Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка.
у a
b
A S
x
Как уже говорилось выше (см. Интегральные кривые.), линия S, которая задается функцией, являющейся каким– либо решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой уравнения 
Производная y’ является угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой.
В любой точке А(х, у) интегральной кривой этот угловой коэффициент касательной может быть найден еще до решения дифференциального уравнения.
Т.к. касательная указывает направление интегральной кривой еще до ее непосредственного построения, то при условии непрерывности функции f(x, y) и непрерывного перемещения точки А можно наглядно изобразить поле направлений кривых, которые получаются в результате интегрирования дифференциального уравнения, т.е. представляют собой его общее решение.
Определение. Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области называется полем направлений.
С учетом сказанного выше можно привести следующее геометрическое истолкование дифференциального уравнения:
1) Задать дифференциальное уравнение первого порядка – это значит задать поле направлений.
2) Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение – это значит найти всевозможные кривые, у которых направление касательных в каждой точке совпадает с полем направлений.
Определение. Линии равного наклона в поле направлений называются изоклинами.
Еще по теме Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка.:
- Дифференциальные уравнения первого порядка.
- § 56. Дифференциальные уравнения первого порядка.Основные понятия
- Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.
- 8.1. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков.
- Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
- Решение линейного дифференциального уравнения n-ного порядка с постоянными коэффициентами
- Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки
- Геометрическое истолкование дифференциального уравнения
- Дифференциальные уравнения второго порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков.
- Геометрическая теория уравнений 1-го порядка в случае двух независимых переменных
- Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- 4. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.