2.4. Дискретная динамическая модель прогнозирования количества вызовов

Как показала практика [12, 13], процесс обслуживания населения ССМП является по своей природе случайным дискретным процессом. Это объясняется случайным характером потока вызовов, поступающих на пульт ССМП, которые фиксируются в дискретные моменты времени, а также случайностью и дискретностью затрат времени на их обслуживание бригадами СМП.

Отмеченные выше особенности, наряду с тем, что потоки заявок и обслуживание ССМП жителей в крупном НП не являются пуассоновскими, не позволяют использовать для прогнозирования течения рассматриваемого процесса классический аппарат метода «динамики средних» [34].

Для этих целей предлагается использовать представленный в данном разделе дискретный метод «динамики средних». Отметим, что первый опыт применения такого метода, при предположении о постоянстве значений переходных вероятностей, для прогнозирования процессов обслуживания населения оперативно-диспетчерскими службами НП приведен в статье [43].

Как было отмечено выше, классический метод «динамики средних», в связи с использованием в нем аппарата дифференциальных уравнений, будем называть «непрерывным» методом «динамики средних».

Этот метод вследствие его простоты и наглядности нашел широкое применение при решении значительного числа прикладных задач [44, 45]. Вместе с тем, практика постановок ряда задач показала, что в них не имеют места такие важные допущения «непрерывного» метода как пуассоновские потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние , и непрерывность временной шкалы смены состояний.

Для ликвидации этих недостатков в данной работе при решении задачи прогнозирования числа вызовов предлагается использовать дискретную динамическую модель для вычисления значений математических ожиданий и дисперсий , числа вызовов с помощью системы рекуррентных уравнений, построенных с использованием теории неоднородных цепей Маркова [46].

Рассмотрим общий подход к построению математической модели дискретного метода динамики средних.

Пусть имеется некоторая система из однородных элементов, каждый из которых в любой момент времени может находиться в одном из состояний множества .

Будем считать, что число элементов , находящихся в состоянии , фиксируется в смежные моменты времени и , где – некоторый конечный промежуток времени, величина которого выбирается с учетом специфики решаемой прикладной задачи. Эти моменты времени образуют конечную сетку значений дискретной шкалы времени, определяемой как

.

(2.57)

Изменение состояний системы во времени будем описывать условными вероятностями переходов вида:

.

(2.58)

Здесь – состояния системы соответственно в моменты времени и . Из этого выражения следует, что процессы случайной смены состояний системы происходят в интервале времени .

При предположении, что в любой момент времени случайные события , несовместны и образуют полную группу событий [47], на эти вероятности накладываются условия вида:

.

(2.59)

Вычисление значений переходных вероятностей (2.58) будем осуществлять с использованием уравнений Колмогорова – Чепмена [32] или равенств Маркова [38] вида:

.

(2.60)

Здесь – вероятности наступления соответствующих случайных событий, переводящих систему в интервале времени из состояния в состояние .

Обозначим через – вероятность того, что система в момент времени будет находиться в состоянии , .

На эти вероятности также накладываются условия нормировки вида:

.

(2.61)

Значения вероятностей в момент времени с использованием формулы полной вероятности [47] определяются как:

,

(2.62)

где значения вычисляются с помощью уравнений (2.60).

Выражения (2.60), (2.62) представляют собой систему рекуррентных уравнений, решаемых на сетке (2.57). Начальные условия для этой системы имеют вид:

,	(2.63)
.	(2.64)

В работе [34] доказывается, что рассмотренные выше функции и , для любого вычисляются по следующим формулам:

,	(2.65)
.	(2.66)

Умножая на величину левую и правую части уравнений (2.62) и используя равенства (2.65), получаем систему уравнений вида:

.

(2.67)

Выполняя аналогичные действия над выражением (2.61) и (2.64) получаем следующие условия:

,	(2.68)
,	(2.69)

где – математическое ожидание числа элементов системы, находящихся в начальный момент времени ее функционирования в состоянии .

Преобразуем выражения (2.67) к стандартной форме записи рекуррентных уравнений, исключив из их правых частей функции, заданные в момент времени .

Подставляя в эти выражения правые части уравнений (2.60) имеем:

.

(2.70)

Систему рекуррентных уравнений (2.70), начальных условий (2.69), (2.63) и ограничений (2.68), (2.59) будем называть дискретной динамической моделью «динамики средних» определенной на сетке (2.57).

Определив с помощью этой модели математические ожидания , дисперсию числа элементов системы, находящихся в момент времени в состоянии можно определить по формуле (2.66), .

Покажем, что построенная модель при для пуассоновских потоков переходов из состояния в , представленных на рис. 2.3 сводится к «непрерывной» модели динамики средних.

Рис. 2.3.

Уравнения (2.67) для графа связи состояний, представленного на рис. 2.3, записываются как

, .

(2.71)

Из условий (2.59), которые должны выполняться для всех значений следует, что

.

Преобразуя уравнения (2.71) с помощью этих соотношений получаем выражения вида:

, .

Перенося из правых частей этих выражений соответственно функции и и поделив обе части полученных соотношений на величину имеем:

, .

(2.72)

Входящие в правые части этих выражений переходные вероятности , , с учетом соотношений (2.60), определяются как

.

С учетом условий нормировки (2.59) эти выражения можно переписать в виде:

	(2.73)
	(2.74)

Для получения из выражений (2.72) дифференциальных уравнений непрерывного метода «динамики средних» необходимо перейти в их левых и правых частях к пределу при .

Из определения производной [41] следует, что

, .

(2.75)

Предельные значения относительных вероятностей и при с учетом выражений (2.73) и (2.74) определяются как

(2.76)

Известно [34], что интенсивности пуассоновских потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние , определяются следующим образом

.

С учетом этого, выражения (2.76) можно переписать в виде:

(2.77)

Предполагая, что потоки событий, переводящие систему в последовательностях состояний и , должны быть сбалансированы, т.е. должны выполняться условия вида:

,

то выражения (2.77) можно переписать как

(2.78)

Таким образом, проводя в выражениях (2.72) предельный переход при с учетом (2.81) и (2.95) получаем систему дифференциальных уравнений вида:

(2.79)

которая полностью соответствует примеру такой системы, приведенной в работе [34].

Применение на практике модели (2.70), (2.69), (2.63), (2.68), (2.59), (2.57) подразумевает вычисление оценок , на основе статистических данных, описывающих смену состояний системы в выбранном промежутке времени .

При вычислении значений и , с помощью системы (2.70), (2.60), удовлетворяющих условиям (2.68), (2.59) можно использовать прием понижения ее порядка, применяемый в непрерывном методе «динамики средних» [34], пример которого был использован выше для модели (2.44) – (2.46).

Приведем формальную постановку задачи прогнозирования числа вызовов, поступивших от жителей НП на пульт ССМП. Будем считать, что любой из жителей рассматриваемого НП в произвольный дискретный момент времени может находиться в одном из состояний множества , таких что: – жителю НП не требуется СМП, – житель НП обслуживается ССМП.

Граф связи этих состояний, взвешенный соответствующими переходными вероятностями , состояний, представлен на рис.2.3.

Обозначим через число жителей НП, находящихся в момент времени в состоянии , . Очевидно, что случайные функции должны удовлетворять условию .

Тогда модель (2.70), (2.69), (2.63), (2.68), (2.59), (2.57) динамики численности жителей, находящихся в состояниях и примет вид:

	(2.80)
,	(2.81)
	(2.82)

Отметим, что в модели (2.80) – (2.82) не учитывается изменение величины за счет смертности, рождаемости и миграции жителей НП. В качестве величины в модели могут выступать такие интервалы времени как сутки, неделя, месяц и т.д.

Для решения задач краткосрочного прогнозирования значений случайных функций и при , предположим, что изменение вероятностей , являются незначительными при переходе от интервала времени к интервалу . Для вычисления их значений будем использовать обозначенный выше способ.

Пусть и – статистические данные, описывающие соответственно число вызовов, поступивших на пульт ССМП и число жителей, обслуженных ССМП в интервале времени .

Тогда точечные статистические оценки соответствующих вероятностей [48] для каждого текущего интервала времени вычисляются как:

, .

(2.83)

С учетом этого имеем, что:

, .

(2.84)

Другим важным вопросом практического применения модели (2.80) – (2.82) является задание начальных условий и , , входящих в выражения (2.81) и (2.82).

Пусть и – статистические данные, описывающие количество обратившихся и обслуженных ССМП жителей за принятый в прогнозе начальный момент времени .

Тогда начальные условия (2.81) и (2.82) записываются как:

, .	(2.85)
, , , .		(2.86)

Развитие предложенной выше модели (2.80) – (2.82) состоит в рассмотрении вместо состояния совокупности состояний , где означает, что житель НП обслуживается бригадой -той профильности, представленной в таблице 2.1. В этом случае используется граф связи состояний, представленный на рис. 2.4 и модель при вида:

	(2.87)
	(2.88)

Рис. 2.4.

Произведем оценку точности предложенного метода прогнозирования. Как известно [48], существуют точечные и интервальные прогнозы значений соответствующих случайных функций.

Точечные прогнозы функций получаются в нашем случае при использовании в качестве прогнозных значений функций , , вычисленных с использованием модели (2.80) – (2.82) при .

Точность таких прогнозов можно оценить величиной средней относительной ошибки, вычисляемой как [48]:

,

где – фактические значения случайных функций , , – математические ожидания в соответствующие моменты времени.

Интервальные оценки значений функций в последующем календарном периоде работы ССМП предлагается вычислять с использованием «правила трех сигм» [38]. В нашем случае интервальная оценка значений функций будет вычисляться как

, ,

(2.89)

где – среднеквадратическое отклонение случайной величины в момент времени .

Для оценки точности такого прогноза предлагается использовать неравенство Чебышева [38], которое в нашем случае примет вид:

.

Полагая , получаем отсюда что:

,

т.е. ошибка интервального прогноза в виде (2.89) составляет величину не более 11,11%, что согласно работам [39, 40] является хорошей и достаточной для практики точностью прогноза.

Опишем алгоритм построения прогнозирования количества вызовов с помощью метода «динамики средних»:

1. Собрать статистические данные по количеству поступивших и обслуженных вызовов за предшествующие периоды времени.

2. Вычислить начальные значения математических ожиданий и переходных вероятностей , по формулам (2.85), (2.86).

3. Вычислить значения переходных вероятностей , по формулам (2.60).

4. Провести табулирование функций , , , по формулам (2.74), (2.66).

5. Вычислить интервальные оценки числа вызовов, которые могут находиться в различных состояниях, по формуле (2.89).

Данная задача должна быть реализована в составе функций АРМ статистика.