§ 56. Дифференциальные уравнения первого порядка.Основные понятия

Общий вид дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией можно записать в виде F(x,y,y\y", =0, Порядком

дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих б это уравнение,

Например, у' = х 4- у, у' = ?sin? + у - есть дифференциальные уравнения первого порядка, у" + у = х — второго порядка.

Решением, или интегралом, дифференциального уравнения назы-вается такая функция, которая будучи подставлена ,в уравнение, обращает его в тождество. Процесс нахождения решений называется интегрированием дифференциального уравнения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка. Общий вид такого уравнения будет F{x,y,y!) — 0 или у' — f(x,y}> Пусть у = = у{х) есть решение этого дифференциального уравнения. Графиком этой функции на плоскости Оху является некоторая кривая, которая называется интегральной кривой. Возьмём на этой кривой произвольную точку. Пусть её координатами будут числа х и у, причём у = = г/(;г), Как известно (гл. IV, § 19), значение производной у' в точке х есть угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке. Но у' = Я^Л следовательно, дифференциальное уравнение выражает зависимость между координатами х и у интегральной кривой и угловым коэффициентом касательной в этой точке к данной интегральной кривой.

Таким образом, дифференциальное уравнение \f ~ 1{х,у) определяет направление касательной в каждой точке интетральной кривой.

Ответ на вопрос о том, когда уравнение у1 = f(x, у) имеет решение, даёт следующая теорема, которая называется теоремой существования и сди нет ценности решения дифференциального уравнения -

Теорема 26. (Теорема Кош и.) Если в уравнении у* = /(х,у) функция f{xty) и ее частная производная непрерывны по у в некоторой

области плоскости Охуг то через любую точку (л^Уо) этой области проходи- одна и только одна интегральная кривая этого уравнения.

Задача отыскания решения дифференциального уравнения у! == = /у), удовлетворяющего начальным условиям х = —Уо,

называется задачей Кош и. Сформулированная теорема даёт достаточные условии однозначной разрешимости задачи Кош и, причём то, что через данную точку рассматриваемой области проходит единственная интегральная кривая, свидетельствует о том, что уравнение у' = f{x, у) имеет бесчисленное множество решений. Например, одно решение — кривая проходит через точку другое решение — кривая про

ходит через точку (®о,з/і) и таи далее. Решение, для которого интегральная крива а проходи через заданную точку, называется частным, а совокупность всех частных решений называется общим решением. -

Общим решением дифференциального уравнения yr — f(xyy) называется функция у ~ у(х, С), которая зависит от одной произвольной ластоя а ной и удовлетворяет следующим условиям:

она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении С;

каково бы ни было начальное условие — уо, можно найти такое значение С =Со, что функция у = удовлетворяет данному начальному условию.

Если при решении задачи Копш в некоторой точке не выполняются 'условия теоремы 26, то эта точка называется особой точкой.

щая дифференциальному уравнению у' = f{x^y) и не получающаяся из общего решения у = у(хуС) ни при каких значениях произвольной постоянной С% называется особым решением дифференциального уравнения. Таким образом, для того, чтобы найти особое решение дифференциального уравнения у' = f(xty)> надо найти кривую у і = — Уі(я)> удовлетворяющую дифференциальному уравнению у' — f(x, у)

1Б*

Дифс^^ещцсиЦтныа ура&нснчЯ

н в каждой точке которой f(xt у) или fy{z,y) тергшт разрыв, причём особое решение не содержится в общем решении.

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка.

I. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными. Дифференциальные уравнения вида

называются дифференциальными уравнениями с разделёнными пере- меиными, Проинтегрировав его, получим общий интеграл:

\Sx(x)dx + \f2(y)dy = C.

Пример 1. Найти общее решение дифференциалъаого уравнения у1 dy = (1 - 2х) dx.

Решение. Проинтегрировав это уравнение, получим

~ у3 х - х2 + Сі или

2. Дифференциальные уравнении с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вила

fi (я:) ¦ dx + ¦ dy - О

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные в этом уравнении, получим уравнение с разделёнными переменными

VI (х) МУ) И, проинтегрировав егаг получим общий интеграл

Если у?] (я:) и /а(у) обращаются в нуль при каких-либо значениях Я] и уь то х = xi и у ss также будут интегралами данного уравнения так как удовлетворяют исходному уравнению. Пример 2. Найти общее решение уравнения

ydy

- \А У2 dx — ydy = О,

Икте-

или (х + С)2 + у2 = 1.

грируя, находим х + С = —\fl — у1

Отметим, что у =; db X также является решением данного уравнения

Пример 3. Найти общее решение уравнения: у' + і/ ~ — О,

\ І — х

Решение. Разделив переменные, получим dx

dx

dy

+

Решение. Разделив переменные, находим

У"

= О, Отсюда, проинтегрировав, получим агсяїпх + arcsin у Сі, Учитывая, что arcsin.T ¦+¦ arcsin у = arcsin - у1 + Т~ » получим

35-^/1 - у2 + у\/1 — Xі =s С (здесь С = sauCj), у - ± 1 — также является решением исходного уравнения.

tk ~ rv -1 dy - Аг

dy

Пример 4.

- e~B)

= dx. Проинтегрировав, получим:

Следовательно, x H- С = In ]1 - e~v| илн 1 - = еї+с = Cie1, где 0\ = ec.

Окончательное решение можно записать в виде:

Cie* = l

или ег = = и у = 0.

Замечание„ Вели в уравнении с разделяющимися переменными Мя)/2ІУ) dx + фуНКЦИЯ fa (у) имеет действительный корень ЇУо, re. fs( Уо) = 0, то функция у{х) = з/о является решением рассматриваемого уравнения, в чём легко убедиться непосредственной подстановкой у{х) — Уо в исходное уравнение. При разделении переменных решение ~ уо может быть потеряно Аналогично, если функция имеет действительный корень Хо (^і(зсо) = т° может быгь утеряно решение z{y) = xq. Так, в примере 2 при делении на у/\ —у% бьгло утеряно решение у (о;) — ± 1, Следовательно, в полученном общем решении дифференциального уравнения с разделяющимися переменными методом разделения переменных следует проверить, содержится ли з нём частное решение у(х) = у о и х{у) = яо при некоторых значениях произвольной постоянной С, Если нет, то их следует включить (см, при-меры 2, 3, 4) s состав решений.

Пример 5. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям: у'ъіпзт = yln^,

У (І)

dv dx

Решение. Разделив переменные = проинтегрируем

Г dv г dx г fitlny) rdt

это уравнение: j ^ = J —, откуда j -fcj- = j где і = tg ^

[ Гл, VIII:

486'

Ди ф феи внциальн ы е уравнен

(см. § 45). Отсюда получим: lu|lny| = In С, Так как р J ~ е,

то lnlnc = lntg~ -h С. 0-0 + С, С = 0; у = е* І

3, Однородные дифференциальные уравнения, Од?юродным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида у' — f{x,y), если f(x,y) можно предстапчть в виде f(xty) =

= или f{xty) = ^ ( f) * уравнение решается при помощи

замены - — и. отсюда у ~ х

Пример 6, Найти общее решение уравнения у' = --— Решен и е.

1 + и 1 + fi2 п „ 1 - U .

или а?и' = . — -ц — ¦¦ . Разделив переменные, имеем: т (ill —

і

1-11 1-й ' I + и'

лі

или

= — . Проинтегрировав, находим aictgit - - ln(l 4- iia) = ln\x\ + C\, Возвращаясь н прежней переменной, получим

arctg - - In 4- у* 4- Сх.

¦Е

^ I/

Пример 7. Найти общее решение уравнения; у' = - + —-

^ У X

Решение. Заменив у хи, получим хи' 4-«м - 4-а или хиг —

dx 1

= -. Отсюда; udu = —- или - и2 = In\Сх\, Возвращаясь к прежней

переменной, получим; у3 J 3 ln(C2:tr) или у = ±дгд/1п(Сга:й) .

Пример S. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию: {у2, — Зя2) dy 4- + 2xydx i/(0) ™ 1.

Решение. Заменив у — их, получим

dy = и dx 4- X du н (х2и2 — Зт^) (u dx 4- х du) 4- 2х2и dx = 0

ИЛИ, после сокращения на Л?3, имеем:

- 3) dx + - 3) du + 2и dx = 0

или

ti(tr - 1) dx 4- - 3) da = 0,

Разделив переменные, находим _ дЛЙ НЬ|ЧИСления

ufu - 1) х

интеграла по и. заметим, чти и2 - 3 - 3«2 - 2и1 - 3 — 3(ЇГ — 1) - 2тЛ

Тогда

.2

J -1} J фг -1) V1' »-у

^ 31n |u] - In 1| = -ln|a] +¦ a,

з л

-я = Возвращаясь к старой переменной, получим

и' — 1 X

откуда

ИЛИ

X

х

if^CdV2-*2)-

Учитывая начальные услопиет, находим у(0) — 1 —0), Сі = 1.

Окончательно получаем у3 — у2 — Xі,

Дифференциальные уравнения эида

t __ * /аіх + Аiv + cL\ Va^ + tax + са /

приводятся к однородным уравнениям с помощью замен ы т — Н-хо, У^Уі+Уо-

ay __ _ gbfi

с/г <і(хі + XQ) d^i'

а3дг + friy + in __ ai^i +Ьіуі + Аізго + biflb + ci + b^y + сз йчХл т Ьауі + ai^o + bsSto + cj

Потребуем! чтобы JQ и ЇД] удовлетворяли системе уравнений

(IiXQ + 6ijfo + Сі ~ 0, а,2Хо + 62У0 + С2 = 0,

Еслн определитель этой системы равен нулю, то коэффициенты перед Xj и у\ пропорциональны ai^i + b^y^ — к(аг$і +- бзуі), тогда замена и = (iix -f- Ьіу сводит исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Если же определитель рассматриваемой системы отличен от куля, то имеем однородное уравнение

dyy = f (дни + dxi ~ \ачхі 4- Ьъуь J '

ц

которое решается заменой з/і(жі) = іїііі(хі).

Замена х » ц + i0l у ~ yi + VOi где И Уо удовлетворяют системе № +2 = 0, 2хо - 4( А Ф 0, х0 = 3, у0 - Следовательно, ис-

487

[ Гл. у щ

488

Дцфферен циальные у рае нения

t jft

, замена рі =

2*і + уі

ход мое уравнение принимает вид уг - —

или

Ні -Г 2

тогда хіщ =

1 + 1*1

** ІП \Щ + 1| -2Ы = ІП

— Ci или

= Ci, отсюда (У + 2)!

In

.т + у - 1

Xiui I + ги

т. e, In

(v + zf =c

x +y — 1

X — 1/

б) Решить уравнение у' = ^

2^ + 3'

Это уравнение подстановкой х = и у — yi-h уо решить

нельзя, так как определитель системы уравнении для определения xq, ijq равен нулю. В этом случае замена Z — у сводит это уравнение к урапнению с разделяющими переменными; Z' = 1 — у', у' = 1 — Z' =

- ?Г1 или Щ+ldZ^dx, 2Z — 5 In + 4| = х + С. 2Z t 3 Z-t-4 1

Окончателыто решение исходного уравнения есть

х - 2у-Ып\х-у + 4| ^ С.

4. Линейные дифференциальные уравнения. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида у' + — где и Q(x) — заданные непрерывные функции

от х. Решение этого уравнения будвм искать в виде произведения двух функций: у = гі(д;) * t>(:r). Так как у' — u'v + uv\ то уравнение принимает вид: u'v 4- uv' + Р(х)т> ~ или u'v -І- u(t/ -І- =

= Q{x). Выберем zj(ar) такой, чтобы t/ + P{x)v = 0П тогда для функции и(х) будем иметь u'v Q(x). Найдём функцию из уравнения vf -f

+ P(x)v = О или P(x)dx, Отсюда имеем 1п|и(:г)| = — | Р(х) dx.

Здесь можно положить С — 0, Подставим найденное значение

Щ

dx + C.

или 1І ~

уравнение для найдём du = ^^

Ffr) dx, In у = - |p(i) dX+ Ci

Другой метод {метод вариации постоянной). Решим сначала уравнение ^4P(x)jf = 0, Разделяя переменные, имеем: rfy ^ _

У

= c.

У

Р{х) dx+Ci

или

¦ г ¦

$ | Лиффере.нциальные уравнения_первога порядка

Теперь, считая <7 функцией от я, т, е, С = и подставляя в исходное уравнение, долучим уравнение для определения С(х}

С'{х) = Q(x)'efFWd*, С(х) = \ Q(x)g^ dxС0,

где Со произвольная постоянная. Подставляя полученное выражение для С (я) в у — у{х)> окончательно находим

у = С(х)с~! p(x>d* - W ^-ї* -г | dxQ{x)J .

Пример 9. Найти общее решение уравнения у' 4- 2у =4х. Решение. 1, Пусть у = t№, тогда u'v 4- ttt)' + 2иі) — 4г. Выберем

так, чтобьі и' + = 0 или — = ~2dx\ ln|tf| = —2x, т? — e^21.

Для функции и(лг) получаем ураврїение — = |4жегї cte = (2х — ї)е2± 4- С. Окончательно получаем;

y = uv = Г^рв- l)e2s 4 С] = 2x - 1 + Се"21.

2. Другой метод. Находим решение уравнения у1 4- 2у = О, — —

= -2dx, by — 4 Сі, у — Подставляем в исходное урав

нение

у1 + 2у-4х^ Сет2* - 4- - 4х = о,

Є7'(а0 - to21, С(аг) = 4 j яе2г dx - - I) + Oj.

Окончательно имеем і/ = С(а;)с^2а; = 2х — 1 + Сос~2х> Ро — произвольная постоянная. ^

Пример 10. Найти общее решение уравнения у' — - 2 .

2а; — у

Решение. Замечая, что = -V (см. §23, ч. I)t получим линейное

уравнение xfy 2х - у2. Замена х(у) - u(j/) * тогда u'v 4-w' = = 2uv - у2 Выберем ї;(з/) таа> чтобы v' — 2v. Отсюда v — е2ї, з для

du = - интегрируя

функции и{у) имеем: u'e2v — ~у2 или два раза по частям, получим:

J y2^ у2с~Ъ + f yf2*dy =

= -f V2c-2»dy = (У + у + І) t О;

X и ¦ V = 4 \ (у2 4- у + ¦

Гл. VNI

^Дифферещ иальн ые уравнения

Пример 11. Найти частное решение уравнения ?(1 ¦+-t1) dx = = при ^

Решение. Разделив левую н правую части этого уравнения на dt получим f(l 4* t2)x' — :г{1 hf2) -ta. Далее, преобразовав последнее

уравнение к виду х' = j - ТТТ^ сделаем заменУ х " uv п0"

1 " I ?

лучим u'v + uvr — т uv ЦЕ- Выберем і/ = ^ отсюда v = J, а для

J t і +1 1

1

функции u(f) получаем уравнение и' — = -arctgf-t-C.

Тогда х ss —t- arctg і + Ct, Находим постоянную, используя начальные

условия: — - = — arctgI + С, Отсюда О = 0. Искомое частное решение '4

есть х =® — t - arctg t.

5* Уравнение Бсрнулли,

у'+ Р(х)у = Я(х)уп> пф 1.

Уравнение Бернуллн сводится к линейному делением на у1' и введением новой переменной Z = уОднако решение можно искать в виде прои з веде f і ня двух функций, аналогично тому, как это делалось при решении линейных: ураанений.

Пример 12. Найти общее решение уравнения у* — у • Щх + 4* у2 ¦ cos г — 0.

Решение 1- Заменив у = uv, получим u'v + uv' ^uvtgx + + u-vPcoax — 0. Выберем функцию v такой, чтобы v' — utgjc = С

или — = tEz, - dv — tgartta, In M — — In I cos дН, v — ——. Тогда для

^ Я I 1 L ' rnc T

соє t

функции *и(я) получаем: и' + u^v cos л: 0 или du — —и2 dx„ -- = x Ч4 G,

1 ^ у — uv = — (x + C)~l или (x 4- C) ¦ у — secx (а также у = 0 есть

сой a:

решение исходного уравнения).

2. Другой метод. Находим решение уравнения \f — yigx =Qf —^ —

Q ^

= tg.T rfr, 111Ы ^ — In і cos4- Cit у = .

COS X

Подставляем в исходное уравнение, считая С = 0(х).

-с¦

cos,t = о

+

со®1 а;

CDS X

COSX

y'-yt?x + y2 соsx^J^ + C*™-"**

COfv ж

или С = ~С2 тогда ^ - —tir, ~ =.-{* + Cfa). С - у -

= \* + cl)cas* ИЛИ C* + Со)ї/ = sec*'

Пример ЇЗ. Найти общее решение уравнения xdx ~ ^ ——

490

Решение. Перепишем это уравнение в виде: яге' — у3. Заме-

% й ^

нив х — и(у) ¦ v(у), имеем: uv{u'v 4 да') — -—— у\ Выберем u2vu' =

2 2 ^ и - и dv dy it l

— —-—, отсюда — = -g-f ь » р. Для функции и получим уравнение:

¦шР"и! — -у2 яли udu — — ydy, и- = -у2 4- С. Общее решение есть х ™ = тії) — — у'2 или х2 — у2(О - у2),

Зидание. Проверить правильность нахождения общего решения следующих дифференциальных уравнений.

1- /

Xі ч 2ху - їх'- - firy

I 4 2п - Си' 2 - Ъи

Решение. Замена у — х ¦ ufa;), тогда у' — зт? 4- и =

Отсюда хи' =5 я f - или — = - ¦ S du н ЬаЫ Н- С = 2 arctg и —

2 - (mi * 1 + иг 11

~ 31п(11и2) ИЛИ

2 arctg | = In \х\ + Зїп + ^ + С,

2. dx-b (2х + si л - 2 cosa y)dy = О,

dx

Решение. Перепишем исходное уравнение, разделив его на dy. ^ + 2-ї 4 sin 2;/ — 2сжа у — 0. Замена ^(у) = п(^) ¦ и(у)5 тогда u'v 4-

+ lit;' + 4- sin2y - 2cos2у = 0. Отсюда u'v + sin— 2cos2 у = 0> t?f 4 2v - 0 или v ~ c~2y, а и = j еЛу(1 4 сов2y — sinSy) dy — c2vcos2 у 4-

I- С (см. § 41, пример 24). Следовательно, х — и ¦ v = cos2 і/4- Сє~ К

3.1/ + ts Зг —.

cosy

Решение, Замена ^ siuyh тогда Z' 4 2 — х = 0. Пусть Z —

u(x)v(aг), отсюда

а) v' 4 v — 0, v ™

б) u'v - х — 0. du = хе® Ас, и — С + — 1), a sin у = uv = я: -

I + Се-1. Т. е. Silly ВЇ-1 + Се~*,

4. ху' + у — 2х2уу'\пу.

Решение. Так как у'х = ~т, то исходное уравнение переходит ы

Ху

ух' 4 я » 2х2у1т\у. Пусть х — тогда

а) yv' ->- v = 0. v = 1/у;

б) nf = 2u2-\ny% S = -Inr^u, -- ^Ъ2у + С.

у и у и

Окончательно имеем ху{С — Ь2 у) = 1. 2у( \ + х2)

Решение. Замена Z = у\ тогда Z* * х (ІН- * ). Пусть Z ~

V 1 + 33 j

— и ¦ и,

а) у' -- V = vTT^;

L

б) uWl+2* ^ x}u = G +

Окончательно получим — и ¦ v ~ 1 -Ь а;2 + О VI + х2 .

Задача 1 Найти уравнение кривой, гроходпщей через точку М(—1; 1), если угловой коэффициент касательной в каждой ее точке М{х; у) равен:

а) квадрату суммы абсциссы и ординаты точки касания;

б) квадрату ординаты точки касания; с) квадрату абсциссы точки касания.

Решение. Пусть у = /(г) уравнение искомой кривой, тогда; a) ft — у' = (я + у)2. Замена U ^ X + у* « у.' — 1 = U2 и'-^ 1 +

du

+ и2

1

^ dx, arctg u ^ а; + aictg(x + у) — % + С, Используя

начальные условия у{ — 1) — I, находим С — L Следовательно, ИСКОМОЙ уравнение кривой есть arctg(a; -f у) = я? — 1 или у — tg(i +1) — х.

б) у1 = у2, ^г = 1, — - = х -і-С. Учитывая начальные условия,

У У

получим С — 0, а искомое уравнение кривой есть ху — — 1.

в) у' = х2, у = \ + С при 1) = ?7=5, тогда искомое

1

уравнение кривой у = - (дг 4- 4) или Зу = ?3 4- 4.

Задача 2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(1: 1), если площадь трапеции, образованной касательной, осями координат и

а) абсциссой точки касания;

б) ординатой точки касания, постоянна н равна а2.

Решение. Пусть M0(xol/o) точка, в которой проведена касательная к кривой у = f(x)j тогда:

а) Площадь трапеции S — і Л(й 4- fr) = ^уоО^о + ~ а2, где Х\ — точка пересечения касательной с осью Ох. Гак как уравнение касательной есть у —уа = — яго) и оно пересекает ось Ох п точке (si; 0), то —уо = j/oC^i J ^OJJ отсюда Xi = Хо — 1Т, Подставляя в выражение

для площади, получим дифференциальное уравнение

У о

4-2^1 + 24 = 0-

Уа

§г$бЬ і \

493

Допросы для самопроверки

Здесь учтено, что yrx — Полагая їц-U D, находим v — ;Vq, и = произвольная точка, то х = ^ + Су*-, с учётом начального уело-

о а:2 / о /і \

вия а:(1) = 1, получим С - 1 - - а2 и х = - — + [ 1 - - а2) у2. Следо-

J & V і» / вательно, искомое уравнение кривой есть 3ху - 2а — (3 — 2ог)у ¦

6) В этом случае S = - = где yi — ордината точки

пересечсшш касательной с осью Оу. Из уравнения касатолыюй имеем У і — Уо -хпу'о* а из формулы площади получим

• ала + 2І - о.

*

Интегрируя это уравнение и учитывая начальные условия, получим искомое уравнение + ~ z2) -

Задача 3. Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(L; 1}, если площадь треугольника, образуемого касательной, радиус-вектором точки касания и осью

а) абсцисс;

б) ординат, постоя нна и равна а2.

Решение. Если точка Уо) есть точка, в которой проведена

касательная к кривой у = f(x)t то

а) Площадь треугольника определяется формулой

З = -хгуо « - ^а2,

х а2

Xi — определена в задаче 2, Тогда ~ -f 2= 0, отсюда находим

Уо

Уо

Xq — Суо Н илк?™(1— — искомое уравнение кривой.

уо У

б) В этом случае площадь треугольника равна

s = ^яаУі = I Хо (jo - хоуЬ) — а2<

і і Отсюда имеем у'а - — +2— =0 и у0 = Ox0 -fe- — или у « (1 — а?)х +

Xq XQ

а2

4 —- искомое уравнение крнвои.