5. Практические способы оценки погрешности приближенного решения.

5.1. Апостериорная оценка глобальной погрешности метода.

Правило Рунге апостериорной оценки погрешности состоит в том, что решение задачи в некоторой точке x_n интервала интегрирования вычисляется дважды по одной и той же формуле (7) с разными малыми шагами и полученные значения решения используются для получения апостериорной оценки погрешности.

Обычно в качестве шагов выбирают h и h/2.

Оценку погрешности для приближенного значения решения можно получить в следующем виде:

, (53)

, (54)

где , — значения решения, вычисленные с шагами h/2 и h соответственно;

, — значения погрешностей для решений с шагами h/2 и h.

5.2. Апостериорные оценки локальной погрешности метода.

5.2.1. Оценка погрешности по правилу Рунге.

(аналогично оценке глобальной погрешности)

5.2.2. Оценка погрешности на основе комбинации формул различных порядков точности.

Этот способ основан на использовании двух приближенных значений решения в одной точке. Однако эти приближения в отличие от правила Рунге вычисляются не по одной, а по двум формулам разных порядков точности p и s с одним и тем же шагом.

5.2.2.1. Комбинация двух независимых формул. Данный способ основан на комбинации двух формул вида (7) разных порядков точности p и s. Пусть p > s, тогда локальная погрешность будет равна:

или, рассматривая только члены главного порядка:

(71)

5.2.2.2. Комбинация специально подобранных формул. Если коэффициенты в формулах таковы, что:

, , , (72)

то , ,

и для локальной погрешности получается выражение следующего вида:

, (73)

где , .

Такой подход к оценке локальной погрешности позволяет уменьшить по сравнению с правилом Рунге и оценкой (71) количество вычислений правой части уравнения (1).

Оценка (73), как и более общая оценка (71), является асимптотической, т.к. она учитывает только члены главного порядка, и справедлива при достаточно малых размерах шага интегрирования.

В практике вычислений в качестве приближенного решения принимается значение как имеющее более высокий порядок точности.

Величина

(74)

называется контрольным членом.

5.2.2.3. Контрольные члены для методов Рунге-Кутта.

1) Методы (21)

и (16)

удовлетворяют условию (72). Контрольный член записывается в данном случае в виде:

и имеет порядок .

2) Классический метод Рунге-Кутта (22)

и метод (16) также удовлетворяют условию (72). Контрольный член записывается в виде:

и имеет порядок .

3) Мерсон предложил следующую модификацию классического метода Рунге-Кутта:

(79)

Формула (79) и формула третьего порядка

(80)

удовлетворяют условию (72). Контрольный член записывается в данном случае в виде:

и имеет порядок O(h⁴).

На более узком, чем (1), классе линейных уравнений вида

(82)

формула (80) имеет не третий, а пятый порядок точности. Порядок точности формулы (79) остается по-прежнему равным четырем. Поэтому величина

служит главным членом локальной погрешности формулы (79) и имеет порядок O(h⁵).

4) Фельберг предложил множество методов, удовлетворяющих условию (72). Например, формулы 4‑го и 5‑го порядков:

(84)

Контрольный член записывается в виде:

и имеет порядок O(h⁵).

5) Инглендом построены следующие формулы четвертого и пятого порядков:

(87)

Контрольный член:

имеет порядок O(h⁵).

5.2.3. Оценка погрешности с помощью нелинейного контрольного члена.

Для приведенных в предыдущем разделе методов оценка локальной погрешности выражалась с помощью линейной комбинации (74) нескольких значений правой части дифференциального уравнения. Однако существуют и другие способы оценки локальной погрешности. В качестве примера можно привести формулу типа Рунге-Кутта четвертого порядка точности: