: , . Аргумент комплексного числа вычисляют, как правило, по формуле: .Комплексно-сопряжённым числу называется число .
Представление комплексного числа выражением называется алгебраической формой комплексного числа, а выражением - тригонометрической формой комплексного числа.
Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение) над комплексными числами в алгебраической форме выполняют по правилам действий над многочленами, с учётом того, что :
;
.
Деление комплексных чисел выполняют следующим образом: .
Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняют, используя формулу Муавра: .
Полученный результат представляют затем в алгебраической форме.Извлечение корня -ой степени из комплексного числа (не равного нулю) выполняют по формуле:
,
(здесь - действительное положительное число). Таким образом, корень степени из комплексного числа имеет различных значений, расположенных на комплексной плоскости на окружности радиуса .
Алгебраическим многочленом степени называется выражение вида:
,
где , - некоторые числа (вообще говоря, комплексные), называемые коэффициентами многочлена, причём .
Алгебраическим уравнением степени называется уравнение вида Число , для которого называется корнем многочлена или уравнения.
Теорема Безу. Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на , т.е.
когда представляется в виде: , где - многочлен степени .Число называется корнем кратности многочлена , если , где .
Для многочленов имеет место следующая теорема:
Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий многочлен ненулевой степени имеет ровно корней, если каждый корень считать ровно столько раз, какова его кратность .
Всякий многочлен с действительными коэффициентами всегда можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами.
Всякий квадратный многочлен с действительными коэффициентами на множестве комплексных чисел всегда можно разложить в произведение линейных множителей: , где корни многочлена и находятся по формулам:
1) если , то - действительные;
2) если , то - комплексно-сопряжённые.
Для нахождения корней алгебраического уравнения с действительными коэффициентами поступают, как правило, следующим образом: находят один из корней подбором (например, корнем может быть целый делитель свободного слагаемого ), а затем, последовательно применяя теорему Безу, сводят нахождение корней уравнения к нахождению корней линейных и квадратных уравнений.