Дифференциальные уравнения второго порядка

Многие дифференциальные уравнения второго порядка можно записать в виде:

или .

Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение .

Его решение можно получить путем двукратного интегрирования.

Пример 10. Решить уравнение .

Так как , то интегрируя правую часть уравнения, имеем:

.

Интегрируя повторно, получим все решения данного уравнения:

,

где и ‑ произвольные постоянные. 7.8.2 Задача Коши

Множество решений дифференциального уравнения второго порядка определяется двумя произвольными постоянными. Чтобы выделить единственное решение уравнения, достаточно задать значение функции и ее производной при фиксированном значении аргумента.

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям: , где ‑ заданные числа, называется задачей Коши. Эти условия часто называют начальными условиями, так как с экономической точки зрения они означают, что в фиксированный момент времени задано начальное состояние экономического процесса и скорость его изменения.

Геометрический смысл задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный угловой коэффициент касательной в этой точке.

Пример 11. Решить задачу Коши .

Найдем все решения данного уравнения. Интегрируем: , .

Воспользовавшись начальными условиями, определим значение констант и из системы уравнений:

.

Следовательно, , и искомое решение:

. 7.8.3 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида , где ‑ некоторые действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема. Если и ‑ частные решения уравнения , то есть общее решение этого уравнения.

Для определения частных решений и следует предварительно решить характеристическое уравнение:

.

При решении данного квадратного уравнения возможны три случая:

Корни характеристического уравнения	Частные решения	Общее решение
1. Действительные разные и
2. Действительные равные
3. Комплексно-сопряженные

Пример 12. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Составим характеристическое уравнение: . Корни этого уравнения различные и действительные и , поэтому ‑ частные решения этого уравнения, тогда ‑ общее решение данного уравнения.

Пример 13. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .

Корни характеристического уравнения ‑ действительные и равные: , поэтому частные решения ‑ . Тогда общее решение уравнения: .

Для определения частного решения в равенства и подставим начальные условия.

Получим: .

Подставив эти значения в общее решение, найдем частное: .

Пример 14. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные: . В этом случае . Общее решение будет: .