<<
>>

Дифференциальные уравнения второго порядка

7.8.1 Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка

Многие дифференциальные уравнения второго порядка можно записать в виде:

или .

Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение .

Его решение можно получить путем двукратного интегрирования.

Пример 10. Решить уравнение .

Так как , то интегрируя правую часть уравнения, имеем:

.

Интегрируя повторно, получим все решения данного уравнения:

,

где и ‑ произвольные постоянные. 7.8.2 Задача Коши

Множество решений дифференциального уравнения второго порядка определяется двумя произвольными постоянными. Чтобы выделить единственное решение уравнения, достаточно задать значение функции и ее производной при фиксированном значении аргумента.

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям: , где ‑ заданные числа, называется задачей Коши. Эти условия часто называют начальными условиями, так как с экономической точки зрения они означают, что в фиксированный момент времени задано начальное состояние экономического процесса и скорость его изменения.

Геометрический смысл задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный угловой коэффициент касательной в этой точке.

Пример 11. Решить задачу Коши .

Найдем все решения данного уравнения. Интегрируем: , .

Воспользовавшись начальными условиями, определим значение констант и из системы уравнений:

.

Следовательно, , и искомое решение:

. 7.8.3 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида , где ‑ некоторые действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема. Если и ‑ частные решения уравнения , то есть общее решение этого уравнения.

Для определения частных решений и следует предварительно решить характеристическое уравнение:

.

При решении данного квадратного уравнения возможны три случая:

Корни характеристического уравнения Частные решения Общее решение
1. Действительные разные и
2. Действительные равные
3. Комплексно-сопряженные

Пример 12. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Составим характеристическое уравнение: . Корни этого уравнения различные и действительные и , поэтому ‑ частные решения этого уравнения, тогда ‑ общее решение данного уравнения.

Пример 13. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .

Корни характеристического уравнения ‑ действительные и равные: , поэтому частные решения ‑ . Тогда общее решение уравнения: .

Для определения частного решения в равенства и подставим начальные условия.

Получим: .

Подставив эти значения в общее решение, найдем частное: .

Пример 14. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные: . В этом случае . Общее решение будет: .

<< | >>
Источник: Гринберг А.С., Кастрица О.А., Скуратович Е.А.. Высшая математика. Курс лекций. Часть II: Курс лекций. ‑ Мн.:Академия управления при Президенте Республики Беларусь,2003. – 213 с.. 2003

Еще по теме Дифференциальные уравнения второго порядка:

  1. § 56. Дифференциальные уравнения первого порядка.Основные понятия
  2. § 57, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
  3. Вопросы для самопроверки
  4. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
  5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
  6. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
  7. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
  8. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ И ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
  9. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  10. в) Сказанным определяется природа подлежащего действию уравнения и теперь необходимо показать, какой интерес преследует это действие.
  11. Контрольная работа №5
  12. Практическое занятие №5 "Решение обыкновенных дифференциальных уравнений"
  13. Виды дифференциальных уравнений
  14. з. Основные уравнения и задачи математической физики
  15. Содержание
  16. Линейные дифференциальные уравнения
  17. Дифференциальные уравнения второго порядка
  18. Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки
  19. 21. Разностные уравнения. Линейные разностные уравнения.
  20. Геометрическая теория уравнений 1-го порядка в случае двух независимых переменных