1.1.5. Дроби обыкновенные и десятичные, арифметические действия над ними

Обыкновенные дроби. Число, равное n-й части числа единица (n – нату­ральное число, большее единицы), обозначают .

Всякое натуральное число а можно считать дробью со знаменателем единица, т.е. . Будем считать нуль дробью с любым знаменателем n, т.е. 0 = , где п – натуральное число.

Число вида: , (1.1.1)

где а – натуральное или нуль и b – натуральное число, называется обыкно­венной дробью; а – числитель дроби, b – ее знаменатель.

Две дроби и считаются равными: , если ad = bc.

По определению: , если ad>bc, и , если ad < bc.

Например, , так как 5 ∙ 7 > 8 ∙ 4.

Из определения равенства дробей следует, что дроби и равны.

Действительно, справедливо равенство а ∙ bk = b ∙ ak = abk. Отсюда выте­кает основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной: .

На этом свойстве основано сокращение дробей, т.е. деление числителя и знаменателя на их общий делитель. Например, . Обычно сокращение проводят до тех пор, пока числитель и знаменатель не будут взаимно простыми числами.

Основное свойство дроби используют и для приведения дроби к другому знаменателю. Например, дробь можно привести к знаменателю 24.

Для этого надо умножить числитель и знаменатель дроби на число 2.

Получим . В этом случае число 2 называют дополнительным множителем. Дробь можно привести и к другому знаменателю, на­пример к знаменателю 36. . Здесь дополнительным множителем служит число 3.

Часто приходится приводить две или несколько дробей к общему зна­менателю. Для этого находят наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей и каждую дробь приводят к этому знаменателю. Например, приведем дроби и к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное чисел 12 и 18. Таким числом будет 36. Теперь найдем дополнительный множитель для первой дроби: разделим наименьшее общее кратное 36 на знаменатель дроби 12 и получим 36 :12 = 3. За­тем найдем дополнительный множитель для второй дроби и получим 36 : 18 = 2. Умножив числители и знаменатели данных дробей на их допол­нительные множители, получим: , .

Действия над дробями

Сложение и умножение дробей определяются по правилам:

, .

Вычитание и деление дробей определяются как действия, обратные со­ответственно сложению и умножению. Из этого определения выводятся правила действий: ; .

Разделить дробь на дробь − это исходную дробь умножить на обратную.

Арифметические дроби подразделяются на правильные и неправильные дроби. Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаме­нателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше зна­менателя или равен ему. Любая правильная дробь меньше 1, а любая неправильная дробь больше или равна 1. Например, — правильные

дроби, а — неправильные дроби.

Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого надо выполнить деление с остатком числителя на знаменатель. Например, выделим целую часть дроби, разделив 45 на 7, получим в частном 6, а в остатке 3. Значит, .

Число, которое состоит из натурального числа и правильной дроби, называется смешанным числом. У смешанного числа число 6 является целой частью, а дробь − дробной частью числа.

Чтобы смешанное число записать в виде неправильной дроби, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к произведению прибавить числитель дробной части. Полученная сумма будет числителем неправильной дроби, а ее знаменателем будет знаменатель дробной части.

Например, представим смешанное число в виде неправильной дроби.

Для этого умножим 3 на 8 и к произведению прибавим 5. Получим

3∙8 + 5 = 29. Итак, .

Десятичные дроби

Рассмотрим те дроби , у которых знаменатель b= 10n , где п – натуральное число: . (1.1.2)

Любая дробь (1.1.2) представима в виде суммы

, (1.1.3)

где а0, а1,...,аn, b1,..., bm – цифры.

Например, , , .

Условились дробь (1.1.2) или (1.1.3) записывать также в виде :

, или , (1.1.4)

где с = ат ∙ 10m + аm-1 ∙ 10т-1 + … +а0 = – целое число (целая часть дроби), а b1, b2,..., bп - десятичные знаки (они образуют дробную часть).

Например: .

Так как (1.1.4) − иная запись суммы (1.1.3), то после bn можно приписать любое число нулей, и величина дроби от этого не изменится.

Дробь (1.1.2), записанную с помощью десятичных знаков в виде (1.1.4) на­зывают десятичной дробью. Такая запись удобна для сравнения дробей и для выполнения действий над ними.

Например, сравнивая десятичные дроби 17,839 и 18,153, получаем, что 17,839 < 18,153. Сравним 13,2 и 13,187; их целые части равны. Рассмат­ривая дробные части, получаем, что 13,2 > 13,187.

Правила действий над десятичными дробями

Чтобы сложить две деся­тичные дроби, надо:

1) записать каждый разряд одной дроби под соответствующим разрядом другой дроби;

2) сложить получившиеся числа как целые числа;

3) поставить в сумме запятую под запятыми в слагаемых.

Аналогичным образом производят вычитание десятичных дробей.

Например:

83,759 83,759 5,370 5,37

+ 4,280 или + 4,28 2,093 или 2,093

88,039 88,039; 3,277 3, 277.

Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, надо выполнить их умножение как целых чисел, не обращая внимания на запятые, а затем в произведении отделить справа число знаков, равное сумме чисел знаков после запятой у сомножителей.

Например:

0,38 1,52 1,37

* 39 * 2,3 *0,04

342 456 0,0548 .

+ 114 + 304

14,82; 3,496;

Из правила умножения десятичных дробей следует, что умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. сводится к переносу запятой в этой дроби соответственно на один, два, три и т.д. знака вправо. Например, 3,57∙10 = 35,7; 3,57∙100 = 357; 3,57∙1000 = 3570.

Аналогично, умножение десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. сводится к переносу запятой в этой дроби соответственно на один, два три и т.д. знака влево. Например, 13,2∙0,1 = 1,32; 13,2∙0,01 = 0,132; 13,2∙0,001 =0,0132.

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1) сначала выполнить деление целой части дроби на это число;

2) поставить в полученном частном запятую;

3) выполнить затем деление числа, полученного присоединением к остатку первого знака дроби, и т.д.

Например,

(деление "уголком").

Деление одной десятичной дроби на другую сводится к делению де­сятичной дроби на натуральное число. Надо только в делимом и делите­ле перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их было в де­лителе после запятой. Напомним, что перенос в десятичной дроби запя­той вправо на один, два, три и т.д. знака означает умножение этой дроби на 10, 100, 1000 и т.д. При этом частное от деления дробей не изменится, так как делимое и делитель умножаются на одно и то же число. Например,

4,551 : 1,23 = 455,1 : 123 = 3,7; 743,6 : 1,43 = 74360 : 143 = 520,

так как

455,1 |123 74360 |143

-369 |3,7 -715 | 520

861 286

-861 -286

0 0

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. сводится к ее умно­жению на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., т.е. к переносу запятой в этой дроби соответственно на один, два, три и т.д. знака влево.

Например, 385,3 : 100 =3,853; 2,77 : 10= 0,277; 0,5 : 1000 =0,0005.

Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. сводится к пере­носу запятой в этой дроби соответственно на один, два, три и т.д. знака вправо. Например, 5,323 :0,01 = 5,323 ∙100 = 532,3; 0,027 : 0,001 = 27; 0,5 : 0,001 = 500.

Периодические десятичные дроби

Кроме десятичных дробей, которые в дальнейшем будем называть также конечными десятичными дробями, рассматриваются и бесконечные десятичные дроби.

Бесконечной десятичной дробью: с,b1b2...bп... (1.1.5)

называется десятичная дробь, у которой после запятой стоит бесконечно много знаков (цифр).

Бесконечные десятичные дроби вида: ...c,b1,b2 ...bп… (1.1.6)

или вида: , (1.1.7) где одна или несколько цифр повторяются в неизменном порядке, называют-ся периодическими. Совокупность повторяющихся цифр назы­вается перио-дом дроби. При этом вместо записей (1.1.6)и (1.1.7) употреб­ляют сокращенные записи c,(b\b2. . . bn) и с,b1b2 … bk(bk+ 1 . . . bk+ n).

Например, 0,131313 . . . = 0,(13); 2,3444 . . . = 2,3(4). Дробь 0,(13) чи­тается: "Нуль целых и тринадцать в периоде", а дробь 2,3(4) – "2 целых, 3 десятых и 4 в периоде". Дробь вида (1.1.6) называется чистой периодической дробью, дробь вида (1.1.7) – смешанной периодической дробью.

Периодические дроби являются частным случаем бесконечных деся­тичных дробей.

Обрывая дробь (1.1.5) на каком-нибудь n-м десятичном знаке, получаем конечную десятичную дробь c,b1b2 . . . bп. С возрастанием п такая дробь не уменьшается, т.е. либо не изменяется, либо увеличивается. Например, для дроби 0,15004 ... получаем

0,1 < 0,15 =0,150 = 0,1500 < 0,15004 ...

Определение. Бесконечная десятичная дробь (1.1.5) считается равной обыкновенной дроби : если при всех п выполняется неравенство:

Замечание. Легко проверить, что это определение содержит и случай для конечной десятичной дроби. Равенство (1.1.8) означает, что конечная десятичная дробь c,b1b2 . . . bп дает приближение (с недостатком) к дроби с точностью до .

Отсюда следует, что все периодические дроби с периодом 9 равны соот­ветствующим конечным десятичным дробям. Например,

0,(9) = 1; 4,12(9) =4,13.

Обратить обыкновенную дробь в десятичную − значит найти такую де­сятичную дробь, конечную или бесконечную, которая равна данной обык­новенной дроби.

Если у несократимых обыкновенных дробей знаменатели не содержат простых множителей, кроме 2 и 5, они представимы в виде конечных десятичных дробей. Например:

Вообще, если у несократимой дроби – знаменатель b = 2k ∙ 5m, то процесс деления а на b после конечного числа его повторения закончится, и в результате будет получена конечная десятичная дробь. Если b≠2к ∙5m, т.е. b содержит простые делители, отличные от 2 и 5, то процесс деления можно продолжать неограниченно, и в результате будет получена бесконеч­ная десятичная дробь. Она обязательно является периодической дробью. Поясним это на примерах.

Пример. Записать числа в виде десятичных дробей:

Первые две несократимые обыкновенные дроби представимы в виде конеч­ных десятичных дробей. Их знаменатели не содержат простых множи­телей, кроме 2 и 5. Чтобы записать число в виде бесконечной десятичной дроби применяем способ деления "уголком". После выделения целой части каждый из остатков будет меньше 11, т.е. он равен одному из чисел 1,2,...,10. Поэтому после десятого шага или раньше какой-то из остатков повторится и, следовательно, в частном будет повторяться одна и та же группа цифр: 36. Имеем .

Теорема 1. Всякую обыкновенную дробь можно обратить в десятичную дробь, конечную или бесконечную периодическую.

Теорема 2. Для всякой периодической дроби всегда найдется равная ей обыкновенная дробь.

Правило обращения периодических дробей. Любая периодическая дробь вида равна обыкновенной дроби, составленной по следую­щему правилу:

1) ее числитель есть разность между числом, стоящим до второго перио­да, и числом, стоящим до первого периода;

2) ее знаменатель есть число, изображаемое цифрами 9 и нулями на конце. Цифра 9 повторяется столько раз, сколько было цифр в периоде, а нуль столько раз, сколько цифр содержится между запятой и первым периодом.

Например, смешанная периодическая дробь равна обыкновенной дроби, а чистая периодическая дробь равна . Применяя правило обращения периодических дробей, получаем