§ 2, Матрицы и действия с ними. Ранг матрицы, Обратная матрица. Теорема Кронекера-Капелли

Примеры.

О *)¦ р[: р )• w 4ss р мрею ия«)

PDF-версия с 31 я MirKnig.com

[Гл. 1

32

Элементы линейной алгебры

представляют собой матрицы, а таблицы

О

8 10 40

3 5 7 0 7 И

не являются матрицами, поскольку они не прямоугольные. Отметим, что матрицы, в отличие от определителя, не являются числом. Это условный способ обозначения таблиц с числами, Матрицы обычно обозначаются большими латинскими буквами А, ВуС^., Запишем матрицу, имеющую п строк и т столбцов ((n х т)-матрица):

/ (іц а 12 aja ... aim \

А =

U2J Оаі 0.2 З

\ flfti anz апт j

Числа апт (п — иомер строки, т - номер столбца) называются элементами матрицы. Если матрица имеет одинаковое число строк и столбцов, она называется квадратной, или матрицей п-го порядка. Элементы квадратной матрицы лежат на главной диа

гонали, — побочной диагонали матрицы,

Матрица, все элементы которой нули, называется нулевой матрицей.

Матрица называется диагональной, если она квадратная и имеет отличные от нуля элементы, стоящие только на главной диагонали.

Матрица называется единичной, если она квадратная и асе элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Единичную матрицу обозначают буквой / или Е.

Матрица называется транспонированной к матрице А, если в матрице А столбцы заменены строками и наоборот. Например, транспонируя матрицу

получим матрицу Ат

1. Умножение матриць] на число. Произведением матрицы А и а число к является матрица к А, каждый элемент которой умножен на число к.

Примеры.

к = 2t А - [ 0 J , кА к = -1,

= Г2 'V

V 16 О ) '

2.

Пример ы.

Л

-(і 2 О- С=А+В=

Аналогично

22:4).

Отметим, что сложение матриц А и В определено только тогда, когда матрица А имеет одинаковое число строк и столбцов с матрицей В.

3. Умножение матриц. Пусть даны две квадратнее матрицы:

л /ои а1г\ Bm(bi

\ / \021 022 J

Произведением дзух матриц А н В называется третья матрица С ¦= = АВУ элементы которой определяются следующим образом:

V С2Х Р2Ї J

сц = ац&ц + сп = лцЬі2 Ч- аіз^аз,

Oil. = ^ajbil + 022^21, Pjl = -f 092&ЗД

т.е. элемент матрицы С есть сумма произведений элементов /і-й строки матрицы А на элементы ^-го столбца матрицы В.

Аналогично определяется произведение неквадратных матриц, причём А допускает умножение на матрицу В н даёт произведение АВ в том и только том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В и яри этом несущественно, сколько строк имеет матрица и сколько столбцов имеет матрица В. Произведение А В имеет одинаковое число строк с матрицей А и одинаковое число столбцов с матрицей В.

2 ю.и.к^нтОЯ" ко для ознакомления PDF-версия с 33 я MirKnig.com

Прнмеры,

/ 1 2 \ { 4 0 \

/14 + 2 5 ЬО + 2-7\ fU U\ ^ 0 4 + 3 5 00 + ^-7 J 15 21 J 1 /4-1+0 0 42+03\_/4 8 \ ВЛ~ \ 51+0-7 5 ¦ 2 -Ь 3- 7 / 3lj-

Таким образом, а общем случае АВ ^ ВА. Отметим, что Д{ЛІ?) ^ ~ Д{.4) ¦ Д(Я). т.е. определитель произведения двух квадратных матриц я-го порядка равен произведению определителей перемножаемьіх матриц. Л {€) = 84, Д( Л) = 3, Д{?) = 2S, и Д(С) = Л (Л) ¦ Д(й), 84

!)¦--(?)¦ "-(?)¦ В этом случае произведение В А не определено, поскольку число

столбцов в матрице В не равно числу строк в матрице А. ОтметирДр

что если существуют две матрицы А и В, для которых АВ = В А, то

они квадратные.

(Р

е) А 1 2 3 4 )> Я-

АВ = ( I Э 3

(1 + 4 + 9 + 16) = 30,

ВА

[ 1 2 3 4 ) =

0 1

(

3 4 2 1

г) Показать, что А(?С).

АВ = (1,2)

= J 0 ^ ~ (51,6,14);

4ЇЇ3 0 М f 29 4 б 1 Д 5 1 oJ = ^ll 1 4

29 4 6 1 ) 1 ю

трицмр лнр PDF-версия с

)м(51,бле.

я MirKnig.com

ffUtr/t/іици и Осйствих с /шлаг !*нп.' литрицы

Аналогично можно jKJKfia.iT!., что ЛИ НА Л, 1С К ft, где А — люба к каадратиая матрица, К - единичная, матрица А и матрица Е одного порядка.

Пусти дана ншдрнтпаи матрица. Олррдыштс/м*, сгктинлоиний из элементов кшратіїий матрицы (<5са Еісрічтинштк ин мі їпон матрицы), лашнается определителем міонріщи fi Ыншлчагтш Д(Л).

Квадратная штршіа /1 (газытиггся щлрияиичшнН, оі'ли А(Л) 4), Н не вы рож ДСШ foil, ОСЛИ й(Л)'/1). ОТАЯ'ТНМ. ЧТО иОХІІІІДЕиїТНіНЕ МЛТрНШі определители не нгеет, .і -¦ А (.4)

4- Обратная матрица. Матрица И ЕШыиастел оГфатлпй длл матриц ы А, если ЛВ ¦ НА - Укажем пі'котіі[и-іс сніжсгші і>Гір;гпк»Гі матрицы.

Обратная матрица дли матрицы Л odi^'tiri! оГюйшачш'Тсл А 1 (ік* следует понимать Л" 1 как или для дшкчіші матриц гіраішла і jut).

Если матрица имеет обратную, то она шшырижлгниая, т.н. Д(Л) ф о, причем а матрица Л, и матрица А 1 кмщциітшчг.

Если матриц* А лм^ет обратную, то эта обратил матрица единственная.

(Л^1)"1 -- Л, осли Д(Л ') / (К

Нахождение обратной матрицы. Пусть дана ігеїшрожденшш матри-ца

а) Составляем матрицу из алгебра Н'іес к их допплпении ьл смелтон матрицы Л\ Лц — а 22. Ліу — — w а і - А\і\ г 'На. яц, тогда имеем

an -ам

б) затем транспонируем эту матрицу, т.е. меняем местами строки и столбцы, получаем матрицу, которая называется присоединенной к матрице А к обозначаете* А*:

в) обратная по отношению к Л матрица имеет вид

а

35

Покажем, что эта матрица является обратной к матрице А. Для этого проверим выполнение равенства А-1 А = АА~1 = Е:

1 / -дії Л / СЦ а1а \ _

= V ~а21 аи / V азг а/

1 / ^22аИ — ai2a2l &22aL2 ~ а12а22 \

= МА) \ -а^ійц + аца2і -ПІІ^іч +оцагй }

1 Л (А) 0 \ / 1 О

(A) J' [о 1

= Е.

^ о Д(Л)

Аналогично

t/an ^22

~ \ а» йаа J А(а) ^ а и У

1 / ац^за - а^а^ \

~ Д(А) \ а>ц(і22 - &22аїі J

1 ( all0>22 — О

Таким образом, имеем равенство А = АА~1 = Е.

Заметим, что если матрицы Л и В — невырожденные, то:

- В-1 А-1:

(Лт)-: - (А-1)1.

—Ко4?). ^ = 1 (-І

Если матрицы Л.6, С - невырожденные, то (АБЄ)Н « С

PDF-версия с 36 я MirKnig.com

Пример. Найти матрицу, обратную для матрицы А:

/1 2 1 ч Л = j 3 -5 3 , Д(Л) = 33. \2 7 -1 )

Решение, Составляем матрицу Из алгебраических дополнений элементов матрицы А:

Находим транспонированную матрицу, которая является присоединён-ной к матоице А\

" -16 9 11 А" « [ 9 О

31 -11

Делим на определитель матрицы А и получаем Л-1:

-16 Я 11

31

Покажем, что A lA = Е.

-16 9 11 А 9-3 0

-16 + 27 + 22 -32-45 + 77 -16 + 27-11 9-9+Е) 18 + 15+0 9-9+0 31-9-22 62 + 15-77 31-9 + 11

~ Е.

33

31 -11

Аналогично можно показать, что АА~Х = Е.

Другой способ получения обратной матрицы, Вьтискйают матрицу А в виде

2 1 | 1 О О А = \ 3 -5 ЗІ010

7 —1 О О 1

Обозначив строки этой матрицы через Jj, производят над ней следующие преобразована д

1) Первую строчку умножают на 3 н вычитают вторую строку 3Jj _ j3 — результат ставят на место второй строки Затем умножают пер вую" строку Еіа 2 и вычитают третью 2- /а — результат записывают на место третьей строки (первую строку оставляют без изменения

2) ЗІ2 + 1І/і и результат ставят на место третьей строки

33/і — /з — результат записывают на место первой строчки

33 6G О ОНО О 0 33

її — 6^2 — результат записывают на место первой строки

-16 9 11

3-10 31 -3 -11 9 11 1 0 0 33 33 0 1 0 9 3 0 33 33 0 0 1 31 3 11 33 "^33 33 УмЕзожают вторую строку на 3 и делят асе строки на 33 в результате получают

\

аа /

Далее, опускают единичную матрицу и получают обратную матрицу.

„ Д = йцагг — ЗДэОД ф 0,

Найти А-\ если А=(аи "

V а 22 Представим матрицу А в виде

( ап aV2 1 0 \ \ &21 022 0 1 )

I) — в\ 1-^2 и результат ставим на место второй строки,

а первую строку (/і) оставляем без изменения

1 о \

накоМ'

— я MirKnig.com

/ ян ai

д

а<2\ 33

кО д л-

PDF-версия с

2) Д 1\ -f o-uh и результат ставим на место первой строки, а вторую строку {/?) оставляют без изменения

Лап О

О

-Д

ацаз2 аїі

"in

3) Первую строку делнм на Дац, а вторую — на — Д, В результате имеем

' 1 О О 1

Л Л

Опускаем единичную матрицу и получаем которая найдена другим методом выше.

Отметим, что линейное преобразование

х1 = уі+2у2 + уз, Х2 = Зу, - Ьу2 + Зуз, яэ = 4- 7у2 - Уз.

Л —

имеет матрицу

Найдём для него обратное преобразование, решая систему относительно неизвестных Уі,У2і Уз*

xi 2 Х2

Я73 7

1

1 3 -1

X!

яз

1 3 -1

Л

33

3 2

~ 1 - - = 33

= ^ C-ICxi + 9аса + lUj),

- - Зт2) ,

Дз

2 Xi

3X2 ~ 1 *

Уз =

Л

33

З —5 х2

7 хз

Обратное преобразование для исходного имеет вид

г 16 9 4 11

У з

31 з п

9 =

33 39

[ УЛ.

40

Элементы линейной алгебры

которое имеет матрицу обратную исходной:

/ -16 9 И

і 1 9 _з о

33 ^ 31 -11

У =

Таким образом, если X = AYt то У = А^Х, так пак Л~1АУ = ЕУ = - У. где

X =

Итак, решая (например, по формулам Крамера или методом Гаусса систему АХ — У (ДМ) Ф 0) относительно X, получим X - BY, тогда і _. в т е имеем еще один способ нахождения обратной матрицы. Если систему уравнений (6) § 1 представить в виде АХ = Я, где

/їі\

оп аіз йіз \ ft 21 &22 ^23 ам «32 й33 /

(ЬЛ

Ь2

А -

w

Б =

а её решение по формулам Крамера есть (Д / 0)

/ДА

А

Расписав каждый определитель Д^ {к = 1,2,3) по столбцу свободных членов, получим Д^ = + + Ьз-^зь где A^v — алгебраические дополнения элементов Следовательно

(ЬЛ b2 -

= A~lB,

Д

b\Au Ь2А2\ Ь^ЛЗІ \ Mia Ь2А22 Ь3А32 ЬІЛІЗ b2A2$ ЬЗ^-зз )

* - і

f Ап An Азі ^ Ац A22 A$2

^23 ^33

V

Матрица A 1 есть обратная матшца для А так как A lA — АА 1 =

{

Пусть дана система двух уравнений с двумя неизвестными;

ацЯ| + 0.12X2 = Ьь 4 — Ь2 Введём три матрицы:

"-(г 2). *-(?)• »-(&)¦

Используя правило умножения матриц, рассматриваемую систему мож-но записать в матричной форме:

(Si її)(5)-(&) "лн

Предполагая, что определитель матриц А отличен от нуля, умножим левую и правую части уравнения АХ ~ В на обратную матрицу А~1 и, учитывая, что А"1 А ~ Е, EX = X, получим X — A~LB или в развёрнутом виде (А"1 определено выше)

f Хг\ _ / а22 -aj2 \ f Ьі \ _ 1 / bid22 ~ Ml2 \ _ \х2 ) Д(Л) \ -a2t an } \Ь2 J ~ ^ -Мзі +йцъ% ) '

= .JL. ( Д*1 \

д(Л) Да^ J ¦

Приравнивая элементы матриц, стоящих слева и справа» получим

&Х1 Дя?2

— формулы Крамера.

Пример, Найти решение системы матричным методом

-4 2X2 4- Хэ = 4,

3:ci — 5x2 4" З^з = 1 >

2ясі 4 7х2 — хз = S-

Решение. В матричной форме данная система имеет вид: ЛЛ" = = i3h а решение А"1 В. Матрица найдена выше.

-64 4-9 + 88

36 - 3 4- О 124 - 3 — SS

-16 9 11 \ 9 -3 О 31 -3 -11 I

1 Р3^

= ™ 33

Ния

3 0 > 9 0 15 0 V ! -8 3 0 -5 9 0 -2 15 0 Пример. Решить матричное уравнение

{ 5 З 1 \ (-Ъ X 1 -3 -2 1= \ -5 2 1 )

В =

Решеине. Введём обозначение

А =

ва на

Данное уравнение принимает вид ХА = В. Умножнп его спра Лтогда получим X = В А'1- Находя матрицу А"\ имеем: (1 4 2 3 5 6 S 9 L

19

-і

X - ВА

Пример. Найти решение системы матричным методом

xl + + 7X4 = 12,

і

Здгі + 5x2 + 7хл + = О,

4- їх? + 4- 3^4 = 4,

7хі + Х2 4- Зх3 + 5І4 = 16.

Решение. В матричной форме система имеет вид АХ = где

( 1 3 5 7 \ 3 5 7 1

/*і\ /12\ О

X =

В

1

3 R

3

5 У

А -

5

V

4

{ 16/

Умножим обе части уравнения АХ ~ В слева на Л-1. Тогда, так как Л~1А = Е и EX = X {Е — единичная матрица), получим X — А"1 ІЗ. Таким образом, чтобы найти столбец Аг нужно вычислить обратную матрицу для матрицы А. Вычисление обратной матрицы разбиваем на четыре этапа,

1, Вычисление определителя Д(Л) (если Л(Л) = 0, то А"1 не существует и этот метод неприменим);

Составление матрицы на алгебраических дополнений соответ-ствующих элементов матрицы Л;

-і

4. Вычисление обратной матрицы Л-1 по формуле А

Матрица Л енлькоа олян вдзо главной днаюналн, так как

Замена строк столбцами в полученной матрицы из алгебраических дополнений {применение операции транспонирования), т. е, нахождение присоединённой матрицы А* к матрице Л;

для оссх и /л Для симметричной матрицы обратная матрица (осли она существует) также симметричная. Поэтому п|ш нахождении Л"1 достаточно шиїти элементы, например, стоящие в верхней треугольной насти (на глншюй диагонали и ныше сIі, а элементы стоящие ниже ЕЙ выписать ни условия симметрии). УЧЁТ этого замечания НЕСКОЛЬКО COKJUITHT вычислительную работу.

Величину определителя моокію найти, например, расписав его гто первому столбцу Д — а\\Ац Н- «а і Л21 -І а,щАм Ч а.\ \ Л,\ \

Алгебраические дополнения ннчислзпотся по формуле A(Vt

— где Mh,r — минор получающийся из олрсшлитсля

система вычёркиванием ум-о столбцп п строки. Итак, Г> 7 1 А11 - 7 t 3 м 26 -h 21 1 2L - (1 4П \-2'1Г>) « -234 1 3 Г>

Л

- ;J2.

21

3 5і 7 7 1 3 I 3 5

Аналогично получаем А-м — 32, А.и = 2 N8. Подставляя найденные а л гебраичосКЯе дополнения п формулу /узя Д получим Д ^=2048. Вычисляя остальное Afil/ и состаылия матрицу из ялгебраичосиих дополнений, после транспонирования и сокращения общего множителя (он равен 32) имеем: і 1 і 1' !J V а -7 ( 12 \ О

4

V 16 /

\ I

1 Э

Ї) -7

-7 I

I 1

1

U

( 1 N -і

G

V 2 /

Таким образом, решение исходной системы уравнений есть = 1; жз = -I; хь - 0; - 2,

Замечание. При вычислении обратной матрицы мыс начала соста-вили матрицу из алгебраических дополнений, а затем транспонировали её. Не будет ошибкой, если сначала транспонировать исходную мат-рицу, а затем для транспонированной матрицы составить матрицу из алгебраических дополнений.

Пример. Решить матричное уравнение

(зв) (эз):

я

B=d на

Решение. Обоэначим

| Гл, I

Проверка:

тогда исходное уравнение имеет вид АХ В —С. Ум ножи о его слеза на Aа справа на В-1 и учитывая, что A~lA = Е, EX — X, 1 = Е} ХЕ = X получим

5. Ранг матрицы. Пусть дана матрица, имеющая т строк и п столбцов. Вычеркнем из этой матрицы некоторые строки и столбцы так, чтобы число оставшихся строк и столбцов стало одинаково, например, к. Иэ этих строк и столбцов состаиим определитель. Этот определитель называется минором к-ео порядка. Количество таких определителей определяется числами т и п, а наивысший порядок, который они могут иметь, равен наименьшему из двух чисел тип. Наименьший порядок этих определителей равен единице, причем определители первого порядка суть сами элементы матрицы. Предположим, что все определители некоторого порядка к, входящие в матрицу, равны нулю, тогда асе определители + 1)-го порядка также равны нулю, так как всякий определитель порядка (fc-Ь 1) можно представить в виде суммы произведений элементов его некоторой строки (столбца) на алгебраические дополнения (а это определители к-го порядка) этих элементов. Раз все определители порядка (fc + 1) равны нулю, то все определители порядка (к + 2) также будут равны нулю, н тгд,

Итак, если все определители некоторого определенного порядка, входящие в данную матрицу, равны нулю, то и все определители более высокого порядка этой матрицы также равны нулю.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров. Если ранг матрицы есть к, то среди определителей порядка к, входящих в эту матрицу, есть по крайней мере один, отличный от нуля, но все определители матрицы порядка + 1) равны нулю. Ранг матрицы А обозначается rang А или г(А).

Примеры.

/ООО

Л = ( 0 0 о

V о о о

равны нулю.

1 2 ;

f 5 6 1 9 10

но существует определитель первого порядка, например [G 5 отличный от нуля.

г (Л) = 0Т так как все определители матрицы

? 4 \

7 3 Эта матрица прямоугольная (тп = 3, ті = 4),

11 12 J

Каи высший порядок определителей, входящих в матрицу, равен трём. Эти определители могут быть получены только вычёркиванием одного столбца (т < п). Вычислим их. 1 2 3 I 1 2 4 & 0 7 1=0, 5 (і 8 э 10 11 1 9 10 12 = 0,

1 3 4 2 3 4 5 7 S = 0, С 7 8 9 11 12 10 11 12 = 0.

Все определители третьего порядка равны нулю, поэтому rang Л ^ ^ 2. Переходим к рассмотрению определителей второго порядка. Вычеркнем, например, 3-ю строку и 3-й и 4-й столбцы. Тогда имеем определитель:

I 6 = 9-XQ = -4#0.

Следовательно, вьтешй порядок отличных от нуля определителей, входящих я матрицу, есть 2, а поэтому rang Л — 2.

6- Теорема Крон екера-Кап ел ли. Пусть дана система алгебраических п уравнений с п неизвестными (см. п. 6L § J). Если среди свободных членоа »хотя бы один отличен от нуля» система называется неоднородной; если вса - Qtfi- 1^2,3, то система

уравнений называется однородной

Однородная система уравнений всегда имеет решение х\ Х2 ~ — гсз — — которое будет единственным, если определитель

системы не равен нулю> Таким образом, однородная система уравнений всегда совместна.

Пусть данная система уравнений неоднородна. Выпишем матрицу А из коэффициентов системы и расширенную матрицу ІЗ, полумаемую добавлением к матрице А столбца свободных членов:

\

І &и

o-ln \

«12 а 22

«ЇП

U2«

тп

/ аи <121 а22

А ~

в =

/

bn )

а

Йп2

а

\

rtn

ІІТі

V aTа

Вопрос о совместности неоднородной системы линейных алгебраических уравнений решается следующей теоремой.

[ Ш J:

46

Элементы линейной алгебрьш

Теорема Кронекера-Капелли: система линейных неоднородных уравнений имеющая п уравнений с п неизвестными, совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы, re. rangA = rang 5 Если rang А - rang В = — п то система имеет единственное решение (в этом случае А(>1) ф 0); если rang .4 = rang В < п, то система имеет бесчисленное множество решений (гри этом базисных неизвестных будет к, свободных —

(n-Jfc)).

Из этой теоремы следует, что если rang А ф rang В, то система уравнений несовместна (решений не имеет).

Решение. Выпишем матрицы Ли!?;

Пример- Является ли совместной система уравнений:

J\ + J4 —» J^.

Jg + Ji Jj (преобразования 6, 7, 8 — производят со столбцами).

3/3-Ь Ji h. ]0. h-lh

П. 2/j + h.

В результате получим: {1 1 2 3 1 Ї ( 1 1 2 3 1 > f 3 -2 -4 0 4 7 11 7 2 3 -1 -1 -6 —> 0 0 9 13 13 И 2 3 -1 -4 ) \ 0 0 0 1 1 )

0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 1 0 0 \0 0 0 "1 0 J

Рай г последней матрицы равен 4, следовательно, таков же и ранг исходной матрицы.

Другой метод вычисления ранга матрицы (метод окаймляющих миноров). Для вычисления ранга (га х т) матрицы нужно найти хотя бы один ее минор порядка v (І/ — меньшее из чисел п и га) отлич-ный от нуля, тогда ранг равен v. Если все её миноры v-го порядка равны нулю, то следует рассматривать миноры порядка v — 1 и так далее. Однако на практике поступают наоборот — переходят от мнно- ров меньшего порядка к минорам большего порядка, руководствуясь следующим правилом. Если найден мннор и-го порядка отличный от нуля, то вычисляют только мнноры (і/+1)-го порядка которые являются окаймлением найденного минора iv-ro порядка. Если все такие миноры равны нулю, то ранг матрицы равен ІЛ

В рассматриваемой (4 х 5) матрице (меньшее число из 4 и 5 есть 4, следовательно, ранг не может быть больше 4) в левом верхнем утлу стоит минор 2-го порядка отличный от нуля.

1 1

3

Mi =

— -1 — 3 — —4 ф 0.

Окаймляем его справа н снизу (добавляем столбец и строку)

1 1 2 3 -I -I

2 3 -О

М2 =

= 1 + 18 - 2 - Ґ^4 г- 3 - 3) = 27 ф 0.

ля о на одле ия

Окаймляем М% справа и снизу, Это можно сделать двумя способами,

3

112 1

3 -1 -1 -4 2 3-1 -С 12 3-4

1 1 2

Мз =

Мл =

З -1 —2

2 3-1 -1

12 3-Х

Так как Мз = —153 (он вычислен в примере 10 Мз ** Л), то ранг рапеи 4, Вычислять Ма нет необходимости (хстя он вычислен там же МА = Д^ = -153).

7. Собственные значения и собственные векторы матрицы. Пусть дана квадратная матрица А (Д(Л) ф 0), ненулевой столбец X и число Л, Если выполняется равенство АХ — XX„ то число А называется собственным значением матрицы А, а столбец X называется собственным вектором (столбцом) матрицы А соответствующий соб-ственному значению Л.

Пример. Найти собственные значення матрицы

= ап^аз - ф 0.

Решение, Пусть X ~ ^xa)* тогда учитывая, что X = ВХ, где

В — единичная матрица из АХ — XX имеем АХ ~ АЕХ или {А — — ^а 0. Это матричное равенство равносильно системе равенств

{

(ац — А) + = + {Я22 — А) Х2 = 0,

Существование ненулевого столбца X равносильно существованию ненулевого решения однородной системы двух уравнений с двумя неизвестными, но она имеет ненулевое решение, если её определитель (см. § I) равен нулю, т.е.

Д —

= 0.

ац -A dig n2i ~ А

Это условие даёт уравнение для определения собственных значений А и называется вековым уравнением (или характеристическим уравне-нием). Раскрывая определитель, получим квадратное уравнение для нахождения А.

А3 — А(д] і + взэ) -Ь =

ол ь к о »+ ^я ) о зНакоМгления ¦

Пример, Найти собственные значения и собственные векторы мат-рицы

/2—12 А = 5 -З 3 V -1 0 -2

2-А 5 —3 - А -1 О

2

3

2-А

Решение. Составляем характеристическое уравнение

- (4-А3) (3 Н- А) +

+ 3 - 2(3 + А) - 5(2 + Л) = -(А + 1)э = 0.

А ~ -1 — собственное значение матрицы А. Подставляя А — —1 в уравнение АХ = АХ получим уравнение для определения X.

= 0

или

Зї] -Я2 + 2ЯЗ — О, 5дгг — 2x2 + З.тз — О, L хг -Y х3 = 0.

Решение этой системы (см. п. 5 § 1) есть (Ді = 2, Да = —2, Дз = = —2) її = t, Х2 = t, Хз — Следовательно( искомый собственный

соответствующий

вектор исходной матрицы есть X =

собственному значенню А = — 1

Зйдание Проверить правильность нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы

А =

Характеристическое уравнение имеет вид 2-А -1 3

= — А(А + 6)(А - 2) = О,

X 1-А -2 О 3 -7-А

Отсюда собственные значения матрицы А равны Аі — -6, кп =0, A3 ^ = 2. Тогда ; е^ о у з

1) Ai =

8xj - Х2-г Зд;а — 0. її -f 7x2 ~ — О, 3X2 — хэ = О,

2) Л2 = О

Xi=t I 1 \ , t^O;

2х\ — Х2 + З&з = О, Х\ +Хг ™ = О, Зяг5 - 7х$ = О,

3) Л2 ^ 2

X2 = t[ 7 I , і ^ 0;

-г 2 + Зіз — О,

— Т'2 — 2д;3 — о,

3s2 - - О,

Хз = t t t ф 0.

Замечание. Пусть дана квадратная матрица порядка nt тогда:

число корней характеристического уравнения, отличных от нуля, равно рангу матрицы, т. е. ранг матрицы меньше п тогда и только тогда, когда по крайней мере один корень характеристического уравнения равен нулю,

AL-A =

если махриця симметрична, то все « корней векового уравнения действительные.

8, Квадратичные формы. Квадратичной формой называется од-нородный многочлен второй степени от rt переменных

п

F {ху і 1 j ^ЇЇ

) — У1 аи

VXдТу.

Рассмотрим квадратичную форму трёх переменных. При ті = 3 квадратичная форма от трёх переменных имеет вид

із) = аца? + 022^2 + 4- 2аі2яізд +¦

Матрица, составленная нз коэффициентов

(

Оц С-12 (1,3 \

fi21 «22 «23 > aflv " Q>vn

ЙЗХ Пзз /

(обратите внимание, как записываются коэффициенты а^ при ц Ф f), называется матрицей квадратичной формы, причём та it как аЦ(, = то она симметричная, Если эта матрица диагональная, то квадратичная форма имеет канонический вид (днагональна).

F( хцЯгіЗД) - оц^ї +

Если все коэффициенты квадратичной формы вещественны, то она называется вещественной- Мы будем рассматривать только веществен-ные квадратичные формы.

Квадратичную форму F(XL,можно записать в виде

где X — столбец из переменных дг^, xj. ^3т а ХТ строла из тех же переменных (транспонированный столбец) Например, пусть задана квадратичная форма ^(дрщ^хз) = 2х% + + — 2х\хъ — Отсюда

Л=[ Л З1 О V ), а ХТ^(хіх2хз),

тогда

II =

Хъ

2 —1 —1 \ XJAX = {xi | -1 3 О

-10 4 /

2xi — х% — хз (Xi х2 Х3 ) [ -Ті + Ъх2

— 2х\ — Х\$2 - ХЗ - Х\Х2 + — Х^З + 4х'з =

— 2х\ ч- 3^2 + ~~ - 2х\хз = F(x 1, X-2t Хз)і

т.е. Ffxi^as^a) — XіАХ. Эта запись справедлива и для п перемен-ных.

Основная задача теории квадратичных форм — при помощи различ-ных замен переменных (линейных преобразований) привести квадра-тичную форму к каноническому виду:

То л ) )) ля до'+йиКоМ. +

Пусть задано линейное преобразование X ВХ\ выражающее переменные чеРез новые переменные ,х'и< Ес

ли Д(В) ф О, то преобразования называются невырожденные (неосо-бенные). В этом случае существует обратное преобразование X' — = выражающее новые переменные через старые. Если в квад

ратичной форме с матрицей А сделано линейное преобразование переменных с матрицей В, то полученная квадратичная форма будет иметь матрицу

Приведение квадратичных форм к диагональному виду невырожден-ным линейным преобразованием переменных может быть осуществлено бесконечным числом способов, При этом коэффициенты при квадратах переменных в диагональной форме могут не совпадать. Если квадратичная форма невырожденным линейным преобразопакиом перемен-ных приведена двумя способами к диагональному виду, то в обоих случаях число положительных коэффициентов, число отрицательных коэффициентов н число нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных одно и то же.

Столбец X называется нормированным„ еелн сумма квадратов его элементов равно единице, т.е.

+ + 1 {ХТХГ = 1).

Два столбца X и У\ имеющие одинаковое число элементов называ-ются ортогональными, если сумма произведений их соответствующих элементов равна нулю, т.е

Хіуі + Х2У2 + 23ІЙ +... + ХпУп =0 (XTY - YTX = о}.

Линейное преобразование переменных называется ортогональным, если его матрица ортогональна. Квадратная матрица называется ортогональной, если все её столбцы нормированы и попарно ортогональны. Чтобы квадратичная матрица А была ортогональной, необходимо и до-статочно, чтобы ЛТА Е.

Свойства ортогональных матриц.

О предел нтель ортогональной матрицы равен il, так как AJA ^ то Д(ЛМ) = Д(ЛТ)Д(Л) = (А(А))2 = А(В) = 1, отсюда (Д(А))а = 1 и Д(А) — ±1.

Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица, Пусть .4 и В ортогональные матрицы (А] А = Е„ ВТВ = і?) одного и того же порядка, а О = ЛВ, тогда С1 С = (АВ)Т(ЛЙ) = BJATAB — = ВГЕВ = ВтВ =¦ Е, Тч е. матрица С ортогональна,

Единичная матрица В ортогональна (ЕТВ = ?}.

Для ортогональной матрицы >1 обратная матрица существует и равна транспонированной А"1 ~ Ат, причём обратная матрица ортогональна. Пусть матрица А — ортогональна, т.е. выполняется равен-ство АТА = Е. Умножим это равенство справа на Аи учитывая, что AA~L = Е и АхЕ = А1 получим Ат — А~К Теперь умножив последнее равенство на А слеьа имеем ААТ g АА= Е. Итак, если матрица А ортогональна. тр КО Л.4Т с Et А1 — Ом

Квадратичная форма гсз,.,згп) называется положительно

определенной, если при любых значениях аргументов

Ff.TbX'a, ^ О,

причем . = 0 тогда н только тогда, когда = » .=

=s in ж О,

Чтобы квадратичная форма была положительно определённой необходимо и достаточно, чтобы при приведении ее к диагональному виду невырожденным линейным преобразованием переменных все Е(оэффи- циенты при квадратах новых переменных были положительны.

Квадратичная форма Ffcbяз»..¦,называется отрицательно определённой, если форма ... положительно опреде-

лена.

Квадратичная форма называется неопределимой, если ойа не является определённой ни положительно, ни отрицательно. Если квадратичную форму можно представить в виде

F(arb a;2l., хп) = ]Г

где - ±1; 0; р. = 1,2, ,t.tn, то квадратичная форма имеет вид, который называется нормальным видом

Сущестпуют различные методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Рассмотрим некоторые из них. I. Выделения полных квадратов.

Пример. Найти канонический вид для квадратичной формы, если;

сс^яз) - г? - 4х% + 2хіх2 — 4яі:с3;

= Хі Xr, + — G^IES + — 2х^хч\

= хіх2 + Х\Х2 4-г'2Тз

Решение. 1. Собираем члены содержащие з:і и выделяем полный квадрат, затем собираем члены содержащие Х2 и выделяем полный квадрат и так далее.

^(гьА^з) = (*i + Х2 — 2х3)2 — - Лх1 + 4 - -

+ х2 - 2х3)2 + 4x1 + 4X2X3 - 8r| =

= (хх ±Х2- 2zs)2 4 (2Х2 4 Х3)2 - 9jcJ = я? 4- - ,

где x'l = Ті + Х'2 - 2т3т х'2 — 2х2 + Яз, x'j ~ Зхз- Решая систему уравнений

г

г Х\ 4 х<2 — — х[, 2X2 4 = >

[ Гл, 1

1 -2

х'2 2 1 О 3

/ 1 ./ , 5 f

~ 1 2 Х<1 0

относительно XI, ^з, получим

Л 6

1 х\ -2 О х'7 1

О X*

1 (3

Л2

. д

Х'2 —

1 1 ¦ б*3'

Лз

Д 6

1 I х\

О 2 х'г О 0 х'3

Квадратурная форма в новых переменных принимает канонический вид = і? + ~ > "*Де

- xi + х2 - Х'2=1Х2 +Хъ ЕЗ=ЗЗТ3,

1 * , 5 / 1,1, 1 j

si = - 2 Sz + аса=з*І1

2, Аналогично,

із) - (її - 3®а + із)2 - 2 fa* - \ + |*і =

где х

х[ — І! - Здг2 4- ДСзі = 2їа — ^ ~ ^Зі

3 ' 3 ' 1 ^ 1 , 1 , 1 , Х% =Xl + 2 Жа ~ 2 ~ + 12

Fjfri, і3, із) -1? - 2і? + 1 а:?.

Напомним: если в квадратичной форме с матрицей А сделано линейное преобразование переменных с матрицей С, то полученная квадратичная форма будет иметь матрицу В = С1 АС. Действительно, квадратичная форма F^ix^ yxz, із) имеет матрицу Л?. (Обратить вни-мание, как выписываются элементы a[llf при ^ ф v.

/3 I ' 2 12

J_

12 1

С3 =

О

1 -3 I А2 - ( 1 -1 і -г s

с\їл° нияУ

Ml

тогда 3 1 \ 2 12 1 1 2 12 0 1 3 ) 1 0 0 0 0 0 0 1

В = СІАгСг

т. е. форма х\2 - + имеет матрицу В.

3, Так как в этом случае нет членов с квадратом переменной ТОГДЕ можно сделать замену Xl = х2 = х\ -f х'2} х3^х'3. Квадратичная форма в новых переменных принимает вид

РФi,x2)xz) = х? + 4- 2x'z) 4-44 = УІ ~ УІ ~ УЬ где ^

J/І + - 4 4- 4 = - Xi 4- ^ 41 , і і У* ~ ~ +

2* 2 У$ ~ х'3 = х*

Отсюда

яга) - - - = Уі - VI - yz; ®з = й +У2 - Уз,; х3 = П. Метод собственных векторов.

Пример. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратную форму F(xux2txэ) - х* -г х\ 4 - 6Л1г2 + 2j:,i3 - к каноническому виду.

Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид г

А =

1 -3 1 -3 1 1 -1 5

Находим собственные значения н собственные вектора этой матрицы (см. п. 7).

.{А - ЕХ)Х = О,

= -Аэ4-7Ла - 36 О,

]1-А -3 1 -3 1-А 1 -1 5-А АоЗ, ІЯ-ОЗН Ла«-2. 1

Собственные значения матрицы есть Ат = 3, А? = 6, А3 = -2. Находим собственные вектора, а) Аі — 3,

/ -2 -З 1 \ /іІ (A-3?)Xi = f -*3 -2 -1 І -І вь

' -2хі - + ^ 0, -Зяі - 2^2 —^3=0,

El + 2я;з — 0.

Если второе уравнение сложим с третьим, то получим первое уравнение. Следовательно, первое уравнение есть следствие второго и третьего, а потому имеем систему два уравнения три неизвестных

{

За: і + 2Х2 + = 0,

XI - Х2 + 2зСз = О

(см. § І, Ді = 5, Да = 5, Да ~ -5), её решения есть її = -і, х2 = t, дгз = t.

б) А2 = 6,

(А - GE)X2 =

ИЛИ * с ¦ 4 г,

ОХі + ІИ2 ™ т3 ™ U,

Зх і 4- 5а:а + = 0Г

Если третье уравнение умножить на 2 н сложить со вторым уравнением, то получим первое уравнение. Следовательно, первое уравнение есть следствие второго и третьего и удалив его из системы имеем систему два уравнения три неизвестных

3^1 + 522 + = о,

яі - хч — = 0.

Решение ЭТОЙ системы есть (см, 5 1) XI = t, Х2 = —і, ?3 = 2t, (t ф 0), в} А = -2,

/3-31 (Л+2Е)Ха ^ ( -З З -1

Д і оЗАа

или

Отсюда

3®] — 3x2 -Ь агз — О, —3^1 + 3x2 — хз =¦ О, — л?2 "t" 7хз = О-

Зхі — Зхї + хз 0t Xt — + — Qj

так как первое уравнение есть следствие второго (первое, умножив на — 1, получим второе). Решение последней системы есть Xi = t, Х2 — t,

Х3 = 0.

Так как, если квадратичная форма J^rj, хч,..., хп) с матрицей А приведена к диагональному виду

(2 rt

с помощью некоторого ортогонального преобразования переменных X = ВХ', то1 коэффициенты есть корни характеристи

ческого уравнения матрицы В. Столбцы Л^ЛС^.-чХ^ ортогональной матрицы В являются собственными векторами матрицы соответствующей собственным числам Аі, Аз, - . , Собствешше вектора Xi, X Х3 матрицы А, соответствующие собственным значениям Л і = Л2 = = 6( Аз — —2, должны быть ортогональными, Нормируем н проверяем ортогональность. Полагай t = 1 имеем при А і — 3, яі = — 1, 1, Э5з —

>авен-

1

= 1, так как для нормированных векторов должно выполняться раві стволі + + = 1- 70 умножая яі, х2і #з на З^-''2 — у/х\ -t-

, Аналогично: Аз =

1 1

получим нормированный вектор Xi —

v3

Так как собственнЕ^е вектора л^, Х$ попарно ортогональны, т. е. XjXi ** XjXz = XjЛ"з =- 0, то матрица В имеет вид ( 1 і V5 Vo і і Vb 1 2 \ Уз Ve 1

V2

~ О

/

Квадратичная форма при помощи ортогонального преобразования переменных X — ВХ' имеют диагональный вид;

Ь(хъх = \ИЯ

58

[Гл. I

где

XI -

г

3-1

St

гі

la ,

" у/Е у/І'

jl 2 -г

j_ >

+ 7б V51

Х2 =

¦Ті , 2х і хз — 4-

ч/З

\/3 %/В

Г-7 =

г' - і

3~ V? VT

V5 " Л ' Я'

Задания. Проверить, что следующие квадратичные формы

[ (^ I J * ' ¦ п )

приводятся к каноническому виду

Qi* C^lt ®5i -1 ¦ і ^я ) ортогональным преобразованием X — если

2) ІЬ&піазігзіЗД) = + + + 4- + 4№з 4-

bL ^ X ^

+ 4Я2ХІ + 42ТЗХ4, Q2 = 7af - х22 - -

\

ІЗп =

/11 11 1 1-1-1

1 -1 1 -1

Vx -і -х І

3) F3{xix2* хъ) -х\ + 2x1 - + 4а:іяз,

-12 2 2 —1 2 2 2-і