17) Метод Фурье решения начально-краевых задач для однородного волнового уравнения (уравнение теплопроводности) с однородными краевыми условиями.
Решение задач о свободных колебаниях ограниченной струны с закрепленными концами.
Метод Фурье или метод разделения переменных является одним из наиболее распространенных аналитических методов решения уравнений с частными производными.
Он заключается в нахождении частных решений заданного уравнения не равных тождественно нулю в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.Решение задачи будем искать в виде:
. Подставляя в
получаем:
- Будет выполняться при условии
,
. Используя граничные условия, получим:
18) Решение начально-краевой задачи с неоднородным волновым уравнением (уравнением теплопроводности) и нулевыми краевыми и начальными данными методом представления решения в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.
. Решение задачи
будем писать в виде ряда:
. При таком поиске решений граничные условия выполняются автоматически.
Подставим
и
в уравнение
, тогда получаем:
- ЛНДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами.

. Найдем
:
. Согласно выражению
:
. Найдем
из начальных условий:
Подставляя в в решение
, получим:
.