Линейные дифференциальные уравнения
Уравнение вида
 , | (2) |
где 
и 
непрерывные функции от 
называется линейным, в частности, уравнение 
называется линейным без правой части или линейным однородным.
В линейном однородном уравнении 
переменные разделяются: 
и поэтому его интегрирование сводится к вычислению интегралов от обеих частей равенства: 
.
Для того, чтобы решить уравнение (2) при 
будем искать неизвестную функцию 
в виде произведения двух пока неизвестных функций 
от , т.е. положим 
тогда 
.
Подставить значения и 
в уравнение (2):
.
После группировки получим:
 | (2') |
Выберем 
так, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках, обращалось в ноль, т.е.
. Для этого достаточно, чтобы 
было частным решением уравнения с разделяющимися переменными: 
или 
.
Проинтегрировав его, берем частное решение, отвечающее значению 
. Находим . Подставив в уравнение (2') значение , получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
, или 
,
общее решение которого 
.
Следовательно, общим решением уравнения (2) будет 
.
В ряде случаев дифференциальное уравнение первого порядка является линейным не относительно , а относительно , т.е. может быть приведено к виду: 
.
Метод интегрирования его тот же, что и для уравнения (2), но переменные и меняют свои роли: считается аргументом, а 
‑ неизвестной функцией.
Пример 8. Проинтегрировать дифференциальное уравнение:
.
Положим 
, тогда 
.
Подставим и в данное уравнение:
;
 | (3) |
Положим 
, или 
.
Проинтегрировав, получим частное решение при :
или 
.
При равенство (3) обратится в уравнение:
;
,
откуда 
и общим решением данного уравнения будет 
.
Решение многих дифференциальных уравнений нельзя свести к интегрированию известных функций. Поэтому большое значение имеют различные приближенные методы интегрирования уравнений. 7.8