2.1. Комплексные числа и действия над ними

Изучаемые вопросы: Определение комплексного числа (к.ч.). Геометрическая интерпретация к.ч. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы к.ч. Действия с к.ч. в различных формах.

После изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно [4]. Для проверки усвоения материала Вам предстоит ответить на вопросы для самопроверки.

Формы представления комплексных чисел (К.ч.)

Говорят, что существует взаимнооднозначное соответствие между числом и точкой вещественной оси (рис.1). Также, между точками плоскости и парами вещественных чисел существует взаимнооднозначное соответствие. Назовём такое число комплексным, где – координаты комплексного числа на плоскости. Это будет т.н. координатная форма комплексного числа.

Рис.1

К.ч. отвечает вектор из начала координат. Его компоненты: и , или , где – длина вектора, или его модуль, – угол между вектором и положительным направлением оси , или аргумент к.ч., (иногда его называют фазой) (рис.2).

Используют также алгебраическую форму представления К.ч., записывая его в виде , где – вещественные числа, а – символ, такой что , называемый мнимой единицей. Тогда в тригонометрической форме К.ч. может быть записано как .

Важным свойством всех этих форм записи является то, что при этом удовлетворяются основные правила алгебры.

Подробнее об этом Вы прочтёте в Учебном пособии. Здесь же мы хотели бы сделать следующее замечание. Непосредственный физический смысл имеют, конечно же, только действительные величины. Но комплексные функции, содержащие символ мнимой единицы играют важную роль в физике и технике. Этому есть, по крайней мере, три причины.

1. Многие физические величины описываются функциями и от двух переменных и , связанных уравнениями

. (1)

Такие пары встречаются, например, в двумерных задачах электростатики и гидродинамики. В этом случае и являются вещественной и мнимой частями аналитической функции комплексного переменного .

2. Решения дифференциальных уравнений физики в некоторых областях действительного переменного получаются в виде степенных рядов. А тот же степенной ряд может представлять функцию комплексного переменного, поэтому изучение комплексных переменных часто помогает получить более компактные выражения для вещественных значений аргумента.

3. Многие интегралы, заданные в вещественной форме, легче вычисляются, будучи связанными с комплексными интегралами при использовании метода контурного интегрирования, основанного на теореме Коши.

Вопросы для самопроверки по теме 2.1

1. Какие формы записи комплексного числа Вы знаете?

2. Как определяются модуль и аргумент к.ч?

3. Что такое главное значение аргумента?

4. Напишите формулы сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень к.ч.