Решение линейного дифференциального уравнения n-ного порядка с постоянными коэффициентами
Пусть дано дифференциальное уравнение n-ного порядка с постоянными коэффициентами 
. И пусть известны начальные условия.
Применим преобразование Лапласа:
Y(p) – изображение функции y. Получим
По этому изображению находится оригинал так, как описано выше.
Можно не искать изображение функции F(p), а получить решение с использованием формулы Дюамеля.
Введём новую переменную u, причём 
и т. д.
Вместо y подставим в уравнение u:
Слагаемые, не содержащие u, переносим в правую часть:
Получили такое уравнение:
Чтобы получить решение с помощью формулы Дюамеля, рассмотрим уравнение
- здесь х удовлетворяет нулевым начальным условиям.
Найдём изображение правой части:
По изображению Х можно построить оригинал, используя теорему вычетов.
Функция f(t) известна. Тогда
Используя формулу Дюамеля, получим решение:
.
Еще по теме Решение линейного дифференциального уравнения n-ного порядка с постоянными коэффициентами:
- § 57, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- Применение функций от матриц к интегрированию системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
- 16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Метод вариации произвольной постоянной
- Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки
- Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
- Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
- 27. Системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- 4. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.
- 14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.
- Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка.
- 8.1. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков.