Дифференциальные уравнения второго порядка
Многие дифференциальные уравнения второго порядка можно записать в виде:
или .
Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение .
Его решение можно получить путем двукратного интегрирования.
Пример 10. Решить уравнение .
Так как , то интегрируя правую часть уравнения, имеем:
.
Интегрируя повторно, получим все решения данного уравнения:
,
где и ‑ произвольные постоянные. 7.8.2 Задача Коши
Множество решений дифференциального уравнения второго порядка определяется двумя произвольными постоянными. Чтобы выделить единственное решение уравнения, достаточно задать значение функции и ее производной при фиксированном значении аргумента.
Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям: , где ‑ заданные числа, называется задачей Коши. Эти условия часто называют начальными условиями, так как с экономической точки зрения они означают, что в фиксированный момент времени задано начальное состояние экономического процесса и скорость его изменения.
Геометрический смысл задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный угловой коэффициент касательной в этой точке.
Пример 11. Решить задачу Коши .
Найдем все решения данного уравнения. Интегрируем: , .
Воспользовавшись начальными условиями, определим значение констант и из системы уравнений:
.
Следовательно, , и искомое решение:
. 7.8.3 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение вида , где ‑ некоторые действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Теорема. Если и ‑ частные решения уравнения , то есть общее решение этого уравнения.
Для определения частных решений и следует предварительно решить характеристическое уравнение:
.
При решении данного квадратного уравнения возможны три случая:
Корни характеристического уравнения | Частные решения | Общее решение |
1. Действительные разные и | ||
2. Действительные равные | ||
3. Комплексно-сопряженные |
Пример 12. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Составим характеристическое уравнение: . Корни этого уравнения различные и действительные и , поэтому ‑ частные решения этого уравнения, тогда ‑ общее решение данного уравнения.
Пример 13. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .
Корни характеристического уравнения ‑ действительные и равные: , поэтому частные решения ‑ . Тогда общее решение уравнения: .
Для определения частного решения в равенства и подставим начальные условия.
Получим: .
Подставив эти значения в общее решение, найдем частное: .
Пример 14. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные: . В этом случае . Общее решение будет: .