Вопросы для самопроверки

Каковы основные свойства определителей?

Что называется минором н алгебраическим дополнением?

Каковы способы вычисления определителей?

Какой вид имеют формулы Крамера и в каком случае они применяются?

При каком условии система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение?

Как решается система линейных уравнений из двух уравнений с тремя неньвестн ымн?

S.

СП неизвестными имеют нетривиальное решение?

9. їто называется прямым и обратным ходом метода Гаусса*

Ш, В чем состоит принцип метода Жордана-Гаусса?

11 - Какие действия определены над матрицами и что называется матрицей?

Как найти обратную матрицу?

Как решать систему линейных уравнений матричным способом*

Что называется рангом матрицы?

Сформулируйте теорему Кронекера-Капеллн,

Как решить матричное уравнение АХ В = С?

Что называется собственными значениями и собственными векторами матрицы?

Что называется квадратичной формой?

Какая квадратичная форма называется ортогональной*

Какая квадратичная форма называется неопределённой*

Перечислите способы приведения квадратичной формы к канона ческому виду?

Упражнения

I. Вычислить определители: -1 5 2 I 2 1 0 9 10 11 1 а 7 0 1, I 2 1 ] 1 1 1 і 2 0 I 0 1 2 2 3 4

1

О

2

2 О 3 3

3

О

¦ О 2

-1

-I 1

2 2 -2

2 О

3

1.

1 2 2 <3

4 О

г

9

3

2 1

-3 8

2 2 G 2

2

О 3 3

-4 2 О

-5

.„1

3

-I

О

1

2 0

2,

3 1

2 3

—2 2 -2 2

3.

х - у^/% = 5; 2х + 2 у = 4, 7х + 4у = 8.

II. Решить системы уравнении 2s - 3 у^ 6, 4х — 6у = 5;

4х~5 у = 40;

За; ! Оя

¦2у + * = о,

-4гнЗ*=ОІЛЄНИЯ

Зх - 2у + 5* = 0;

х 4 2у - z — О, Зх - 5у 4 2z 0;

2.x -I- у - 5, яг 4 Яг = 16, -г^ 10; *4 2i/4 3z=4t 2х + у - г = 3, Зх -Ь Зу 4 2z = 0.

х - 3& + г = О, 2х — 9у -Ь 3>г - О;

2х-4у + Эг - 28, 5. ^ 7x4 Ъу - Gz = —І, 7х 9у - 9z = 5; х 4 2у = 4, 2х + у — г 3, За; 4 3 у 4 2г — 7; 2х - у + Зг - О, х + 2у — О, Зх 4 у -2а = О; х - у — х - О, х + 4.у = О, Зх +7y + 3z = G. III. Решить системы линейных уравнений способом а) Крамере

Ґ 5хі 4 Хг 4- 2$з — Зх<1 —

- 2xq + - 3x4 — 3, 2z! ух2 4 - 2я4 = 4, 4xi + «2 Н- 5хз — 4x4 —

7.

І їН

[ Злтг

б) Гаусса, в) с помощью обратной матрицы. r 2xt - 4 4х3 4 «4 — 4xL — 2хэ 4 Зх3 4- = + Х2 4 Хз 4 = 4. XI + 4х3 -I- Зх4 9; 4а; і + Х2 4 Д?з + Ха ~ 7, 2xi +хз 4- ^ 5, Зхі 4- хг -г Хл — 5, 4^1 4 2:2 4 4х3 — 9- IV, Решить матричные уравнения 1 2

¦С

3 5

-4 ) ^ 20 —19 J )

3 4

)«-(М>«(

(

14 16 9 10

1 -3 о

10 2 7 10 7 КО

2 ) Х( 7 I) = 10- ( 3 2 1 JC ~ (

\ 2 -ito о для

PDF-версия с

Ответы

11. Показать, что- а) А(АВ) = А(Л)

( 1 -1 2 \ 1111

r) {ABC)~l =C-lB~lA-K 12- Майти ран;- матрицы /З 7 —2 4 \

А -

В =

-3 —2 С -4

2 V5

3 2

О -5 5-6 )

5-32 \ 2 6 3 /

/ З 7 -2 4 \

С

11 -2 б -4

5 2 \ 0 6 -5 3

13, Найти собственные значения и собственные векторы следую щнх матриц: J

7-2 0 —2 6 -2 О -2 5

2 0 0 5 3 0 -5 1 4

а) А =

б) В =

14. Найти ортогональное преобразование, приводящее следующи< формы к каноническому виду:

а) ХЦ) = х\ + 2x1 " ^xixi Н~

б) Fv{xь«2] = llsf + 4 -f 1бх1Жа + 4яія3 - 20.т2^3.

Ответы

ь "2, -14, 4, 0; 2. 0f -96f 223, 0.

Система несовместна; х = s/b + уу/б ;х=^5,у = - 4х~0 у =2

ж«-2*, уш7і, г = 4?; * = т/=3(,2 = 0;я = 0, у = f f z = 3f

® = t, 3/ = 5tt = lit

(5 - 7*)/3; несовместна. 6, :r = -А, у 13&, г = Ък\ x = у = г = 0; х = 2*, у = ^ ^ 5(

і = ~ Хз = ®4 = 1; ®i =asa~«s = «4 - 1; = аг2 — ^ =

х^ — і,

8Iі 7і );Л:=Я5 I"1 У

[ГлЛ

Ї2

Элементы линейной (игебры

6 4 5 10. А' = | 2 1 2 1. з 3 3

¦-*-($ 2)- И. г) (ЛВОСС-1^-1^1) = AB{CC~l)D''iА"1 =

-і = Е-

~ АВЕВ'1 ~А{ВВ~Л)А

г(А) = 4, r(B) = 8. г{С) = 4.

й) А, = 3, А* - 6, Аз - 9, і \ /9

11 /

A'i — 11 2 I. А*" = г І і

хЬ

'

І

14. a} FiТ 1 2 2 0 1

= ^ ari - з 4 + з ^ ^ з + і - з 4;

б) = 9r? + l&rf - Эх?, Яі = ^ + І х? -

І / — / 2 , 2 j 1 / j 2 /

- -g її + - 4 4- - їз = - 4 - з4 + з 4-