<<
>>

3.4 Аналитическое исследование эффективности алгоритма на модельной задаче

Для обоснования эффективности применения описанного в 3.2 алгоритма оценим на модельной задаче степень повышения точности определения навигационной оценки НКА относительно стандартного средневзвешенного МНК с вычислением оценки на момент времени t^ и прогнозированием её на момент t*.

Изменение ошибок навигационного вектора относительно точного невозмущенного движения в координатах плоскости орбиты КА { т.е. по двум векторам: г - радиус-вектору КА и и - вектору перпендикулярному г в плоскости орбиты по направлению полета НКА ) выражаются следующими выражениями /37/:

Дг/г0 = (2 - costp) + Sin + 2(1 - cos <р) ^-,

= + (3.13)

ro VKp Vkp

Ли(Зр - 2sin^) + (_2)(1 -COS?))^- + (-1 )(3 <р - 4siM + Ди0,

ГО Vnp VKP

/ * го Vkp Vkp

где ф = 0)t угловая величина текущего положения КА на орбите в момент времени t

выражается через угловую скорость движения О). Данные выражения даны в

линеаризованном виде относительно ср. Движение по орбите предполагается с круговой

скоростью VKp . Текущие ошибки по положению и по скорости (Дг, Ди, ДУГ, ДУи) в момент

времени t и текущим угловым положением (р выражаются через начальные ошибки

(Д|*о, Дио, ДУго, ДУио) в момент временив - 0 и начальный радиус вектор Го.

Ошибки навигационного вектора, полученного на момент времени последнего навигационного измерения и спрогнозированного на момент t* соответствуют соотношениям (3.13). Эти ошибки являются погрешностями навигационного вектора в прогнозе на заданное время в соответствии с методикой раздела 2.3, при этом предполагается, что ошибки модели отсутствуют. Законы их изменения вцелом соответствуют законам изменения ошибок дисперсий прогнозируемых параметров (см. раздел 2.1). Кроме указанных ошибок измерений (обозначим правые части в (3.13) через Аги(ф), Дии(ф), ДУги(ф), ДУДф)) в навигационной системе при использовании прогнозирования с моделью движения, в которой параметры заданы с погрешностью, присутствуют еще ошибки модели (обозначим их через Дгм(ф), Дин(ф), ДУгм(ф), ДУим(ф)). Таким образом, общее уравнение для ошибок на основании (3.13) имеет вид: Дг/го = Дг"(ф) + ДЛ<Р),

&Vr/VKp= AVr"+AVr", Au = Дии(ф) + Дим(ф),

AVu/VKp= AVu"+AVum{9).

На основании свойств регуляризиругощих алгоритмов (см. /16/) ошибки риуляризированных оценок близки к ошибкам алгоритма с прогнозом Аг11(ф), Дии(ф), ДУги(ф), AVU". Это подтверждается при совместном моделировании двух алгоритмов. Необходимо оценить влияние ошибок Дгм(ф), Дим(ф), Д\/Гм(ф), Д\/им(ф) на точность оценок двух навигационных алгоритмов 2.1 и 3.2.

Для алгоритма 2.1 данные ошибки являются неустранимыми т.к. на интервале прогнозирования [tN, t*] происходит предопределенный процесс без оптимизации. Иначе обстоит дело с регуляризирующим алгоритмом т.к. при выборе параметра регуляризации а, согласованном с величинами Дгм(ф), Дим(ф), Д\/Гм(ф), Д\С(ф), учитывая свойства стабилизирующего функционала Ij, уменьшается величина ошибки навигационного вектора. Проанализируем на специально подобранном примере, в котором влияние других ошибок незначительно, механизм компенсации алгоритмом навигационной ошибки Ди вдоль орбиты, которая обусловлена ошибкой баллистического коэффициента ДЭб.

Для анализа решения регуляризированной навигационной задачи в заданный момент времени необходимо рассмотреть тестовый вариант со специально подобранными исходными данными.

Рассмотрим функционирование алгоритма при следующих условиях:

Движение НКА осуществляется в гравитационном поле Земли, которое известно без ошибок и описывается оператором<2^*, q, Sg) с заданными параметрами р и Se,

Имеются навигационные измерения параметров движения НКА в моменты времени ti, t2,,,,, tiMl q(1\ q(2),q(N) с ошибками, равными нулю.

Движение НКА на промежутке времени [tj, IN] осуществляется с фиксированным баллистическим коэффициентом Sg.

Для решения навигационной задачи используется значение баллистического коэффициента, которое известно неточно, а с некоторой ошибкой ДЗб (S'e-So+ASe).

Про ошибку баллистического коэффициента ASg известен только ее уровень |ASg | < 5S.

Необходимо получить при помощи регуляризирующего алгоритма навигационную оценку qa на момент времени t* (t* " tfj), используя прогноз с баллистическим

I

коэффициентом S е.

в результате применения регуляризирующего алгоритма получается навигационная оценка, зависящая от ошибки ASe. Проанализируем каким образом в регуляризирующем

алгоритме происходит компенсация влияния ошибки ДЭб при вычислении навигационной оценки qQ. С целью анализа определим, какие значения принимают каждое из двух составных слагаемых Ii и h регуляризующего функционала I раздела 3.1.

в результате применения алгоритма, описанного в разделе 3.2, находится значение вектора q0, на котором функционал I принимает минимальное значение. На основании теорем вариационного исчисления /16/ существует взаимосвязь между решениями соответствующих экстремальных задач. Имеются в виду задачи в методах квазирешения, невязки и регуляризации Тихонова.

Задача регуляризации Тихонова относится к экстремальной задаче на безусловный экстремум.

По теореме из третьей главы /16/ существует связь решения, полученного по методу регуляризации Тихонова и минимизирующего функционал I, с решением задачи, полученным методом невязки. Метод невязки является задачей на условный экстремум с ограничениями типа неравенства. На основании указанной теоремы, пользуясь обозначениями раздела 3.2 для выбранного значения параметра а = ао, регуляризированное решение qao является одновременно решением задачи по методу невязки, т.е. является решением экстремальной задачи:

?p- :qat б R },

N

(3.14)

чТ

min{ ? j=i

где q"T первая компонента вектора оценки соответствует компоненте т ОСК. При этом должно выполняется неравенство: N

X

1 = 1

< S'

(3.15)

\ 3? (t., q* ,s' ) -a(i> ]TD-T^(t.,q* )-a® 1 P i а б н J tj j p j а б' 4 J величина S (аналогично с a) выбирается согласованной с величиной ASe.

На основании этого соответствия покажем каким образом для данной постановки задачи находится регуляризированное решение, которое ближе к истинному решению qw, чем решение найденное по методу МНК с прогнозом: ( q^HK ) и соответствующее прогнозу движения на интервале [t^ t ] с баллистическим коэффициентом равным Sg, Для анализа решения заменим неравенство (3.15) (при учете допущений для упомянутой теоремы из /1 б/) равносильным равенством для поиска навигационной оценки: i\)f

1 = 1 I

Т°П|[

I j ft(t,.4®.S'e) -qa. Для рассматриваемой постановки задачи ( с условиями 1), 2), 3) ) при прогнозе векторов навигационных измерений q® (j=1 ,N) на момент времени t* векторы 5p(t*,q'J), Se) располагаются вдоль орбиты определенным образом в зависимости от

продолжительности интервала прогноза [tj, t*] и величины ошибки баллистического коэффициента ДБб. При ASe=0 вектора спрогнозированных параметров совпадают, т.е. J2&(t*,q{1>, S6)=-S&Ct*tq J^(t*pq<1>, Se) ? При возрастании ASg величина отклонения вдоль орбиты между крайними векторами ^(t*,q(1) , S6) и , Sg)

увеличивается. Это происходит от того, что параметры векторов навигационных измерений q® рассчитаны на интервале [ti, tw] с баллистическим коэффициентом Se, а Щ, (t*, q01, S6) г прогнозирование q® на момент времени t* производится с баллистическим

коэффициентом, равным S g. При этом интервалы прогнозирования имеют разную длину I tfj - ti| > | tN - t2| > | tfj - t3|> ... > [ tjsj - tN|. Следовательно, из-за различия баллистических коэффициентов S б и S@ положение вдоль орбиты спрогнозированных векторов (обозначим эти параметры через: ^(t*,q®,Ss)T) отвечают условию: |^(t*,q(i),S6)T-^(t*,q(2)tS6)T|> I {t*. q(J>,Se )t-^(t*.q(3>, Ss)T |>... > j ^(t*,q(N_11. Se )r - ^(t*, q(N), Se )r|.

Данные неравенства обусловлены разными интервалами прогнозирования ] tjM - tj | С баллистическим коэффициентом S б векторов q®, рассчитанных с баллистическим коэффициентом Sg.

Данные соотношения соответствуют движению КА с различными баллистическими коэффициентами. При Д8б < 0 вектора расположены вдоль орбиты в соответствии с рисунком 3.3 :

4io Чмнк 41- q" ± i + + ^

/ / I

^{t*,q(1>,S6)T ^(fFq(a),S6)t ^(t*,q(N-1),S6)T 5&(t*,q™ Si)*

Рисунок 3.3 - Расположение спрогнозированных векторов ^(t^q^SsjT и решение по МНК (Чмнк), истинное решение (q") и смещенные регуляризированные решения (qia и q2a)

Такое расположение спрогнозированных векторов имеет место, т.к. орбита с меньшим баллистическим коэффициентом расположена выше, а выход на заданный аргумент широты происходит позже.

При этом значение вектора навигационной оценки при котором выражение (3.14)

/

принимает минимальное значение соответствует единственному решению ямнк- Для фиксированных значений б2 равенство Б выражении (3,15) достигается для двух значений

векторов q-ia и Ц2а- вектора qia и q2a расположены симметрично вектора ямнк т.е. qla = цмнк - Aqa и q2a = Чмнк + Aqa , При этом величина Aqa соответствует величине б2. в соответствии с упомянутой теоремой решением регуляризированного уравнения qa является то значение из двух векторов qia и q2a, на котором стабилизатор (3.14) принимает меньшее значение, т.е. которое соответствует меньшей величине:

2 I " t , |2

N 2

S6 )Х -J N l*p(r, q®t s6 \-Q2AT\

или z J-. (3.16)

1=1 d>®D Olj)T i=1 O^D .Ф®Т

1 nj1 1 TJ 1

Расположение спрогнозированных векторов .2p(t*,q°\ Зб) таково, что вне зависимости от знака величины ошибки баллистического коэффициента ДЗд наилучшее по точности решение qia и С\2а расположено ближе к ^(t*,q(N,,Ss). При ASq < 0 это будет При AS6 > О это будет qia- Это следует из структуры и свойств "стабилизирующего" функционала:

величины -- убывают в зависимости от изменения j=l,N;

ф")Сч|фШТ

величины (^p(t*,q®,S6 )т -q1ax) и (^p(t*, q®,S6)t -q2aT) в зависимости от изменения

j=l,N монотонно убывают и возрастают, соответственно;

N

3) верно соотношение: ?

j=i

2 2 >pCP.q®.s;)r-v] = 2[^pr.q®.s;)r-q;J .

1-1

На основании свойств 1) - 3) из двух функционалов (3.16) в зависимости от знака ASe меньше тот, который ближе к .^(t* qТаким образом ( при Две < 0), величина q2a будет решение регуляризиро ванно й задачи, а поскольку величина б2 выбирается в соответствии с уровнем ошибки: |ASe [ < 6S то решение qin ближе к истинному решению qM чем решение Цмнк- На основании представленных качественных рассуждений на примере рассмотренной модельной задачи можно сделать вывод о целесообразности применения регуляризирующего алгоритма для вычисления навигационной оценки НКА. Представленные рассуждения дают возможность понять, каким образом регуляризация при решении задачи навигации в момент времени t*, компенсируют погрешности модели движения. Аналитические оценки погрешности регуляризирующего алгоритма, как метода решения линейных некорректных задач приведены в /16/ и сложны для перевода в количественные соотношения. При поиске навигационной оценки в момент времени t*. удаленном от интервала навигационных измерений, задача становится нелинейной. Поэтому действенным инструментом для оценки эффективности является численное моделирование.

<< | >>
Источник: Боровков Владимир Алексеевич. Алгоритм спутниковой радионавигации низковысотного космического аппарата при перерывах в поступлении измерений: Дис. ... канд. техн. наук : 05.07.09 ,-М.: РГБ, 2006. 2006

Еще по теме 3.4 Аналитическое исследование эффективности алгоритма на модельной задаче:

  1. 3.4 Аналитическое исследование эффективности алгоритма на модельной задаче
  2. БИБЛИОГРАФИЯ
  3. Теоретические и практические аспекты изучения фрактальной размерности в наносистемах