<<
>>

3.1. Математическая модель сильно сжатого на большой глубине породного массива

Массив горных пород в условиях действия больших неравнокомпонентных сжимающих напряжений, обусловливающих сдвиговые микроразрушения на неоднородностях среды, моделируется сплошной средой, где в общем случае не выполняются условиях совместности деформаций, а термодинамическое состояние далеко от равновесия.

Математическая модель такой среды для случая конечных упруго- пластических деформаций разработана академиком В.П. Мясниковым [103]. Модель применялась для описания результатов экспериментальных лабораторных исследований зонального разрушения массива вокруг подземных выработок В.В.Макаровым [40, 83]. Приведем основные выражения, учитывая неклассическнй характер модели.

Если в предположении сплошности среды в каждый фиксированный момент времени t соответствие между начальным состоянием среды jfd.'o)^ и ее текущим состоянием*(?,/)являстся однозначным, то тензор Альманзи A,j, как характеристика полной деформации, принадлежит к классу тензоров, порождаемых в трехмерном Евклидовом пространстве некоторым векторным полем &:

Л-zfs

DAij dA,j . dvk dvk l( &Vj ЗуЛ

^^«а^^Ыз^Г*'' (зл)

где по повторяющимся индексам здесь и далее подразумевается суммирование.

При наличии в среде дефектов необходимо отказаться от локально диффеоморфной кинематики. Вместо тензора Альманзи вводится обобщенный тензор деформации .

В соответствии с (3.1) для обобщенного тензора деформации запишем уравнение переноса в виде:

De у;

"ofОЛ)

В правой части (3.2) введен источник EiJy характеризующий появление недиффеоморфных форм в среде. Структура зависит от типа материала и условий, при которых в нем происходит процесс необратимых изменений.

Деформации горных пород вокруг выработок являются малыми величинами: I ц I «1,1 dvj/йг, I« 1. Последнее предположение позволяет записать уравнение (3.2) в виде

= ',-?,. (3.3)

В механике подземных сооружений в большинстве ситуаций рассматривается плоская деформация массива вокруг подземных выработок.

В этом случае условие совместности деформации Ссн-Вснана имеет вид:

+ (3.4)

дх fdx 7 дх2{дху дх tdx 2

Если (3.4) не выполняется, то в среде нарушается сплошность: для точек среды нельзя указать непрерывного поля перемещений = хк . В этом случае естественным параметром дефектности среды, характеризующим степень отклонения се кинематической структуры от классической структуры, является предложенная М.А. Гузевым скалярная величина

Rm + (35)

dxjdxj dx2fdx2 dxfdx2

Используя (3.3) и предположение малости деформаций, можно показать, что R удовлетворяет следующему уравнению переноса:

(3.6)

dt \dxjdxj дх2дх2 dxidx2)

Если правая часть уравнения (3.6) отлична от нуля, то соответствующее решение для параметра дефектности является нетривиальным и описывает возникновение дефектных структур в сплошной среде.

В этом случае естественно рассматривать обобщенный тензор Альманзи и параметр дефектности R в качестве термодинамических характеристик среды. Выражение для внутренней энергии при этом примет вид U =» U(s,R,Cy)> где 5 - энтропия.

Следуя стандартной схеме неравновесной термодинамики, записываются уравнения законов сохранения массы, импульса, первый и второй закон термодинамики [104]:

а/ at* л dxj

du а3vf. d$ a/4W

P— = + —7,p-— = —— + D4D ? 0, (3.7)

dt dxk J dx* dt dxk

где J^ и J*^ - составляющие потоков тепла и энтропии, D - диссипативная

функция, <7у - компоненты тензора напряжений, ft - ускорения внешних

массовых сил, р - плотность (р является постоянной по предположению).

Вдоль траектории частицы выполняется тождество Гиббса [100]:

(3 8)

dt dt dZij dt 6R dt'

Подставляя в (3.8) выражения для производных по времени от внутренней энергии и энтропии из (3.7), получим:

a/*W у аW \{ fy ди dztJ эи da) „ m +D = + О/:—Т- Р -- р . (3.9)

Т т{ "ас а*9 dt рдя л) к

Для простоты дальнейших вычислений предполагается, что тепловые потоки отсутствуют: 0 и Т - const. Исключая в правой части (3.9)

производные по времени от e-j и R и используя уравнения переноса (3.3), (3.6), выделяются потоковые слагаемые так, чтобы в правой части остались только те вклады, которые образуют билинейную форму термодинамических сил и потоков.

В результате записывается следующее соотношение:

^ ldvg( ди)

4- + D = Ч о и - р +

Т дхj V * KSeJ

+ + (ЗЮ)

Т ,J dz^ TdR{dxjdxj дх2дх2 ~dxjdx2) v' 7

Стандартный анализ в рамках неравновесной термодинамики дает следующее представление для потока энтропии :

ПТТ 9Е22 F ^К r\T J 8Е*2л.Г ft1**} ?UR "Г" Е22 "Г PUR^ + Е12 \>

дх j дх / ох 2 дх2 )

где UR= dU/ dR.

Выражение для диссипативной функции приобретает вид:

8U _0U | d2pUR W = du f ьи ди ^ d2pUR

bzjj dzn дх2дх2 9 Sz22 dc22 dxJdxJi6zJ2 dzJ2 dxtdx2

В такой форме диссипативная функция представлена билинейной

формой термодинамических сил и потоков: D(x) *= л^у, и у^-дй! dxj.

Уравнение состояния материала записывается в следующем виде:

0U dDT bU dDT „ ...

аг-; = р + , = . (3.13)

dtij 8е& 8е,у дЕ;;

Диссипативная функция характеризует необратимые эффекты в среде. Предполагается, что она является однородной функцией некоторой степени относительно термодинамических сил. Для обеспечения неотрицательности диссипативной функции примем линейные соотношения между источниками и термодинамическими силами:

JWT^. (3.14)

К

в которых ?>0.

Рассматривается массив горных пород в стационарном состоянии, характерном для случаев проведения капитальных горных выработок. Уравнения равновесия принимаются согласно [47] в следующем виде:

<зл5>

ОХц

Степень отличия кинематики дефектной среды от кинематики сплошной среды определяется параметром R: эти отличия максимальны в тех областях, где максимально значение \R\. В состоянии равновесия dR/dt = 0, тогда возможные значения для R можно найти из условия обращения в нуль правой части уравнения (3.6).

Для просто™ дальнейшего анализа полагается, что плотность среды Р=РО - постоянная величина. Чтобы вычислить источник (3.14), задается внутренняя энергию U в виде

U^UtefrUm, (3.16)

где для Uj примем приближение линейной теории упругости: p»U, «Л///2 lj=eltfl2 ~ с,^. Функция С// имеет вторую степень однородности относительно переменных e,j , предполагается, что такую же степень однородности относительно R имеет U} . Представим ее в виде U> = ^iR2/poyс некоторым феноменологическим параметром у>0.

Вычисление SU/ 8ty дает:

Ро I У дх2дх2)

Ро\ У dxjdxy)

Поскольку среда является несжимаемой, то //- const, тогда отсюда и из (3.5) получено неоднородное бигармоническое уравнение на R:

A2R=yR. (3.18)

В силу геометрии задачи следует перейти к полярным координатам г,(р и рассмотреть решение для R=Rj (г) cos(rt 1. Легко проверить, что Л/ = Л/(г) удовлетворяет уравнению

\дг2 rdr r2Adr2 г or ri ) Непосредственным вычислением можно убедиться, что решением для Rt является периодическая функция Бесселя Zn(ifyr). Появление периодичности в описании дефектной среды отвечает идее локализации

отрывного разрушения массива горных пород вокруг выработок и требует перехода к решению соответствующей краевой задачи.

<< | >>
Источник: КИВА Максим Николаевич. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ СИЛЬНО СЖАТЫХ ГОРНЫХ ПОРОД ВОКРУГ ПОДЗЕМНЫХ ВЫРАБОТОК И РАЗРАБОТКА РЕГУЛИРУЕМЫХ КОНСТРУКЦИЙ КРЕПИ. 2004

Еще по теме 3.1. Математическая модель сильно сжатого на большой глубине породного массива:

  1. 2.6. Математическая модель человеко-машинного комплекса или информационного центра
  2. 2.2 Математическая модель двухтопливной комбинированной системы питании двигателя автомобиля для расчета расхода топлив
  3. Блок-схема математической модели двухтопливной комбинированной системы питания двигателя автомобиля для расчета расхода топлив представлена на рисунке 2.3. Она была разработана на основе моделей /50, 66, 86,90/.
  4. 2.2 Математическая модель двухтопливной комбинированной системы питания двигателя автомобиля для расчета расхода топлив
  5. Блок-схсма математической модели двухтопливной комбинированной системы питания двигателя автомобиля для расчета расхода топлив представлена на рисунке 2.3. Она была разработана на основе моделей /50, 66, 86,90/.
  6. ГЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЕРЕКРЕСТНОТОЧНЫХ ТЕПЛООБМЕННИКОВ.
  7. Глава 2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ЗОНАЛЬНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ СИЛЬНО СЖАТЫХ ГОРНЫХ ПОРОД ВОКРУГ ПОДЗЕМНЫХ ВЫРАБОТОК БОЛЬШОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
  8. Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ЗОНАЛЬНОГО РАЗРУШЕНИЯ СИЛЬНО СЖАТЫХ ГОРНЫХ ПОРОД ВОКРУГ ПОДЗЕМНЫХ ВЫРАБОТОК
  9. 3.1. Математическая модель сильно сжатого на большой глубине породного массива
  10. 2.4. Математическая модель приварки армирующего каркаса к подложке
  11. 2.1 Постановка и математическая модель задачи
  12. 7.2. Построение экономико- математических моделей задач линейного программирования
  13. 17.1. ВИДЫ И СПЕЦИФИКА ПРИМЕНЕНИЯ ЭКОНОМИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ