<<
>>

Однородные уравнения.

Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

Пример.

Является ли однородной функция

Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3– го порядка.

Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Любое уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

Рассмотрим однородное уравнение

Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем:

Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента , т.е.

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:

Далее заменяем y = ux, .

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Введем вспомогательную функцию u.

.

Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее .

Подставляем в исходное уравнение:

Разделяем переменные:

Интегрируя, получаем:

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Однородные уравнения.:

  1. § 57, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
  2. Однородные уравнения.
  3. Уравнения, приводящиеся к однородным.
  4. Линейные уравнения.
  5. Линейные однородные дифференциальные уравнения.
  6. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
  7. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
  8. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
  9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
  10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
  11. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
  12. Тема 3. Системылинейных уравнений. Модель Леонтьева.
  13. Практическое занятие №5 "Решение обыкновенных дифференциальных уравнений"
  14. з. Основные уравнения и задачи математической физики
  15. Дифференциальные уравнения второго порядка
  16. 18. Общее понятие разностных уравнений
  17. 21. Разностные уравнения. Линейные разностные уравнения.
  18. 17) Метод Фурье решения начально-краевых задач для однородного волнового уравнения (уравнение теплопроводности) с однородными краевыми условиями.