<<
>>

Линейные дифференциальные уравнения

Уравнение вида

, (2)

где и непрерывные функции от называется линейным, в частности, уравнение называется линейным без правой части или линейным однородным.

В линейном однородном уравнении переменные разделяются: и поэтому его интегрирование сводится к вычислению интегралов от обеих частей равенства: .

Для того, чтобы решить уравнение (2) при будем искать неизвестную функцию в виде произведения двух пока неизвестных функций от , т.е. положим тогда .

Подставить значения и в уравнение (2):

.

После группировки получим:

(2')

Выберем так, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках, обращалось в ноль, т.е.

. Для этого достаточно, чтобы было частным решением уравнения с разделяющимися переменными:

или .

Проинтегрировав его, берем частное решение, отвечающее значению . Находим . Подставив в уравнение (2') значение , получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

, или ,

общее решение которого .

Следовательно, общим решением уравнения (2) будет .

В ряде случаев дифференциальное уравнение первого порядка является линейным не относительно , а относительно , т.е. может быть приведено к виду: .

Метод интегрирования его тот же, что и для уравнения (2), но переменные и меняют свои роли: считается аргументом, а ‑ неизвестной функцией.

Пример 8. Проинтегрировать дифференциальное уравнение:

.

Положим , тогда .

Подставим и в данное уравнение:

;

(3)

Положим , или .

Проинтегрировав, получим частное решение при :

или .

При равенство (3) обратится в уравнение:

;

,

откуда и общим решением данного уравнения будет .

Решение многих дифференциальных уравнений нельзя свести к интегрированию известных функций. Поэтому большое значение имеют различные приближенные методы интегрирования уравнений. 7.8

<< | >>
Источник: Гринберг А.С., Кастрица О.А., Скуратович Е.А.. Высшая математика. Курс лекций. Часть II: Курс лекций. ‑ Мн.:Академия управления при Президенте Республики Беларусь,2003. – 213 с.. 2003

Еще по теме Линейные дифференциальные уравнения:

  1. § 56. Дифференциальные уравнения первого порядка.Основные понятия
  2. § 57, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
  3. Линейные однородные дифференциальные уравнения.
  4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
  5. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
  6. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
  7. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
  8. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
  9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
  10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
  11. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
  12. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.
  13. Линейные дифференциальные уравнения
  14. Дифференциальные уравнения второго порядка
  15. 2.2.2. Определение. Пусть дана однородная линейная система дифференциальных уравнений
  16. 4. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.
  17. 14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
  18. 16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Метод вариации произвольной постоянной
  19. 28. Решение дифференциальных уравнений с использованием преобразования Лапласса