Тема 2 Структура погрешности численного решения задачи.

Точность решения задачи оценивается абсолютной или относительной погрешностью.

Абсолютная погрешность:

, (2.1)

где - точное решение,

x - численное решение.

Относительная погрешность:

, (2.2)

Источники погрешности численного решения задачи:

1. Погрешность математической модели.

Возникает в результате допущений, принятых при получении модели. Реальность всегда сложнее любой модели, поэтому этот источник погрешности всегда влияет на численное решение. Величина этой погрешности определяется сравнением экспериментальных данных с результатами расчетов по модели (оценивается адекватность модели объекту).

2. Погрешность исходных данных. Зависит от точности измерения параметров, используемых в модели. Любые измерения приближенны, поэтому и этот источник всегда влияет на решение.

В вычислительной математике эти два вида погрешности (погрешность математической модели и погрешность исходных данных) принято называть неустранимой погрешностью, т.к. она не зависит от метода решения задачи и всегда влияет на ее решение, и ее обязательно нужно учитывать при анализе полученного решения.

3. Погрешность метода решения задачи. Возникает в результате применения итерационного или вероятностного метода решения. Эти методы позволяют получить точное решение только в результате бесконечной последовательности действий. Поэтому для получения приближенного решения бесконечный процесс прерывают при достижении требуемой точности решения.

4. Погрешность округления. Возникает в результате проведения вычислений с конечным числом значащих цифр.

Погрешность элементарных арифметических действий изучается в теории погрешности.

Есть случайные и систематические источники погрешности округления.

Случайные источники обычно компенсируют друг друга.

Например:

Знаки случайны и компенсируют друг друга при большом n.

Систематические источники вызывают накопление погрешности округления. Они являются дефектом структуры вычислений (алгоритма).

Пример 2.1

Требуется вычислить:

Сложим эти числа столбиком и, округлив результат до 3-х значащих цифр, получим значение с:

0,476

0,411

1,47

26,2

83,

111,557 » 112.

ЭВМ выполняет действия поочередно (складывает пару чисел) и округляет результат после каждого действия.

Выполним суммирование слева направо в порядке записи (как ЭВМ):

+ 0,476 + 0,887 + 2,36 + 28,6

0,411 1,47 26,2 83,

0,887 » 0,887 2,357»2,36 28,56 »28,6 111,6 » 112.

Пусть теперь выражение записано в обратном порядке:

Выполним суммирование как ЭВМ:

+ 83 + 109 + 110 + 110

26,2 1,47 0,411 0,476

109,2 » 109 110,47 » 110 110,411 » 110 110,476 » 110

От перестановки слагаемых сумма изменилась, то есть

Пример 2.2

Требуется перемножить 100 чисел, причем первая половина из них равна 0,1, вторая 10 (числа упорядочены по возрастанию значений).

Если в программе на языке Pascal последовательно перемножать числа, начиная с первого, то результат будет равен 0 (самое маленькое по модулю значение переменной типа Real на языке Pascal ± 2,9 ·10-39 ).

Если же последовательно перемножать с конца, то произойдет переполнение (самое большее по модулю значение переменной типа Real на языке Pascal 1,7·10 38 ).

Если же эти значения чередуются, то независимо от порядка умножения результат будет равен 1,0.

Следовательно, от перестановки мест сомножителей значение произведения в рассмотренном случае меняется.

В машинной арифметике законы коммутативности (переместительный) и дистрибутивности (распределительный) не всегда соблюдаются.

Рекомендации для снижения ошибок округления:

1. При сложении и вычитании последовательности чисел действия необходимо начинать с наименьших по абсолютной величине значений.

2. Следует избегать вычитания двух близких чисел, преобразуя выражения.

3. Количество арифметических действий для решения задачи нужно сводить к минимуму.

4. Для уменьшения ошибки округления расчеты следует проводить с повышенной разрядностью (double precision в Pascal).

При выборе численного метода решения задачи необходимо учитывать следующее:

1. Погрешность метода должна быть на порядок меньше неустранимой погрешности. Увеличение погрешности метода снижает точность, уменьшение – увеличивает время решения задачи.

2. Погрешность округления должна быть значительно меньше (на два порядка) погрешности метода и неустранимой погрешности.

Для оценки погрешности решения на практике можно использовать следующие приемы:

1. Решить задачу различными численными методами и результаты сравнить.

2. Незначительно изменить исходные данные и повторно решить задачу. Результаты сравнить. Если они различаются сильно, задача или метод ее решения являются неустойчивым – выбрать другой.