4. Проекционные методыОбширный класс методов приближенного решения уравнений вида Аи = / использует следующий ПОДХОД: решение ищется В виде UN = = где коэффициенты а, определяются из условия равенства

нулю проекции невязки RN — AUN — / на линейную оболочку базисных функций \|/,, і — 1,2,..., /V, вообще говоря, отличных ОТ ф,. Одним из частных случаев этого условия является требование ортогональности г^ ко всем \|/,: (r/y,vjf,) = (AUN — f, Vi) = 0) ' = 1,2,...,N.

4.1. Метод Бубнова-Галеркина. Основным недостатком метода Ритца является то, что он применим только для уравнений с симметричными положительно определенными операторами. От этого недостатка свободен метод Бубнова-Галеркина (иногда его называют просто методом Галеркина).

4.1.1 Метод Бубнова-Галеркина (общий случаи) Пусть в гильбертовом пространстве Н рассматривается уравнение

Аи = /, / Є Я, (41)

где А — линейный оператор с областью определения D(A), который может не быть симметричным, ограниченным и положительно определенным. Метод Бубнова-Галеркина построения приближенного решения уравнения (41) состоит в следующем:

выбираются базисные функции {ф,}, і = l,...,N, ф, Є D(A);

приближенное решение ищется В виде UN = [ аіфм

коэффициенты а, определяются из условия ортогональности невязки AuN-f к фі,... ,ф/у: (AUN- /,ф,) =0, /= 1 или

N

?(Ф.,АФ*Н=(/,Ф,), ,= l,...,N. (42)

Отметим, что уравнения (42) по форме совпадают с соответствующими уравнениями алгоритма Ритца (если ф, Є D(A)). Таким образом, если А — симметричный положительно определенный оператор, то методы Бубнова-Галеркина и Ритца совпадают.

Обозначим через Ядг линейную оболочку системы {ф,}, і — 1 ,...,N, ф, Є D(A), а через AHN — линейную оболочку функций {Лф,}.

PnAuN - PNF,

которое широко используется при изучении сходимости общего случая алгоритма Бубнова-Галеркина.

Пусть рЦ\ fffi — операторы ортогонального проектирования на HN , AHN соответственно. Введем обозначение

т -minlli-^li

xN = min ———, Vyv ||vW||

где vN Є AHn, VN Ф 0. Теорема 4. Пусть:

Тдг > т > 0, где постоянная т не зависит от N;

система {ф,} А-плотная.

Тогда последовательность {А«дг} сходится к Аи при любом / ЄН; при этом имеет место оценка

\\Au-AuN\\ < (і + і.) IIf-p^fU < (і + Wf-P^fW.

Если же существует ограниченный оператор А-1, то имеет место сходимость «дг к и при N °° и справедлива оценка погрешности

- < \\A~l\\ (l + ^ Wf-P^fW-

Таким образом, если в общем алгоритме Бубнова-Галеркина удается оценить снизу величину XN > т > 0, то можно доказать сходимость невязки г/у = AUN — f к нулю, а также I4.1.2 Метод Бубнова-Галеркина (случай А = Ао +В). Пусть оператор в (41) представим в виде А = Ао + В, где Ао («главная часть» оператора А) — самосопряженный положительно определенный оператор с областью определения D(A), плотной в H. Введем энергетическое пространство НА оператора Ао со скалярным произведением [и, v] и нормой [г<] = [и, м]'/2. Умножим (41) на произвольную функцию v є НА- Тогда получаем равенство

[«,v] + (B«,v) = (/,v) VvEHA, (43)

которое допускает введение обобщенной постановки задачи (41).

Определение. Функцию « Є НА назовем обобщенным решением уравнения (41), если и удовлетворяет (43).

Предположим, что такое обобщенное решение существует.

Сформулируем метод Бубнова-Галеркина для решения рассматриваемой здесь задачи:

в НА выбираются базисные функции {ф,}, т.е. здесь достаточно, чтобы ф, принадлежали НА (а не D(A));

приближенное решение UN ищется В виде UN = Х,= 1а,<Р'>

коэффициенты а, определяются из системы уравнений вида

[илг»Ф.] + (ЯИЛГ,Ф,) = (/>Ф,)) i=l,...,N, (44)

или, в матричной форме, Аа = /, где А = (Ач), Ач — [ф7, ф,] + (Вф7, ф,) = = (/> Фі), a=(Au...,aN)T, /= (F{,-..,/N)T, /« = (/, Фі)- После определения а из системы Аа = f строим приближенное решение по формуле

S

n

Теорема 5. Пусть (41) имеет единственное обобщенное решение и оператор Т = А~1 В вполне непрерывен в НА- Предположим также, что последовательность подпространств HN, являющихся линейными оболочками {ф,}, предельно плотна в НА- Тогда при достаточно больших N метод Бубнова-Галеркина дает единственное приближенное решение UN- Последовательность UN сходится по норме НА К обобщенному решению и, а также справедливы оценки вида

г n , лг

mm и - < [илг-и] < (1 +eN) mm и - ?с,ф, ,

r' L ,= i 1 Cl L ,= 1 1

где EN 0 при N

Справедливо также следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть:

уравнение (41) имеет единственное обобщенное решение и ? НА',

форма а(и, v) = [«, v] + (Ви, v) является НА -определенной и НА-ограниченной, т е для нее выполнены соотношения

а(и, и) > YoW2, а(и, v) < V?["]M, Yo, Yi = const;

последовательность подпространств {HN}, где HN — линейная оболочка функций {ф,}, І — 1 ,...,N, предельно плотна в НА, т е

Г N 1 min и- < е(и, N) -»• 0, N-ь со,

° L ,=i J где г(и, N) — оценка погрешности аппроксимации

Тогда при любом конечном N система (43) однозначно разрешима, приближенное решение UN сходится к и при N °° в метрике [•], а также справедлива оценка погрешности [м — UN] < сє(м, N), где постоянная с не зависит от N.

Заметим, что в рассматриваемом случае метода Бубнова-Галеркина базисные функции (так же, как и в методе Ритца) можно выбирать не удовлетворяющими краевым условиям, если они оказываются естественными.

Au + Bu = f, /ЄН, (45)

где оператор А является К-положительно определенным (или положительно определенным в обобщенном смысле), т. е.

(Аи, Ки) > ТЧІИІІ2, (Аи, Ки) > р2||К«||2, где Р, у — постоянные, Р,у > 0, и Є D(A).

Метод моментов приближенного решения (45) состоит в следующем:

выбирается базисная система {ф,} С D(A);

приближенное решение un ищется в виде un = а,ф,;

коэффициенты а, определяются из системы уравнений

(AuN + BuN-f,Kq>j)= 0, j=l,...,N. (46)

Отмечаем, что в силу ^-положительной определенности оператор А обладает ограниченным обратным оператором: ||А_1|| < 1/(YP), А также число (Аи, Ки) вещественно и имеет место свойство

(Аи, Kv) = (Ки, Av) VM, V Є D(A).

На основании этих свойств на D(A) можно ввести скалярное произведение (И, V)K = (Au,Kv), к, v Є D(A), в силу чего D(A) после пополнения превращается в гильбертово пространство Нк с нормой

Определение. Элемент и Є Нк назовем обобщенным решением уравнения (45), если он удовлетворяет равенству

(u,v)K + (Tu,v)K = (f1,v)K Vv Є Нк- (47)

Очевидно, что если элемент и удовлетворяет (45), то он является также и обобщенным решением (обратное, вообще говоря, неверно).

Теперь систему (46) можно записать в виде

N

?[(Ф"Ф> + (ВФ<>ЗД]Я. = (/>КФД у = 1,... (48)

/=і

Алгоритм (48) можно рассматривать как процесс определения приближенного обобщенного решения Un-

Теорема 7. Пусть уравнение (45) имеет единственное обобщенное решение и оператор Т = А~]В вполне непрерывен в Нк- Тогда:

существует такое целое No, что при любом N> No система (48) имеет единственное решение а,;

приближенные решения UN сходятся в Нк (а также в Н) к решению уравнения (45)

4.3. Проекционные методы в гильбертовых и банаховых пространствах.

Проекционный метод в гильбертовом пространстве Пусть в гильбертовом пространстве Н рассматривается уравнение

Au = f, /ЄЯ, (49)

где А — вообще говоря, неограниченный оператор, действующий в Я и обладающий ограниченным обратным оператором А-1.

Введем в Я линейно независимую систему {ф,}. Соответствующие N-мерные подпространства, порождаемые {ф,}, обозначим через Мы- Предположим, что последовательность {Мн} предельно плотна в Я. Зададим последовательность проекционных операторов Рн, каждый из которых отображает Я на соответствующее пространство М^. Предположим в дальнейшем, что \\PN\\ <с, N = 1,2,... (Здесь PN не обязательно являются ортопроекторами, т. е. от них требуется лишь выполнение свойств P2N = PN, PNH = MN.)

Введем также линейно независимую систему {ф,}, ф, Є D(A). Подпространства, порождаемые {ф,}, обозначим через в Я/у, а линейную оболочку системы {Аф,} — через АЯ/у. Предположим, что последовательность подпространств {АЯ/у} предельно плотна в Я и для любого элемента и Є Я

Є/у(к, N) = inf Цк-к/vll ->-0, N -»¦«>, uNeAHN-

ИN

Приближенное решение задачи (49) ищем в виде UN = а,Ф" где а' определяется из уравнения

PnAuN = PNF. (50)

Теорема 8. Пусть для любого N и любого элемента v Є AHN имеет место неравенство x||v|| < ||P/vvll> где постоянная т > 0 не зависит от N. Тогда при любом N уравнение (50) имеет единственное решение

идг = ^ а,ф,, причем невязка AUN — / стремится к нулю при N -4 °° и справедливы оценки

< ЦАи/v —/|| < (1 +с/т)є(/,N), где є(/, N) = INFFY ||/-/v||, fN Є AHN-

Метод Галеркина-Петрова Рассмотрим уравнение (49). Алгоритм приближенного решения этого уравнения состоит в следующем:

задаются два, вообще говоря, различных базиса {ф,} С D(A), {V,} С Я;

приближенное решение UN ищется В виде UFJ = Я|ф|,;

коэффициенты а, определяются из системы уравнений

(AuN+BuN-f,y,)=0, i=l,...,N. (51)

Этот метод является также частным случаем сформулированного в п. 4.3.1 проекционного метода. Действительно, пусть в (50) оператор Рн есть ортопроектор на линейную оболочку Mfj функций Тогда уравнение (50) эквивалентно системе уравнений (Айн — /, = 0, і = 1,...

Рассмотрим теперь специальный набор базисных функций {\|/,} в методе Галеркина-Петрова (при котором этот метод иногда называют методом интегрирования по подобластям).

Пусть Н — L.2(Q), где ?2 — область т-мерного евклидова пространства, Ни — линейная оболочка {ф,}. Базис {\j/,} здесь уже имеет конкретный вид. Разобьем ?2 на N подобластей Q.\,...,Q.N так, чтобы Ц* = = ?2, Qj ГШ, = 0 при і ф j. Обозначим через х Є ?2, характеристи

ческую функцию области ?2*: \j/*(x) равно 1 при х? ?2* и 0 при

Введем функцию Ук(х) = (l/vmes(?2*))\jjf/t(x), к= 1,...,jV, и примем за Мн подпространство, являющееся линейной оболочкой системы {4/4}. В этом случае (51) эквивалентна системе

f,a,jA4>,dx = Jfdx, j=l,...,N. (52)

,= 1 Qj Qj

Сходимость метода интегрирования по подобластям вытекает из теоремы 8.

4.3.3 Проекционный метод в банаховом пространстве Пусть Е и F — банаховы пространства (комплексные или вещественные). Рассмотрим уравнение

Аи = /, (53)

где А — линейный (вообще говоря, неограниченный) оператор с областью определения D(A) С Е и областью значений R(A) С F. Проекционный метод решения (53) заключается в следующем. Задаются две последовательности {?V} и {FN} : ENCD(A)CE, FNCF (N = 1,2,...), а также линейные проекционные операторы (проекторы) PN, проектирующие F на Fn-Ph = Pn, Pn/ = Fn (N = 1,2,...). Уравнение (53) заменяется при-ближенным уравнением

PNAun = PNf, UN Є EN. (54)

поскольку проектор Pfj имеет вид PfjU — lk(u)\\l,, гдє \|/i,...,v|//y —

базис подпространства Fh, а /*(к) — линейные ограниченные в F функционалы, то, обозначая через фі,ф2,-• • ,(p/v базис в Ен, уравнение (54) сведем к системе линейных алгебраических уравнений

N

?/,(Аф*)я* = /,(/), J = 1,2,...,N; (55)

*=i

при такой записи нет необходимости явно указывать подпространство FN, достаточно указать функционалы

Определив м/v из уравнения (54) (или из уравнений (55)), его принимают за приближенное решение уравнения (53)

Говорят, что последовательность подпространств {?/v} предельно плотна в Е, если для каждого w Є Е имеем P(w, EN) -4 0, N -4 где p(w, EN) = infwn&En ||W -

Следующая теорема, установленная Г М Вайникко, дает обоснование сформулированному алгоритму

Теорема 9 Пусть область определения D(A) оператора А плотна в Е, a R(A) — в F, и пусть А переводит D(A) на R(A) взаимно однозначно Пусть подпространства AEN и FN замкнуты в F, а проекторы PN ограничены относительно N Ц/^Н < С (N = 1,2, )

Тогда для того, чтобы при любом f Є F, начиная с некоторого N = = No, существовало единственное решение UN уравнения (54) и чтобы ||.Ак/у — /II -4 0, N -4 оо, необходимо и достаточно, чтобы соблюдались следующие условия

последовательность подпространств AEN предельно плотна в F,

при N > No оператор PN переводит AEN взаимно однозначно на FN,

т = ]!m/v_>oo тN > 0, где тN = тГи,Л,Єі4?'Л,,||и.Л,||=і llfivHI

Быстрота сходимости при соблюдении условий 1)-3) характеризуется неравенствами

P(F, AEn) < \\Aun - /II < (L + ?-) P(F, AEn)

V T n'

(В случае, когда подпространства EN,FN конечномерные и их размерности совпадают условие 2) является следствием условия 3) )

4 3 4 Метод колпокаций Пусть в уравнении (53) оператор А есть дифференциальный оператор порядка s, E = C^(Q), F = C(Q) Выберем последовательность линейно независимых функций фі ,фг, ,Ф/у, удовлетворяющих всем краевым условиям задачи Натянутое на (pi,(p2, ,ф/v

подпространство примем за En, и пусть un — Х*=іа*Ф* ® области Q выберем теперь N точек Лы и положим lj(u) = u(t,j) Систе

ма (55) в данном случае примет вид

У = 1,2, ,N, (56)

*=i

а проекционный алгоритм в банаховом пространстве называется методом колпокаций Для обоснования метода коллокаций может быть использована теорема 9 Этот метод широко используется для приближенного решения интегральных и дифференциальных уравнений

4.4. Основные понятия проекционно-сеточных методов. Естественной и привлекательной является идея конструирования таких алгоритмов приближенного решения задач математической физики, которые, с одной стороны, по форме были бы вариационными или проекционными, а с другой — приводили бы к системам уравнений, подобным возникающим в разностных методах (т. е. незначительное число элементов матриц этих систем были бы ненулевыми). Такими алгоритмами являются проекционно-сеточные методы (которые называют также методами конечных элементов).

Чтобы прийти к этим алгоритмам, достаточно в вариационных или проекционных методах в качестве базисных функций {ф,} брать функции с конечными носителями (финитные функции), т. е. такие функции, которые отличны от нуля лишь на небольшой части той области, на которой определено искомое решение задачи. Так, пусть рассматривается задача

~+u = f(x), хе (0,1), „(0) = «(!)= 0, (57)

где f е L2(0,1), которая сводится к следующей вариационной задаче:

і

У(и) = inf У(у), где У(у) = f ((~)2 + u2-2uf)dx. ve?j(0,.) JWdxJ }

Введем на [0,1] сетку xt — ih, і = 0,1,...,N, h — l/N, и функции вида

X~X,-i

X Є (jc,-!,*,),

1 і *

0, х?(х,-і,х1+х), которые и примем в качестве базисных. Будем искать приближенное решение В виде иы{х) = где коэффициенты определим с помощью вариационного алгоритма. В данном случае это можно сделать исходя из условий минимизации функционала У(к/у), т.е. методом Ритца

о

в пространстве И^(0,1) (которое является здесь и энергетическим пространством). Тогда для а\,.. получаем систему уравнений N-1

jaj=f„ i= l,...,N — 1. (58)

Учитывая специфику выбранных базисных функций, легко вычислить вид элементов A,j, і, j = 1,... ,N — 1:

A,j =

k2\6\

_Л2+6' J = i-l>i+l>

0, |;'-i'| > l.

Таким образом, применение вариационного алгоритма с рассмотренными выше финитными функциями привело нас к тому, что система уравнений (58) является системой некоторых разностных уравнений, близкой к

2 4? системе, возникающей в разностном методе. Матрица системы здесь также является трехдиагональной и, следовательно, удобна для численного решения (58). Кроме того, так как при построении приближенного решения мы исходили из вариационного алгоритма, то матрица А здесь будет заведомо симметричной. Кроме того, она положительно определена:

Vі д ^ і Vі 2 ! 4 sin2 nil/2 Л Zj A.jd.dj > Anun 2j af, где Amn = -3—!— > 0.

i,j=i 1=1 "

Таким образом, свойства положительной определенности и симметричности оператора задачи здесь при применении проекционно-сеточного метода сохраняются, и проекционно-сеточный алгоритм обладает рядом хороших качеств как вариационного, так и разностного метода.

Отметим другие привлекательные черты проекционно-сеточных методов. Так, коэффициенты а, в системе (58) зачастую несут ясную смысловую интерпретацию. Например, в рассмотренной задаче коэффициент а, равен значению приближенного решения в узле х,, умноженному на коэффициент y/h. Далее, оказалось, что финитные базисные функции в ряде случаев легко можно «приспособить» к геометрии области; тем самым устраняется одна из трудностей, возникающих в разностном методе. Кроме того, обращаем внимание на то, что если при решении рассматриваемой задачи надлежащим образом выбраны проекционный алгоритм и его базисные функции, то дальнейший процесс построения решения задачи происходит «автоматически» с применением электронно-вычислительных машин. Эти обстоятельства и ряд других обусловливают широкое применение проекционно-сеточных алгоритмов для решения самых различных задач математической физики: многомерных задач в областях со сложной геометрией границ, линейных и нелинейных задач, задач гидродинамики и аэродинамики, уравнений электродинамики и волновых процессов и многих других. И в большинстве случаев сохраняется основная идея этих методов, заключающаяся в применении проекционных (в том числе и вариационных) методов с использованием в них различного рода финитных функций, нашедших в настоящее время широкие приложения в теории аппроксимации.