Применение функций от матриц к интегрированию системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами первого порядка:

, (38)

где t —независимое переменное;

x₁, x₂,..., x_n —неизвестные функции переменной t;

a_ik (i, k = 1, 2,..., n) —комплексные числа.

Система уравнений (38) может быть записана в виде одного матричного дифференциального уравнения

. (39)

Будем искать решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

. (40)

Разложим искомый столбец x в ряд Маклорена по степеням t:

, где , и т.д. (41)

Но из (39) почленным дифференцированием находим:

, , … (42)

Подставляя в (39) и (42) значение t = 0, получим:

, ,…

Теперь ряд (41) запишется так:

. (43)

Таким образом, интегрирование данной системы дифференциальных уравнений сведено к вычислению элементов матрицы e^At.

Если в качестве начального значения аргумента взять значение t=t₀, то формула (43) заменится формулой:

. (46)