<<
>>

2.1. Комплексные числа и действия над ними

Изучаемые вопросы: Определение комплексного числа (к.ч.). Геометрическая интерпретация к.ч. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы к.ч. Действия с к.ч. в различных формах.

После изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно [4].

Для проверки усвоения материала Вам предстоит ответить на вопросы для самопроверки.

Формы представления комплексных чисел (К.ч.)

Говорят, что существует взаимнооднозначное соответствие между числом и точкой вещественной оси (рис.1). Также, между точками плоскости и парами вещественных чисел существует взаимнооднозначное соответствие. Назовём такое число комплексным, где – координаты комплексного числа на плоскости. Это будет т.н. координатная форма комплексного числа.


8

Рис.2

Рис.1

К.ч. отвечает вектор из начала координат. Его компоненты: и , или , где – длина вектора, или его модуль, – угол между вектором и положительным направлением оси , или аргумент к.ч., (иногда его называют фазой) (рис.2).

Используют также алгебраическую форму представления К.ч., записывая его в виде , где – вещественные числа, а – символ, такой что , называемый мнимой единицей. Тогда в тригонометрической форме К.ч. может быть записано как .

Важным свойством всех этих форм записи является то, что при этом удовлетворяются основные правила алгебры.

Подробнее об этом Вы прочтёте в Учебном пособии. Здесь же мы хотели бы сделать следующее замечание. Непосредственный физический смысл имеют, конечно же, только действительные величины. Но комплексные функции, содержащие символ мнимой единицы играют важную роль в физике и технике. Этому есть, по крайней мере, три причины.

1. Многие физические величины описываются функциями и от двух переменных и , связанных уравнениями

. (1)

Такие пары встречаются, например, в двумерных задачах электростатики и гидродинамики. В этом случае и являются вещественной и мнимой частями аналитической функции комплексного переменного .

2. Решения дифференциальных уравнений физики в некоторых областях действительного переменного получаются в виде степенных рядов. А тот же степенной ряд может представлять функцию комплексного переменного, поэтому изучение комплексных переменных часто помогает получить более компактные выражения для вещественных значений аргумента.

3. Многие интегралы, заданные в вещественной форме, легче вычисляются, будучи связанными с комплексными интегралами при использовании метода контурного интегрирования, основанного на теореме Коши.

Вопросы для самопроверки по теме 2.1

1. Какие формы записи комплексного числа Вы знаете?

2. Как определяются модуль и аргумент к.ч?

3. Что такое главное значение аргумента?

4. Напишите формулы сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень к.ч.

<< | >>
Источник: Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко. Математика ч.2: учебно-методический комплекс / сост. Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко - СПб.: Изд-во CЗТУ,2008. – 158 с.. 2008

Еще по теме 2.1. Комплексные числа и действия над ними:

  1. § 55. Комплексные числа
  2. § 6. КИБЕРНЕТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДЕЙСТВИЙ НАД ОПЕРАТОРАМИ
  3. ЛОГИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ПОНЯТИЯМИ
  4. Комплексные числа.
  5. Действия с комплексными числами.
  6. Показательная форма комплексного числа.
  7. 1.1.4. Целые числа. Арифметические действия над целыми числами
  8. 1.1.5. Дроби обыкновенные и десятичные, арифметические действия над ними
  9. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  10. 2.2. Тематический план дисциплины
  11. Раздел 2. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
  12. 2.1. Комплексные числа и действия над ними
  13. Контрольная работа №2
  14. Тема 11. Комплексные числа и многочлены.
  15. Комплексні числа. Дій над комплексними числами в алгебраїчній формі. Властивості дій
  16. Геометрична інтерпретація комплексного числа. Аргумент та модуль комплексного числа. Тригонометрична форма комплексного числа
  17. Дії над комплексними числами в тригонометричній формі. Формула Муавра
  18. Показникова форма комплексного числа. Дії над комплексними числами в показниковій формі
  19. Операции над комплексными числами
  20. Лекция одиннадцатая СИЛА, ПРОИСШЕДШАЯ ИЗ ОБЩЕСТВА И СТАВЯЩАЯ СЕБЯ НАД НИМ