3.1. Математическая модель сильно сжатого на большой глубине породного массива

Массив горных пород в условиях действия больших неравнокомпонентных сжимающих напряжений, обусловливающих сдвиговые микроразрушения на неоднородностях среды, моделируется сплошной средой, где в общем случае не выполняются условиях совместности деформаций, а термодинамическое состояние далеко от равновесия.

Математическая модель такой среды для случая конечных упруго- пластических деформаций разработана академиком В.П. Мясниковым [103]. Модель применялась для описания результатов экспериментальных лабораторных исследований зонального разрушения массива вокруг подземных выработок В.В.Макаровым [40, 83]. Приведем основные выражения, учитывая неклассическнй характер модели.

Если в предположении сплошности среды в каждый фиксированный момент времени t соответствие между начальным состоянием среды jfd.'o)^ и ее текущим состоянием*(?,/)являстся однозначным, то тензор Альманзи A,j, как характеристика полной деформации, принадлежит к классу тензоров, порождаемых в трехмерном Евклидовом пространстве некоторым векторным полем &:

Л-zfs

DAij dA,j . dvk dvk l( &Vj ЗуЛ

^^«а^^Ыз^Г*'' (зл)

где по повторяющимся индексам здесь и далее подразумевается суммирование.

При наличии в среде дефектов необходимо отказаться от локально диффеоморфной кинематики. Вместо тензора Альманзи вводится обобщенный тензор деформации .

В соответствии с (3.1) для обобщенного тензора деформации запишем уравнение переноса в виде:

De у;

"ofОЛ)

В правой части (3.2) введен источник EiJy характеризующий появление недиффеоморфных форм в среде. Структура зависит от типа материала и условий, при которых в нем происходит процесс необратимых изменений.

Деформации горных пород вокруг выработок являются малыми величинами: I ц I «1,1 dvj/йг, I« 1. Последнее предположение позволяет записать уравнение (3.2) в виде

= ',-?,. (3.3)

В механике подземных сооружений в большинстве ситуаций рассматривается плоская деформация массива вокруг подземных выработок.

+ (3.4)

дх fdx 7 дх2{дху дх tdx 2

Если (3.4) не выполняется, то в среде нарушается сплошность: для точек среды нельзя указать непрерывного поля перемещений = хк . В этом случае естественным параметром дефектности среды, характеризующим степень отклонения се кинематической структуры от классической структуры, является предложенная М.А. Гузевым скалярная величина

Rm + (35)

dxjdxj dx2fdx2 dxfdx2

Используя (3.3) и предположение малости деформаций, можно показать, что R удовлетворяет следующему уравнению переноса:

(3.6)

dt \dxjdxj дх2дх2 dxidx2)

Если правая часть уравнения (3.6) отлична от нуля, то соответствующее решение для параметра дефектности является нетривиальным и описывает возникновение дефектных структур в сплошной среде.

В этом случае естественно рассматривать обобщенный тензор Альманзи и параметр дефектности R в качестве термодинамических характеристик среды. Выражение для внутренней энергии при этом примет вид U =» U(s,R,Cy)> где 5 - энтропия.

Следуя стандартной схеме неравновесной термодинамики, записываются уравнения законов сохранения массы, импульса, первый и второй закон термодинамики [104]:

а/ at* л dxj

du а3vf. d$ a/4W

P— = + —7,p-— = —— + D4D ? 0, (3.7)

dt dxk J dx* dt dxk

где J^ и J*^ - составляющие потоков тепла и энтропии, D - диссипативная

функция, <7у - компоненты тензора напряжений, ft - ускорения внешних

массовых сил, р - плотность (р является постоянной по предположению).

Вдоль траектории частицы выполняется тождество Гиббса [100]:

(3 8)

dt dt dZij dt 6R dt'

Подставляя в (3.8) выражения для производных по времени от внутренней энергии и энтропии из (3.7), получим:

a/*W у аW \{ fy ди dztJ эи da) „ m +D = + О/:—Т- Р -- р . (3.9)

Т т{ "ас а*9 dt рдя л) к

Для простоты дальнейших вычислений предполагается, что тепловые потоки отсутствуют: 0 и Т - const. Исключая в правой части (3.9)

производные по времени от e-j и R и используя уравнения переноса (3.3), (3.6), выделяются потоковые слагаемые так, чтобы в правой части остались только те вклады, которые образуют билинейную форму термодинамических сил и потоков.

^ ldvg( ди)

4- + D = Ч о и - р +

Т дхj V * KSeJ

+ + (ЗЮ)

Т ,J dz^ TdR{dxjdxj дх2дх2 ~dxjdx2) v' 7

Стандартный анализ в рамках неравновесной термодинамики дает следующее представление для потока энтропии :

ПТТ 9Е22 F ^К r\T J 8Е*2л.Г ft1**} ?UR "Г" Е22 "Г PUR^ + Е12 \>

дх j дх / ох 2 дх2 )

где UR= dU/ dR.

Выражение для диссипативной функции приобретает вид:

8U _0U | d2pUR W = du f ьи ди ^ d2pUR

bzjj dzn дх2дх2 9 Sz22 dc22 dxJdxJi6zJ2 dzJ2 dxtdx2

В такой форме диссипативная функция представлена билинейной

формой термодинамических сил и потоков: D(x) *= л^у, и у^-дй! dxj.

Уравнение состояния материала записывается в следующем виде:

0U dDT bU dDT „ ...

аг-; = р + , = . (3.13)

dtij 8е& 8е,у дЕ;;

Диссипативная функция характеризует необратимые эффекты в среде. Предполагается, что она является однородной функцией некоторой степени относительно термодинамических сил. Для обеспечения неотрицательности диссипативной функции примем линейные соотношения между источниками и термодинамическими силами:

JWT^. (3.14)

К

в которых ?>0.

Рассматривается массив горных пород в стационарном состоянии, характерном для случаев проведения капитальных горных выработок. Уравнения равновесия принимаются согласно [47] в следующем виде:

<зл5>

ОХц

Степень отличия кинематики дефектной среды от кинематики сплошной среды определяется параметром R: эти отличия максимальны в тех областях, где максимально значение \R\. В состоянии равновесия dR/dt = 0, тогда возможные значения для R можно найти из условия обращения в нуль правой части уравнения (3.6).

Для просто™ дальнейшего анализа полагается, что плотность среды Р=РО - постоянная величина. Чтобы вычислить источник (3.14), задается внутренняя энергию U в виде

U^UtefrUm, (3.16)

где для Uj примем приближение линейной теории упругости: p»U, «Л///2 lj=eltfl2 ~ с,^. Функция С// имеет вторую степень однородности относительно переменных e,j , предполагается, что такую же степень однородности относительно R имеет U} . Представим ее в виде U> = ^iR2/poyс некоторым феноменологическим параметром у>0.

Вычисление SU/ 8ty дает:

Ро I У дх2дх2)

Ро\ У dxjdxy)

Поскольку среда является несжимаемой, то //- const, тогда отсюда и из (3.5) получено неоднородное бигармоническое уравнение на R:

A2R=yR. (3.18)

В силу геометрии задачи следует перейти к полярным координатам г,(р и рассмотреть решение для R=Rj (г) cos(rt 1. Легко проверить, что Л/ = Л/(г) удовлетворяет уравнению

\дг2 rdr r2Adr2 г or ri ) Непосредственным вычислением можно убедиться, что решением для Rt является периодическая функция Бесселя Zn(ifyr). Появление периодичности в описании дефектной среды отвечает идее локализации

отрывного разрушения массива горных пород вокруг выработок и требует перехода к решению соответствующей краевой задачи.