Анализ численного решения системы дифференциальных уравнений
В настоящее время можно использовать множество программного обеспечения для осуществления матричных символьных вычислений [130]. Matlab (сокращение от англ. "Matrix Laboratory") является одним из основных инструментов более миллиона инженерных и научных работников для решения задач технических вычислений в силу его высокой интеграции с другими приложениями, а также работает на большинстве современных операционных систем, включая Linux, Mac OS и Microsoft Windows.
Он удобен и достаточно гибок для многих инженерных задач, имеет разнообразный арсенал встроенных функций [69]. MatLab - одно из самых старых, проработанных и проверенных временем, приложений для математических расчетов, основанное на идеях применения матричных операций.Реализацию программы для расчёта движения внешнего шарового слоя можно условно разделить на три этапа: загрузка начальных условий, непосредственное решение системы дифференциальных уравнений второго порядка с проверкой
74 условий отрыва шара от слоя и отрыва от барабана последнего шара и вывод результатов в виде графических фигур на экран. Исходный код программы для построения траекторий движения шаров внешнего слоя представлен в приложении 2.
Рисунок 2.11 Блок-схема процесса расчёта движения шаров внешнего слоя
Загрузка начальных условий (рисунок 2.11) выполняются с помощью встроенной функции xlsread().
После импорта данных и записи всех необходимых параметров (геометрические размеры барабана, ступенек и мелющих тел, значения угловой скорости барабана и коэффициента загрузки) для решения системы дифференциальных уравнений записываются все требуемые математические формулы для приведения исходной системы уравнений до пригодной для численного решения, предварительно определив основные матрицы модульной и угловой координат шаров и их производных как символьные с помощью служебного слова syms [98].
Далее в цикле (где S- количество шагов моделирования движения внешнего
шарового слоя) по формулам(2.44)-(2.47) производится расчёт углов, характеризующих направление сил нормального давления на i-ый шар
Затем производится вычисление углов χ, используя формулы(1.1)-(2.54).По формулам(2.68)-(2.83) выполняется функция, выполняющая вычисление матриц расчёта A,B,C,D и Е. Решение получившейся системы на каждой итерации производилось с помощью встроенного неявного метода Рунге-Кутты ode23tb,дающего удовлетворительные точность и быстродействие [100]. Полученные значения полярных координат шаров внешнего слоя φ. , piсохраняются и цикл завершается.
Заключительный этап - представление полученных результатов, предварительно пересчитанных в декартовы координаты, в виде графических фигур выполняется с помощью функции plot() [54].
График, изображенный на рисунке2.12,показывает изменение аргумента полярной координаты первого шара sin(φ1), по которому оценивалась корректность вычислений.
Рисунок 2.12 Изменение угловой полярной координаты первого шара sin(φ1)
Метод расчёта, который был использован в программе, предполагает постоянную угловую скорость барабана, в силу чего на графике, представленном на рисунке2.12,наблюдается монотонное закономерное изменение угловых координат шара.
Траектория движения одного из шаров (рисунок2.13)позволяет определить момент отрыва шара от стенки и дальнейшее передвижение по объёму барабана.
Рисунок 2.13 Траектория движения первого шара
На рисунке2.14 показана траектория движения трех шаров внешнего шарового слоя.
Рисунок 2.14 Траектории движения трёх мелющих тел в барабане. Зелёный цвет - траектория первого шара, синий цвет - второго, красный - третьего шара (крайнего)
Таким образом, разработанная методика позволяет определить траектории
движения шаров внешнего слоя, их скорости, а также время отрыва и падения в зависимости от высоты и шага выступов футеровки.
2.3.