§ 3. Простейшие задачи аналитической геометриина плоскости
Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси — координатными осями, причём ось Ох называется осью абсцисс, а ось Оу — осью ординат.
Каждая точка плоскости в декартовой прямоугольной системе координат имеет одну вполне определённую пару координат я и у.Пусть задана декартова прямоугольная система координат на плос- ЕШСТИ и точка М — произвольная точка плоскости. Проведём через точку М перпендикулярные прямые к осям ОЕ И Оу. Точки пересечения этих перпендикуляров с координатными осями обозначим через А и В соответственно (см. рис, 2), л/ в __ м ¦ ' t f 1 1 1 1 0 А X
Аналогично: \М2С\ ^\DE\ = yi~ yi.
Из Ш\М2С имеем \MiM2\ ^(хч - mf + (у2 - yif >
Задача 1. На оси абсцисс найти точку М, расстояние от которой
до точки (3, -3) равно 5.
Решение. Так как координаты точки М = М(ягт0)> то 25 = - - + (Q 4- з)^ или х - 3 = ±4. Отсюда: хх = 7, х2 = —1. Таким образом, М = АЫ-1,0), М - М2(7,0).
3. Деление отрезка в данном отношении. Пусть даны две точки Afifcbtfi) и Нужно найти координаты точки М, которая
разделила бы отрезок MiЛ/2 в данном отношении А = jj^rj. Из курса
школьной геометрии известно, что отрезки прямых, заключённые меж- У. Mi M/S
/і X / 1 jf
/ 1 / 1
1
1 1 1 1 1 Miy^ ^r 1
у 1 / 1
is
,,, і 1 1 J
j c_ t І
і
і і 0 Xi X Із X
Рисг 4
ду параллельными прямыми, пропорциональны, т.е. =
\ММ2\ [ВС]
Аналогично находим ординату точки А1:
„ -
У ~~ I + А
Если отрезок М\ М<2 делится точкой А/ пополам, то А = 1 и
-г, - + ** V - Щ ± ш 2 2
Задача 2. Дань] вершины треу гош.ника
Л<4,1)> Of 7,2), С<-5,-8).
Найти длину медианы, проведённой tea вершины Л, а также точку
пересечения медиан треугольника.
Решение. Найдём координаты точки М — основание медианы.
, .
|/3JW| .проведенной из вершины А; так как А — ЩЭТ = 1» то
X м — ^ , ЇШ
+ Тс1 „ _ УН + УС Отсюда: Хц — 1, уд/ = тогда
|ДМ| = - W + (їМ -- УЛ/)2 - ^M^T^TJЇ+W =
Найдём точку пересечения медиан. Так как медианы треугольника, пересекаясь, делятся в отношении 2:1, считан от вершины, то Л —
= = 2, 0(.ti,j/]} — точка пересечения меднан Таким образом,
11 = = 3 (1Л + 2 (—2—)) = 3<« + *• + *«») =
„ = ЕЦЛ-Ш = 1^ + 2 (HL+JS)) = I to, SH + llc) =
4. Вычисление площади треугольника. Пусть точки Mi (а? і, Vi ) >
М2(х2уУ2), Ma($3iVa) — вершины треугольника. Тогда площадь выражается формулой (см. рис. 5)
«-1
х} -Xz Vi - № x-i — Хз У2- уз
где е правой части стоит определитель зторого порядка Если вершина Л/3 совпадает с началом координат, то — уз = 0 и
±8ш\
tfl
Х2 ИЯ [
Если три точки лежат на одной прямой, то площадь треугольника равна нулю, и мы получаем условие, при котором три точки лежат на одной прямой:
El — XZ уі - їй _ \ Z2 - 1/2 — УЗ
з ю.и.Клнменвд мления PDF-версия с 65 я MirKnig.com У 1 Ж *
/ У Mil ^xpjj 0 / х
Рис. 5
или
gr^fa _ V} —_ Уї Xz-Xz " У2- Уз'
Пример. Точки М[{5,— 2), 6), Мз(0н3) лежат на одной
прямой, так как 5-0 —2-3 5 ~5 -3-0 6-3 3 - 15-15 = 0.
Замечание. Так как 5 = - tffcsmv?^ М1М3 ~ sm(ai - ота) =
1 . = - М\Мз - ЛйГзЛ/э (slnciicosaa — sin oncost лі), а
Л/іМз cos аг = х\ — MiMz sin a2 = Уі —
ЛІ2 Л^З COS йі ?*> - ХЭ, Mi Л/g sin a\ = Jft — Jftt ±3 = \ [ІУ2 - Уз) - - (ft ^ Уз) - 13)] =
Ті -
X2 - ІЗ У2- Уз