3.2. Выбор и постановка краевой задачи о невесомой плоскости, с заданными на бесконечности напряжениями, моделирующими гравитационное поле, и ослабленной круглым отверстием, равномерно нагруженным по контуру и моделирующим закрепленную подземную выработку

Принятие механической модели дефектной среды в качестве теоретической для установления механизма аномальных эффектов разрушения горных пород в массиве вокруг подземных выработок предполагает удовлетворительное описание на базе принятой модели наблюдающихся в экспериментах эффектов.

В геомеханике массив горных пород рассматривается как невесомая плоскость, ослабленная отверстием, моделирующим круглую закрепленную выработку в условиях всестороннего сжатия [47]. Краевая задача о распределении поля напряжений вокруг выработки рассматривается как плоская и стационарная. В качестве упрощений принимаются условия несжимаемости и гидростатичности нагружения на бесконечности, что с достаточной точностью воспроизводит условия эксперимента. В силу полярной симметрии задачи уравнения равновесия имеют вид:

^ + = г0<г<а>, (3.20)

сг г

где о„ - нормальное радиальное напряжение, а^-нормальное тангенциальное напряжение, ог^- касательное напряжение.

Рассмотрим сначала решение для незакрепленной выработки, а затем укажем формулы, учитывающие наличие крепи. Постановка задачи осуществлена автором совместно с В.М. Сапслкиной и JI.C. Ксендзснко, которым принадлежит решение.

На контуре выработки (г = г0) внешние силы отсутствуют, а на бесконечности они заданы:

<7„=0приг = г0, сг„, <7^, ->РЮ при Г со, (3.21)

где • Н, /„-удельный вес пород, Н-глубина заложения выработки.

Массив горных пород в условиях сильного сжатия моделируется средой, где в общем случае не выполняются условия совместности деформаций. Следуя [41], вводится параметр дефектности R:

r= (3.22)

Параметр дефектности R удовлетворяет уравнению:

A2R-y3R — 0,

где Л- оператор Лапласа, х2 =E/[4q( 1 - и )],

Е-модуль Юнга, v- коэффициент Пуассона, q- подгоночный параметр модели, определяемый на основе экспериментальных данных.

Неклассическое расширение модели накладывает условие выделения решения для функции R. Это условие выбирается из соображения, что на контуре выработки образуется первая зона разрушения, что предполагает для функции R наличие в точках контура экстремума. В этом случае принятое в [41] допущение о независимости источников на контуре выработки должно быть отвергнуто, и введено значение R*0. Кроме того, естественно предположить, что при зональном характере разрушения массива во всех остальных зонах процессы разрушения идут по одинаковому механизму. Следовательно, второе граничное условие для функции R определяется как ее экстремальность во второй зоне разрушения.

Окончательно граничные условия задачи записываются в следующем

виде:

— = 0,приг=го, — = 0при /•=/•¦, (3.23)

дг дг

где значение г* определяется из эксперимента.

Для исследования закономерностей зонального разрушения решена задача [Сапелкина-Ксендзенко]:

A3R = y2R , (3.24) - 0. (3.25)

dR дг

-••f

дг

Так как задача плоская и осесиммстричная, то функция дефектности R зависит только от координаты г и не зависит от <р. Выражения для напряжений имеют вид:

<*г =/>о0(1"7г)"2(1_^>2 Ь

^ = + —1-А—Г *ЛГуг)+ o^iyfyr)}- - о^оЦуг)}

Дая учета крепи влияния крепи используются, согласно [47], граничные условия <7„ = Р при г = г0, где Р - отпор крепи.

Тогда выражения для напряжений приобретают вид:

= -.04) + P4 —^хФ'Г^ЬЫ.ф'Г^сК^'Г))

Г Г 2(1 -i')/1

г' г1

+ —7 ^ Ц (VF • /*) + bNx (V? • г) + сЛ', (л// • г)} (3.26)

2(1-f)/3 Г

…