6.2.3 Понятие математической модели

Значение моделей при исследовании мира определил Дж. Форрестер: «Каждый индивидуум в своей личной и общественной жизни использует модели для принятия решений. Мысленный образ мира, окружающего нас, есть модель.

Естественно, одно из самых широких определений модели - мысленный образ. Специалисту требуется определение более конкретное. Поэтому при исследованиях под моделью понимают формализованный мысленный образ. Если эта формализация доведена до математических соотношений, то имеют дело с математической моделью. Она находит определённые свойства реального процесса формализованные на том или ином языке, например, в виде дифференциальных или регрессионных уравнений. Однако, большинство физических процессов настолько сложны, что при современном состоянии науки очень редко удаётся создать их универсальные модели, действующие в любое время и на всех участках исследуемого процесса.

Поэтому, существует ряд подходов к получению моделей, приемлемых для работы. Главные из них - аналитические и эмпирические (экспериментальные). Аналитические методы основаны на использовании концепций и закономерностей, которые проверены веками, но справедливы, как правило, при многих ограничениях. Для физических процессов, особенно многофакторных, носящие вероятностный характер, определяются комбинированные или аналитико-экспериментальные модели. К этим процессам относятся все методы обогащения.

Итак, процессы обогащения достаточно сложны, зависят от многих факторов и их взаимодействия.

Самой простой моделью любой системы является так называемый «чёрный ящик». Внутренняя структура этой модели может быть совсем недоступна для наблюдения, но в пределах поставленной задачи модель ведёт себя так же, как и реальная система. Оптимальный план исследования «чёрного ящика» предполагает не только достижение максимального значения искомого параметра наиболее быстрым способом, но и получение математической модели процесса. Во многих случаях модель позволяет также с помощью физических аналогий и математического анализа лучше понять внутреннее строение «чёрного ящика». Иногда «чёрный ящик» является вообще единственно возможным инструментом исследования, так как только в редких случаях удаётся «заглянуть» внутрь системы без нарушения естественного состояния и хода процесса.

Если объект хорошо изучен, то на основе известных физических или химических законов составляются уравнения, которые и являются математической моделью этого объекта. Для объектов типа «чёрный ящик» используются входные и выходные данные, полученные при экспериментальных методах. Получение математической модели иллюстрируется рис. 6.2.

Входную х и выходную у переменные объекта замеряют и по результатам измерений находят связь между ними. Задача моделирования состоит в том, чтобы величина у*, полученная с помощью математической модели, была близка к значению у на выходе объекта.

Под математической моделью процесса понимают совокупность соотношений, адекватных процессу, достаточных для решения поставленной задачи. Использование математической модели даёт возможность:

- выбрать оптимальный технологический режим процесса;

- сократить план исследовательских работ при разработке технологии производства;

- создать оптимальную схему автоматизации процесса (или предприятия в целом).

В большинстве случаев построение математической модели производственного процесса занимает значительное место в общем комплексе работ по автоматизации управления. Работы по автоматизации производственных процессов связаны с решением ряда взаимосвязанных проблем, к которым относятся: методы построения математических моделей производственных процессов; разработка алгоритмов управления; методы получения, передачи и переработки информации; разработка критериев оптимизации; разработка структурных схем управления и т.д. Статистические методы получения математических моделей делают возможным описание процессов по результатам наблюдений в условиях нормальной работы.