Оценка математической модели прогнозирования.

Рассмотрим для примера МНК и метод экспоненциального сглаживания.

Метод наименьших квадратов состоит в определении парамет-ров модели тренда, минимизирующих ее отклонение от точек исходного временного ряда:

S=1 (у і - у і)2 -> min, (6.31)

/=і

где у і — расчетные (теоретические) значения исходного ряда;

у і — фактические значения исходного ряда;

п — число наблюдений.

Классический метод наименьших квадратов предполагает равноценность исходной информации в модели.

Дисконтирование учитывают путем введения в модель (6.31) некоторых весов Р/ < 1. Тогда

/=1

Коэффициенты Р/ могут быть заданы в числовой форме или в виде функциональной зависимости таким образом, чтобы по мере продвижения в прошлое веса убывали.

Метод наименьших квадратов широко применяется при прогнозировании, что объясняется его простотой и легкостью реализации на ЭВМ. К недостаткам МНК можно отнести следующее.

Во-первых, модель тренда жестко фиксируется, и с помощью МНК можно получить прогноз на небольшой период упреждения. Поэтому МНК относят к методам краткосрочного прогнозирования.

Во-вторых, значительную трудность представляет правильный выбор вида модели, а также обоснование и выбор весов во взвешенном методе наименьших квадратов.

Наконец, МНК очень просто реализуется только для линейных и линеаризуемых зависимостей, когда для получения оценок коэффициентов моделей решается система линейных уравнений.

Метод экспоненциального сглаживания является эффективным и надежным методом среднесрочного прогнозирования.

Здесь следует остановиться более подробно на учете важности ретроспективной информации.

Практически большее значение для построения прогноза имеет информация, описывающая процесс в моменты времени, стоящие ближе к настоящему (нулевому) моменту времени. Чем дальше мы углубляемся в ретроспекцию, тем менее ценной для прогно- за становится информация. Это можно учесть, придавая членам исходного динамического ряда некоторые веса, тем большие, чем ближе находится точка к началу периода прогноза.

Это положение лежит в основе метода экспоненциального сгла-живания. Сущность метода заключается в сглаживании исходного динамического ряда взвешенной скользящей средней, веса которой (со,) подчиняются экспоненциальному закону (рис. 6.1).

Пусть исходный динамический ряд описывается полиномом следующего вида:

2! pi j=o Jl

где Z>o> ^і» —> bp - коэффициенты; p — порядок полинома;

є, — случайная ошибка.

Метод экспоненциального сглаживания позволяет построить такое описание процесса (6.32), при котором более поздним наблюдениям придаются большие веса по сравнению с ранними наблюдениями, причем веса наблюдений убывают по экспоненте.

Slk\y) = a%(l-ayslk_?\y) (6.33)

/=0

называется экспоненциальной средней k-го порядка для ряда уи где а - параметр сглаживания.

В расчетах экспоненциальную среднюю определяют, пользуясь рекуррентной формулой, полученной Брауном:

St[k](y) = a if"11 (у) + (1 - a)S,Jf](y). (6.34)

Использование соотношения (6.34) предполагает задание начальных условий 50t2J, которые могут быть определены по формуле Брауна—Мейера:

sP(y)= І ? j>{І-а^-^Д (6.35)

р=О Р! (л-1)! У=О

где /7 = 1,2, ..., л + 1;

b — оценки коэффициентов.

Оценки коэффициентов прогнозирующего полинома определяют через экспоненциальные средние по фундаментальной теореме Брауна—Мейера.

Рассмотрим применение метода экспоненциального сглаживания для двух наиболее употребительных случаев, когда тренд опи-сывается линейной функцией и параболой. Линейная модель Брауна

yt = b0 + bxt + є,. (6.36)

Начальные приближения для случая линейного тренда равны (по формуле (6.35)):

экспоненциальная средняя 1-го порядка:

экспоненциальная средняя 2-го порядка:

Зная начальные условия So'1' и и значение параметра а, вычисляют экспоненциальные средние 1-го и 2-го порядка:

S,w(y) = су, + (1 - СО^ДЧОО; (6.39)

5,[210') = а.?/11 + (1 - cOS^Cy). (6.40)

Оценки коэффициентов линейного тренда:

Ь0 = 25/400 - S,l2i(6.42)

А А

Прогноз на 1 шагов (на время tx) равен: yt = b0 + Ьх • /. Ошибка прогноза

(6.43)

a = аЄ/а ^ [l+4(1 - а) + 5(1 - а)2 + 2а(4 - За)/, + 2а2/,2

Параболический тренд

^(У)^—^ ^ (6-45)

Начальные приближения

a 2a

СІ21/.Л а 2(1-а) (1-а)(3-2а)

а 2а

•^^¦за^^о-^-за) (647)

а 2а

Экспоненциальные средние

= цу, + (1 - aJ^J/'C); (6.48)

•S^OO = aS/11 С) + (1 - а^ОО; (6.49)

5/31(у) = aS,[2] (у) + (1 - а)^.1!31^). (6.50)

Оценки коэффициентов параболической зависимости для тренда

b0 = 3[5/"(у) - 5,[2!(у)] + S,[310); (6.51)

bi =-^Г(6-5а)^1,(у)-2(5-4а)5'Р(у)+(4-За)6,Р(у)1; (6.52) (l-arL J

^ + (6.53) Прогноз на момент

y^k+ke+fol (6'54)

Ошибка прогноза

G*y - oEj д/га + ЗаЧза3/!. (6-55)

Для метода экспоненциального сглаживания основным и наиболее трудным моментом является выбор параметра сглаживания а, начальных условий и степени прогнозирующего полинома.

Параметр сглаживания а определяет оценки коэффициентов модели, а следовательно, результаты прогноза.

В зависимости от величины параметра прогнозные оценки по- разному учитывают влияние исходного ряда наблюдений: чем больше а, тем больше вклад последних наблюдений в формирование тренда, а влияние начальных условий убывает быстро. При малом а прогнозные оценки учитывают все наблюдения, при этом уменьшение влияния более ранней информации происходит медленно.

Для приближенной оценки а известны два основных соотношения:

• соотношение Брауна, выведенное из условия равенства скользящей и экспоненциальной средней

где N — число точек ряда, для которых динамика ряда считается однородной и устойчивой (число точек в интервале сглаживания).

2

Иногда а = —где п — число наблюдений (точек) в ретро- п +1

спективном динамическом ряду;

соотношение Мейера

а=—, (6.57)

где ап — средняя квадратическая ошибка модели;

ае — средняя квадратическая ошибка исходного ряда.

Однако достоверно определить оп и аЕ из исходной информации очень сложно, поэтому использование соотношения (6.57) затруднено.

Очевидно, что выбор параметра а нужно связывать с точностью прогноза, поэтому для более обоснованного выбора а можно использовать процедуру обобщенного сглаживания.

В этом случае получаются следующие соотношения, связывающие дисперсию прогноза о\ и параметр сглаживания а: для линейной модели

а

а? =

" (1-Р)2

(6.58)

1 + 4(3+5(32 + 2а(1 + 3(3)т + 2а V

для квадратичной модели

а2?т = [2а + За3 + За2т]ае2, (6.59)

где Р = 1 - а;

т — период прогноза;

ое — средняя квадратическая ошибка аппроксимации исходного динамического ряда.

При а = 0 выражения, стоящие в правых частях формул (6.58), (6.59), обращаются в нуль, следовательно, для уменьшения ошибки прогноза необходимо выбирать минимальное а.

В то же время, чем меньше а, тем ниже точность определения начальных условий, а следовательно, ухудшается и качество прогноза.

Таким образом, использование формул (6.58), (6.59) приводит к противоречию при определении параметра сглаживания.

Качество прогноза во многом зависит от выбора порядка прогнозирующего полинома. Известно, что превышение второго порядка модели не приводит к существенному увеличению точности прогноза, но значительно усложняет расчет.

Отметим в заключение, что метод экспоненциального сглажи-вания является одним из наиболее эффективных, надежных и ши-

роко применяемых методов прогнозирования. Он позволяет получить оценку параметров тренда, характеризующих не средний уро-вень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения, и при этом отличается простотой вычислительных операций.

Пример 6.5. Пусть задан временной ряду,: Год 1997 1998 1999 2000 t 1 2 3 4 У/ 40 43 46 48

Можно считать, что аппроксимирующая функция (тренд) описывается линейной функцией (рис. 6.2).

Таблица 6.3

Расчетная таблица

Факти Расчетные значения Год Период, t ческое значение У, /2 У = 37,5 + + 2,7 • / АУ =У-Уг 1997

3 1 2

40 43 46 48 1 4 9 16 40 86 138 192 40,2 42,9 45,6-48,3 0,2 -0,1 -0,4 0,3 Итого 10 177 30 456 - -

1. Определим коэффициенты прямой у = а0 + а^ по методу наименьших квадратов. Для этого вычислим ряд промежуточных значений и их суммы. Результаты занесем в табл. 6.3. Далее найдем

А) = п It і 4 10 2'І S/,2 10 30 = 120-100 = 20;

ІУі Itj

Ем- It?

Z>2 =

И 2', 4 177 2// 10 456 = 54;

177 10 456 30

А =

= 750;

«о

A> 20

D2 54

D0 20

Окончательно уравнение прямой имеет вид у = 37,5 + 2,7/.

Подставив в него значения t = 1, 2, 3, 4, получим расчетные значения тренда (табл. 6.3). Основная ошибка

а =

= 0,4.

N +1 4 + 1

4"= 37,5-^^-2,7 = 33,45;

3. Начальные условия

сИ >0

л /0.22 +(-0,1)2 + (-0,4)2 + 0,32 a, =J =0,3.

=37,5-^^.2,7 = 29,4.

4. Для t = 2 вычислим экспоненциальные средние: Jjin = 0,4 • 40 + 0,6 • 33,45 = 36; Яг12' = 0,4 • 36 + 0,6 • 29,4 = 32; значения коэффициентов:

а0 = 2 • 36 - 32 = 40,

«і=Г^ї(36-32) = 2,6;

прогнозируемые значения:

у\ = 40 + 2,6 • 1 = 42,6; отклонения от фактического значения:

АУ2 = 42,6 - 43 = -0,4.

/ = 4, / = 5. Результаты представим в табл. 6.4.

Таблица 6.4

Типовая таблица для построения прогноза по методу экспоненциального сглаживания Год Период, t Факти-ческое значение У, Расчетные значения S,™ St[2] До А 0\ *

У$ АУ = У* ~ УІ 1997

3 1 2

40 43 46 48 36 38,6 41,6 32 34,6 37,4 40 42,6 45,8 2.7 2,6

42,6 45,3 48,6 -0,4 -0,7 0,6 2001 і = 1 - 44,2 40,1 48,3 2,7 51 -

Для t = 3:

S3 = 0,4 • 43 + 0,6 • 33 = 38,6; S3[2] = 0,4 • 38,6 + 0,6 • 32 = 34,6; o0 = 42,6; а і = 2,7;

= 42,6 + 2,7 • 1 = 45,3; Д/ = - 0,7.

Для t = 4:

$im = 0,4 • 46 + 0,6 • 38,6 = 41,6; S4121 = 0,4 • 41,6 + 0,6 • 34,6 = 37,4; a0 = 45,8; 5, = 2,8; У4 = 45,8 + 2,8 • 1 = 48,6; Ay; = 0,6.

Для построения модели прогноза (? = 1) определим

= о,4 • 48 + 0,6 • 41,6 = 44,2; = 0,4 • 44,2 + 0,6 • 37,4 = 40,1; а0 = 48,3; а, = 2,7.

Окончательная модель прогноза имеет вид

ум = 48,3 + 2,7 • (, где ^=1,2, ... (что соответствует t = 5, / = 6 и т. д.).