<<
>>

§ 55. Комплексные числа

Комплексним числом Z называется выражение Z — х + iy, где х ну — действительные числа, а і =ь — символ, который называется мнимой единицей, причём t2 — — 1. Числа і в j называются соот- ветстпенно действительной и мнимой частями комплексного числа Z.
Действительная часть комплексного числа обозначается символом FteZ (Rc Z —х читается: действительная часть зет равна икс), а мнимая часть обозначается символом ImZ (Irti Z = y читается: мнимая часть зет равна игрек). Следовательно, комплексное числе Z можно записать Z = х 4iy ~ Re 2 + і Ігґі

Запись комплексного числа Z = х 4- iy называется алгебраической формой записи.

Комплексное число х -iy называется сопряжённым с комплексным числом Z — х 4- iy и обозначается 2* — a'—iy (или Z), причём легко получить равенство

z = Rc_Z = 1(2 + 2"), y = I mZ= Z-Z A Zt

Комплексное число равно нулю, если а: = 0, у = 0. Два комплексных числа хг + іУі и т2 + іу2 называются равными* если х\ = х% и уі — у?, понятие +больше* или «меньше* для комплексных чисел не существует,

Операции над комплексными числами.

Суммой (разностью) Z\±Z2 комплексных чисел Zi = х\ 4 Іуі и Z2 = 4 ЇУч называется КОА*ЛЛЄКСНОЄ ЧИСЛО Z, определяемое (сак

і

Z = Z) ±Z2='Xi±X2 + і(уі ± Уъ}- ІГ Произведением 21 іназывается комплексное число 2\ рапное

Z-Zy Zz = Z2 Zl = (xi 4 iyjixi 4 iy2) =

— XiX2 - У1У2 + і(Хіуь 4

Если

]. Zi ~ Zi - Z\ TO Z2 = (x 4 iy)2 = Xі 2ixy.

Zi = »4 iy, Z= z*xz;, {Zt + - z? + z$, (ztiy - -

Пример 1, Выполнить действия:

а) (1 4 ?;)(! - 40 - б 4

б) (3-2г)й4(1-0(1"3г);

в) (з~о(з+о+и+оо-о.

Решение.

а) (1+ г)(1 - 4i) - 6 4 4i ^ 1 4 ї - И 4 4 - G 4 4i = -1 4 Ї;

б) (3 - 2І)2 4(3- і)(1 - Зі) - Э - ДЗ* - 441 - і - Зі - 3 = 3 - ДО;

в) (3-ї)(3 4і)4 (14 00 -0-941 4 І4І - 12.

111.

Частным от деления двух комплексных чисел ^ называется комплексное число Z, равное

_ ді 4 гуі _ 4 іу\ Х2 — ЦП . 4 іуі із 4 iyj — t^fe

ті- - —

—а

+ Й

,¦ (I)*

Пример 2. Следующие комплексные числа представить в алгебраической форме:

, у І-ЗІ, - ? _ (2 + і)(1+і) j) -t)(l 4 2Q.

а) Z —

Ы

(1 4 4і)2

Z = 2 — г

-7 (2 +i)(l + О + ^ 2+І + 2І-1

б) г = і l + i 3-і Т

+

І-І + 2Н-2 ^ 1_+® + З + г _ (1 + Э?)(Э+0 ( (3+»)(!-j) Ш4

1 4 і

З — І i+i (3-0(3 + 0 (І+І)(І-І)

4-2г

— і + 2 — t ^ 2, Z = 2

5i

(l+4t)3

в) Z =

5t _ 5i(-l5 - __ 40 - 75г _

-15 + tti ~ (-15 + 80(^15-Si) _ 289 ~

40

75 .

289 2891

Пример 3. Вычислить AB и ВД для матриц

=СҐ ) ¦ «-(v з)

Решен и е.

1+г 2+ Зі

ля =

З + г

-(

G + 5і і б 1

(1 + г)(3 — г) + 2 + Зг Зі(1 + г)-г(2 + Зг)

З-i + 3 + i

Зі - г(3 + і)

)-

-0(1 + 0 + Зі (3 — 0(2 + Зі) + 3г(3 + і)

+ і-і

2 + Зі ~ г(3 + і)

/ 4 +5г б + IS і \

-{ 1 з )¦

Пример 4.

Найти действительные решения следующих уравнений:

а) (3 + 4ф?+{1 = 5 +Зі;

б) <х- у)(2- і) + (х + у)(1 + г) - 4+21

Решить системы линейных ура&ненин способом Крамера и с помощью обратной матрицы:

а) Шх - 3ZS = 4, (1 + i)Zx + (1 - i)Z2 - 2 + і,

б) (-5 + 2і)яі - Zix2 - 7-і, II - = 4 + 6г.

Решение.

Учитывая, ЧТО если Z\ = то Зі — у і = У2, получим:

{

Зх -ь у 5, , л

а)

б)

4х % ^с^Да а- - 1. у - 2;

5

отсюда х = -, у = 1,

LP

Зх - у = ч ї-lt

а) 2?Лі - З?3 = 4, (1 + a)Zi + (1 - i)Zi =2 fi. Так как Л = 5 + 5Ї, Ді = 10- і, Да = -Gt го

Г — 1

10

У - Ш _ J^ " 10

7 3 л. 3

4-І = -д- = _^ + - й а 5

Вычисляем обратную матрицу, она имеет вид:

1-і

—1 — г

Я 2І

- 4

(5)-W»ii)

тогда исходную систему можно записать я следующем виде

А'

отсюда

7 0 11

10 1 * 5 5

б) (™5 + 2і)ц - Згхг «7-і» zi - ль = 4 + Л = 5 + і, Лт = = -25 + 13г, Л^ = -39 - 21 і,

56 , 45.

Xl ™ _ЇЗ ІЗ

ice 33

із =

ІЗ 13

, .-А

Обратная матрица имеет вид

Зі 5 + 2*

л-і-JLf"1 " л V -1

ІДО 33

1.

¦і, S3 ~

13

13

_ 56 45 ~ "ІЗ + 13

Пример б.

Решить уравнения а) г2 + 9 = 0; 6} я2 + 4х - 20 - 0. Решение.

а) х2 -f 9 = 0, Xі = -9, хі 2 = іуЗ^ ±ЗЇ;

б) X2 + Ах + 20 - 0, Хіа - -2±ч/4^20 =

Каждое комплексное число Z = x+iy можно изображать на плоскости Оху в виде точки M(xt у) или её радиус — вектором г = — (Ш и обратно, всякая точка у) плоскости Оху может быть

рассмотрена как геометрический образ комплексного числа Z = х + \у.

Таким образом, комплексные числа могут изображаться как точками, так и векторами. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ось Ох — действительная ось. ось Оу — мнимая, Модуль числа Z ранен расстоянию точки М(х^у), изображающей это число, от начала координат. Зиедя "олярную систему координат, получим х — гсоз^з, у = гsmip, тогда Z — г cos (р + іт sin <р — r(cos tp + г він Выражение Z = r(cus Н + isin^) называется тригонометрической формой записи комплексного числа Z. ВеличиЕіьі г и tp выражаются через х и у (см. рис. 134):

т = \2 = = л/х^+у*, ҐЇО,

ір - Arg Z - Arg tg - — arctg - Ч-^тгЛ , x = rcost/ї, у — гніпу?

її

Н называются соответственно модулем и аргументом комплексного числа Z — х 4- іу. Аргумент ір комплексного числа Z определяется неоднозначно. а с точностью до слагаемого 2тгfc, где k — любое целое число.

Значение AigZ, удовлетворяющее условию 0 ^ ArgZ < 2т называется главным значением аргумента и обозначается символом sagZ. В некоторых случаям главным значением аргумента называют значение ArgZ„ удовлетворяющее условию —1Г < ArgZ ^ яг. Если г — 0, то комплексное число равно нулю и его аргумент нёопределён. Действительное число имеет аргумент 2тгк (главное значение аргумента равно нулю), если оно положительное, н (2к 4 1)тг (мавное значение аргумента равно 7г), если оно отрицательное. Если действительная часть комплексного числа равна пулю (Z = iy — называется чисто мни-мым комплексным числом), то аргумент его равен тг/2 + 2кк (главное значение аргумента равно тг/2), если у > 0 и Зтг/2 + 2ітк или -іг/2 + 4 2тгк (главное значение аргумента равно Зіт/2 или —тг/2), если у < 0.

Аргумент комплексного числа, угол считается положительным, если он отсчитьшается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки, и отрицательным при противоположном направлении отсчёта.

Пример 6. Найти расстояние на комплексной плоскости между точками (ті; уі) и Ms (да! Уз), изображающими комплексные числа Zi и

Решен ие,

- 2а| - ч/C^L — =

— -Х2 + і{уі- у2)\ [si - х7 - i(yt - -

- i/(Xi-X2}2 "Г (ї/1 - У2)2-

Следовательно, искомое расстояние есть

- z2\ - VJ^^FTJ^y^.

Если дэа комплексных числа записать в тригонометрической форме Z\ -¦ 4 і sin ipi) и Z2 — г>(соз ip2 Ч- і ain^g), то

Z] ¦ Z2 = гіГзСсоя^і 4 4 Tsin^a) = .

= ГіТ^СОвУї - sm Pi Bin Pa 4* i(cos= ГіГ2(сов(у>і 4 +t +

Z\ _ Г] COSy?i 4 COS 102 -- isiil ipi _

Zi COS^a cos ipi — І sin ip'i

- —~(cos(^] - так как

(eoeya 4 isin^a)(oos^a — tsin^s) = соз2 tp% 4 sin2 ^2 = 1.

Таким образом, прн умножении двух комплексных чисел их модули перемножаЕотсн, а аргументы складываются. При делении двух комплексных чисел модуль числители делится на модуль знаменателя, а аргумент знаменателя вычитается из аргумента числителя.

Пример 7. Записать в тригонометрической форме следующие комплексные числа:

a) = ±6; 6) Zli2 = ±3i; в) Zi,2 = г) Zlt? = .

Решение, Для того, чтобы комплексное число Z = х 4 iy записать в^григо но метри ческой формег нужно найти его модуль \Z\ — г = — sjх2 4 у2 и значение аргумента который спяздц с координатами х и у следующими формулами tgp = -, cos ip — —, fijn іір — причём нн одна из этих формул в отдельности не позволяет найти tp ІЕО заданным хну.

а) Любое действительное число а можно записать в тригонометрической форме,

а > G, а ™ |а [cos(G 4 2тгА:) 4ізіп(0 4 2іг/>)] и. если ограничиться главным значением аргумента (k = 0), то a = a(cos0 4 isiriO),

a < 0, о = |а|[соа(тг -r 2тг*) 4ії>ітфг 4 2тг^)] и, если ограничиться главным значением аргумента (к — 0), то а = |a|(cos7r4 і smfr)).

Тогда:

G ^ G|cos(0 4^*) 4 і зів (0 4 2ЇГ*)] и при A' = 0Г 6 = 6(cos 0 4 І sm 0); -С = G[cus(?r4 27rfc) 4 t аіп(тг 4 2тг&)] и при к - 0, -6 — Є(совтг 4 4гзт1г).

б) Z = Зг.

Так как в зтом случае действительная часть равна нулю, то комплексное число находится на оси Оу нг= [3], а аргумент его

равен ^ 4 2тгк, если у > 0 н Щ +2ттк (или —TJ 4 %тгк) при у < 0. Тогда:

? ?t Jj

Зі = 3 [сов + -Hsin + прик=0, Зі = 3 (cos ^ 4-і sin

или

—Зі — З

при k — 0, -Зі = 3 (coa у + tsin

при fc = Op -Зі = 3 (cos (-5) -J-isin (-5))-

B) 1. Zi = 1 4- . Так как ж - 1 > 0, у = /З > 0, г = 2, то Zi лежит в первой координатной четверти, a tg-p = \/3 соответствует tp = « — 4- 2тг&.

г 1 %/з

Другой способ- Так как cosy = -¦ = siny> — - = —то р

находится в первой координатной четверти и равен ^ + 2тгк. Следова-

о

телъно,

Zv =1 + 1^/3 =2 + -Hsin^ 4-2**)],

при к — О, Z\ — 1 + гу/3 - 2 ^соз-Неш^.

2. Zi — I - гч/3 . Zi лежит в четвёртой четверти (Ї > 0, у < 0) н tgy? = -ч/З, тогда ф шш ~ + 2тг& (или или так как cos^ =

1 V3

= simp — Ч* находится Ft четвёртой координатной четверти

cos (у + + ism 4 ЗтгА:) І,

при к — 0, Zi — 1 — iyfb = 2 (соз у +ІЗІП или

при fc^O, Z2 - 1-іУз +

г) І ^ -З -Ь iV3.

Zi = -З = 2\/3 cos (у -ffcrJfc)],

при = -3 4-гу^

2. - -3 - iv/3.

и равен tp = ^ -f (или —? + 2irfc). Тогда 3 о

Zi = 1 - іуД = 2

IBS

z2 =-3 ^ iV3 = 2 л [cos + Зтгkj +isin (^y + 2*а)],

при Jt = 0, ^a = -3 - іл/ь ^ 2<Д (сов 4-ism или

= -3 - is/3 = [cos + 2irfc) 4 і tin (-у +

при fe =Q, Za--3-*V5 = 2\/3 [oos^'^J -isin^-yj].

Для того, что?ы э г писать комплексное число Z = і 4 гу з показательной форме Z = тсЧ используем формулы Эйлера (см. § 62)

е1^ — coav> 4 і віп іp, _ ^ ^ _ j ^

cus^ = І 4 c-^l gin

выражающие показательную функцию через тригонометрическую и об-ратно. Тогда получим

z = х -\-iy = г (cos ур + і sin уэ) = ге11р.

Используя формулы Эйлера, можно выразить любую целую положительную степень соз;г: и sin а:, а также их произведения в виде суммы членов, содержащих лишь первые степени синусы и косинусы кратных ду]-:

cos4 Ї = / —3—) = | (е3** 4 <Г*ІХ + Зе"'1 4 Зв") =

— (сов За: -I- Зсоза:),

.

3 і

Bt ^

+ є"

sin х cos аг —

- m F

_ 0-І*j = ^(аіпЗя + зіпл)

Пример Предстойнть в показательной форме следующие комплексные числа:

й) Zi 2 = -2±2ї\/3; 6} 2 = -4±5І; и) ZJj3 = 3±2i; г) Zlt2 = —3±4i.

= — 7 (ЗШ 3;Г — З ЗІЦ ї) , 4

Решение Ограничимся главными значенням ^аргументов

а) Zi = -2 4 2І>/3 = 4 (cos у 4 і sin у) = ;

-» -2 - 2i\/3 = 4 ^cos у 4 iain yj = 4й1 з =

і

б) Zi = -4 4 St - v^Ifcosp = tp = tt - arctg Za - -4- Si - s/4X (сой^ 4 isiu v7) = лДТсЧ = тг 4 axctg - или =

5

= -7Г 4 arctg —.

* , 2

в) Zi — 3 4 2i — \/ЇЗ(со5<р 4 ism у?) - \/іЗ e^ 2

s= 3 - 2i - s/ІЗ (cos ^ -і- і sin p) = \ЛЗ 9 - - arctg -

4

r) Zi — -3 4 4г — 5{cosp 4 isin^) — Se'*,

Замечание. Для определения углов tp можно воспользоваться таблицей из §7 (см. также Приложение).

IV. Возведение в степень, При возведении в степень можно пользоваться формулами Эйлера

Zn = {х 4 iy)" - [r(cos tp 4 ism^)]" = = rVn* = rn(cosnip 4

4 isinrup).

Формула . ,

[r(cos^> + tsm^)J = г {cosrup 4 і sinn^)

называется формулой Муавра. Она показывает, что при возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Подчеркну что формула Муавра применима при любом значении п: целом, дробном, положительном, отрицательном. Пример 9. Выполнить указанные действия:

a) (cos 12°±isin 12°)5; б) (-1 4 i\/Z )3; в) (1 - ї)е(1 4 і)*\

\ д, е) d-^)3

(і - «т

(л/3 - «)'

Решение.

т ,- 5

а) (соя 12°dtsin 12°)6 - =«±ї ^ СовбО°±г8ШбОс =

1 ±г\/з

6) (-1 + WЗ)3 = {2 [cos -Н2тгА) + і sin + 2**}] =

= 8 HiSirfcj = _ 8[oos(2?r + 67rA) +ism(2ir -f бтгА:)] = 8,

Другой способ. Используя формулу [а + Ь}3 — а3 4- 3а?Ь 4- 3аЬ2 + Ьа few. Приложение), получим (—1 -И*/?)3 = -1 + Зз\/5 + 3 - 3 — Зг^/З —

- -1 н-9 = 8.

в) (i-i)0(l + *)4=*{V2 [cos + х

х |V2 ¦'соя + 2тгАг^ +imn (j 4- -

_ + , gftr+etirtf _ _ „32і

- 2е [cos + 2frfc) + і sin (fe + - ЛЮ-і-иа-fc = 2е = 64.

jO

(i+o10 _ gvt^^ __ 9i _ 2i

(i - 01

3

і ^ ?r+2i irfc

2_ j-1 sF ' -I

Л Є

T

3c* ^7Г+Щ7Г*'

(і-іУз)3 _ - i)fJ

V. Извлечение корня нэ комплексного числа Комплексное число Zi = \fZ называется корнем п-й степени из комплексного числа Z} если » Z, Из определения следует, ЧТО ҐІ = , =S — tp.

Так как аргумент комплексного числа определён неоднозначно, з с точностью до 2ігЛе, поэтому ^зі — — (ір 4-2тг/;). Следовательно,

п

П f—f Т -П.Г- / + 2я7с . . . (р + 2

y>(cosi? 4 гэту?) - у/т (cos —— h і sin. ——— j

іp + 2nk^

Таким образом, для извлечения п-Й степени нэ комплексного числа надо извлечь корень n-й степени из модуля данного комплексного числа, а аргумент данного комплексного числа разделить на п. Для получений ясех значений корня надо иметь в виду многозначность аргумента, т. е, корень n-й степени из комплексного числа имеет п

различных значений.

Пример 10. Найти значения: VI; л/l ; ^14- і, и решить

уравнения а:5 + 32 = 0 и хп — 1 — 0.

Решение, Так как

Т0 \) у/і — = COS + ТГ*) + l sb (I + 7rfc) .

Полагая находим два значения корня

7г , . . it 1 + і

k = 0t Т! - cos +tsmj =

/ їг . \ , , . / тг . N зг .,-їг 1-fi

При дальнейших значениях к корни будут повторяться.

у/Г^Д =

к = о,ті — %/5 (cos^-iain^) = -0;

= = (cos^ Hsin ---^{n/3- г)

Учитывая, что 1-М = \/2 c1^+2l7rfc, получим

A: = 0, xv = \/2 (cos ^ + isin ,

j . б/Л / Зтг . . Зтг\ —1 + і

3:2 = \72 ^cos — + г sin —j = ,

Л — 2, лгз — (cos yf ^-H sin .

При дальнейших значеннях к корни будут повторяться.

хь + 32 = О, хь = -32, х ~ fy-32, так как -1 - то

я = 5^32 - й'ззеьнз*** =

=2Lcosu+T-)+tsm(5 + — JJ

к = 0, xi = 2 (cos ~ н~ f sin J ^;

к= 1.^ = 2 (cos^+isin^); Аг = 2R x$ = 2 (COSTT + і sin ТГ) = -2; A- = З, X4 = 2 (cos ~ + і sin J ;

k = 4. =

Комплексные числа

5) zrt - 1 = 0, Xя = 1, х = VI ^ ї/oos (0 4 2тг?) +- ism (0 + =

„ТгАг . - - _7Tfc ¦ , л -і n і

= c* я я cos 2 b tsm 2—h k — 0-1,2,... t n — 1,

71 11

а) Если n = 3, то решение уравнения ap^ — 1 — 0 есть

2 2 + ] = cos - irk +1 sin - itk\

к = Ot ал = 1;

j і I , V3

fe = it » +

С) Если n = 4, то решение уравнения зг'( — 1 = 0 есть a;jt+L = соз — Л: + і sin ~ А;

Й Jb

(1 + і)

А* = 0» Яі = L; к - I, гса = і; А я 2, = —1; к = 3, = —і.

Пример 11„ Вычислить Л =

Решение, Ограничиваясь главными значениями аргументов и учитывая/что 1 = ^Де^, а также (1 + г)*14 = 2*VU* = 222єі7Т = = -2™ (1 + і)'12 = і22\ (1 - і)40 = ї™ получим Л = 4/3.

Пример 12. Выяснить геометрический смысл указанных соотношении:

|Z]<1; 2)1<\г~ 1\<2. 3) \Z- 21 + |2 + 2| = 5. Решение, t

]) Так как \Z\ ^ Jzff = ^^Іуї^^іу) - т/я2 + у2 , то 1

или ^Д2 + у2 < 1, те. л;2 + у2 ^ 1, Следовательно, неравенство \Z\ ^

1 — есть Круг С центром в начале координат радиуса R = 1, включая точки окружности.

1 < \Z - 1| < 2 — соответствует 1 < ^/{z - I}2 + у2 < 2 яли 1 <

<4.

Неравенство 1 < — Х| < 2 — есть кольцо между двумя окружностями радиусов Ях = 1 и J?i = 2 с общим иентром в точке (1; 0). невключан точки окружностей.

Учитывая, что

\Z-Ya\ — fjcH-o+ty! = + а + іу)(х +а - 55 = \ДхТ~а^Туї, для исходного вьфажения получим

Уеднннп один из радикалов н возведя в квадрат, ^находим

10л/(д; -ь 2)2 4 у2 — 25 4 8а1, возведя снова в квадрат, имеем -5 + yj -

а Ь

=а 1 ¦— эллипс с полуосями а = 2,5, b = 1,5,

Пример 13, Решить уоавнения:

2) \Z\ -Z^ 1 4 Зі,

Решение.

Исходное уравнение имеет вид х2 - у1 4 2хуі = 3 — -ЇЇ' ИЛИ х2 -

у2 — 3, ху — -2. Решение этой системи есть я =s ±2, у = ^1, тогда искомое решение можно записать а виде Від = ±2 =F і

Аналогично: + v/2 - х - iy = 1 + Зі или + у2 = 1 4 я; у = —3. Отсюда имеем х = 4, у = -3, тогда искомое решение Z 4 -

3*.

Пример 14. Найти интеграл Jcai5 cosbxdx, используя формулы

Эйлера,

Решение.

a + ib 2 ц —• it

J cos bx dx = ± J 4 ех<й~іЬ)} dx~±

-«і] _

2(aJ 4

- —у—у-[(g - + {a 4 = ¦ у- -, (acos kr + b sin fcr)

(см. § 41, пример 24).

Пример 15. Найти з/W(а?), если 3/(1) = е^сокя.

Решение. Так как cosx = і (e,f f Г"), то = ^ (e*(J49 4 4 Тогда у <">(*) = ^(14- г)*ей<1+0 4 |(2 - Учиты-

Г ЇГ

еая. что 1 dt * = получим

- і 25 ^-Ci+Wffi + = cos (а: 4 .

Пример 16, Найти если у(х) ~ у1

_ ї4Й'

Решение.

¦ , Ч _ 1 _ 1 _ J_ { І 1 \

х2 4 &2 (а?4іа)(аг — іа і4іа/'

тогда

/

^ 1 { МГг^І

2іа

(я і- id) — 468

х |(ж 4m)n+1 — (яг — ia)n+1].

Учитывая, что х + га — т/х'2 4 а5 у> arctg находим

?

- {-1)п~ (х2 4 sin(n 4l)ip.

Итак, искомая производная равна

Пример 17. Найти если у (а;) = еЛТ соь(Ьл + с),

Решен ие.

= [еЯІ CQR(bx 4 e)lW = і + \ ^

Н md

= і + гЬ)11 + І [д _ ^

ы Z

Введём дополнительный угол или то же самое запишем комплексные числа в тригонометрической форме

a b

COS ip = j , am w = , . . - 5

V^+b7 V»2 + b2

a±ib — \f a? 4- b2 (cos ^ ± г simp) — \f a1 4 bs

тогда

j^O(i) = є**(а2 І- Ь3)Т І [e^-HH-»?») -j- =

— {a2 + b2)%eax соя(bx + с 4- і up),

Аналогично можно подучить, если j/(;r:) ¦= є?*3lb(fcs 4- с), то ™

— (аа 4 4- с, -\-nip), ф = arctg-,

fl

Пример І8. Доказать равенстяо

1-і tg tp \Л _ і — і tg tup 1 4 і tg tp J 1 4 і tg пуз1

где n — целое, у ф ^ 4 Jbr, лр ф ^ + Лтг,

РЄШЄНИЄн

(

1 — itgy? Vі _ / coa^? — lyin у У* _ ( — —

T+Ttg^j ~ in^J J " e~

coamp^isinri^ _ 1 - t^tg ng zoftntp 4 іеіігті^ l+itgnip1

причем

d = - сой 2)Vfi - і sin 2nv = LliMZZ,

l + ltgTt^

Пример 19- Выполнить указанные действия;

а) (1 + cosa + *sma)"; б) (1 - cosa + :siiift}1 ^

Решение. Так как 1 + cos а = 2 cos3 -, 1 - cos л - 2am2 ЗШЙ =

= 2sin Ц cos то:

а) (1 +cosa + isina)tl = 2ті cosn | ^соз| -Иsin =

on ^п a „ a { па . . тіл\

— 2п COS 2 2 t'сон ~2~ г5Л1 '

б) (1 - СОЙО +»вілаГ = 2-і" sin* § («я | -isin =

а І SI г Д]

it " л'"^ л—И

= 2Л sin - е" * - е

а

5Г = 2nshiu - е^ =

2

~ 2ті sin" ^ ^соз ^ (тг — ос) + івіп ~ (* — а)] ¦

Пример 20. Найти суммы Sj = cos х 4- cos 2т + + cosпя и = sinx + sm2x + ... + еізиїж.

Решение, Рассмотрим сумму

5 = Si Н-= cos х ч- і sin д: + сов2я + + ... +

+- cos tix + і sin nx = e" + еїіг -I- -. ¦ + emi =

J*1

ЇІХ -1

— сумма геометрической прогрессии (а — 1, q = е"). Учитывая, что

получим

лт

е1 "2

е^ sin

x

sm-

2i sin -

ru:

= (cos І(n + г) +isin I+'

2

470

оте юда

их

sin

JSI = Re S cos x — cos 2x -Ь .., cos nx — cos ^ (ft -Ы

Bin 2

TLX

sir

S2 ї= Iin S = sir x sin 2:n ¦+ .-, + зіn nx = — —sin - (rc + I).

Пример 21. Найти асе значения следующих степеней;

б) і*; в) 3і; г)(3-4і)] + (. Решение.

а) « (cos2*? + ism2ir*)^ = =

— cos 2nk V3 + і sin 2rr fcV3 ;

б) i< = [cos (I + + і sin + 2їг*)]1 = e-5'. е-їU+^J;

a) 3* - [3(cos -f- г sin 2tt&)J* = [«""V'^f =

= c"7rh (COB In 3 + г sin In 3); r) (3 - 4- [5(cos^ + iaunp)] ** = =

i)

= 5ear,ltJT і Гсой (in 5 -- arctg + ? sin (in5 - arctg j -

їіример 22. Шйтн наименьшее значение, принимаемое функцией и= Z + , где 2 — комплексная переменная:

a) |Z| <2; б) |Z| ?3. Решение. _

а) Так как \Z\ = v^T7 = V^Ty5 ^ 2, ^ + у2 ^ 4, у2 ^ 4 - я;2, -2 < я ^ 2,

и"—

а; + +

і + iy

з

то наименьшее значение функция ш(х) достигает при я = 0, равное

'і б) При \Z\ ^ 3 имеем у2 ^ 9 - х2, —оо < х ^ 3 ^ х <; оо. В этом

случае и(т;) - + х^, а наименьшее значение равно — при х =

= ІЗ.

Пример 23. Решить уравнение =

Решение. Учитывая, что 1 = cos2?rfc + ізїп.2тгй = имеем

?+4 = ^ _ Отсюда

гс — і

.fe к

4 1

. с

эт = г

+ _ тгк

8аИгЙ -1

? = 0,1,2,3 п-1. ^

Пример 24, Показать, что если яг + - ™ 2 cos ат то хп + ^ =

— 2 cos cm, ^

Решение. Так как дг+-=2соза, то х2 — 2oosq;k 4-1=0, х А

І1 2 — COS а ± Vcos2 а - 1 = cos a±i sin а - е*** агЧ- = в±іап + 1 х

+ __ 2сазлп (формула Эйлера).

Пример 25* Найти наибольшее и наименьшее расстояние от начала координат до точек заданной линии (а > 0, Ь > 0)

г + | 1-а.

Решение. Расстояние произвольной точки заданной ли

Х+ІУ +

i + qf

И+іГ-

Следовательно, нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции u(x) = S , заданной неявно

нии до начала координат равно S = у/х* 4* у2 — \Z\} тогда

^ 5 = О, имеем

Ьл -И&г3 - и2

Находим критическую точку из условия и1 =

х -=-¦ 0 , а

и0 - — 0) - і + + в

J

4

а3 + о2 + « і jVa3 +4Ь ± а]2 -

оїсюдз \zh2\ = \ ь ± а) .

Нэходим вторую производную и определи ем её знак в критических точках

t/'(0) = т-

В итоге имеем

IWI = = 5 (V^+45 + о) ?

Пример 26. Решить уравнение ах3 + + сх 4- d — 0. Решение. Разделив уравнение на коэффициент а, сделав замену

;; — а; 4- — и обозначив

ш

Зас - Ь* За2 -

263 cb d За3 а'

Р

получим, что исходное уравнение принимает вид у3 + ру + q = 0- Далее, вместо неизвестной у введем две нозые неизвестные переменные Z и (, полагая у =¦ z +1. Переменные z и t выбираем такие, чтобы 3zt 4- + р = 0, тогда z* -г t3 -г q ~ 0. Таким образом, имеем систему уравнений

гЧ3 -

z3 + t3 = -q

ИЛИ < 27

z3 +13 =

т.е. za и t3 есть корни уравнения и2 Щ = О,

+ 27'

«2

til - z2 =

4

? 27

It 2w fc

зі*

a

ук — Жк +fki причём нужно брать такие zk и tk, которые удовлегво- }т уравнению Sfctл* — "3 ® итоге получаем формулы Кардано

ь

2а1

Xk - Ук

4 27

О,

2 D = ЗІ ц- НІ 4 ^ 4 57

д ^ в = г/2 = уз = -5У1 = J W "

ге

р g

, COS_ій

•I fW-^-» -f

А - аа 2І ^Г Sin 7/і = 2 ^ COS

Таким образом, если в уравнении л:3 + рл; 4 g = 0

L) І? = >0tTO уравнение имеет один действительный и два

4 27 комплексных корня;

D — О, то уравнение имеет три действительных корня, среди которых есть кратные.

D < 0, то уравнение имеет три различных действительных корня.

За - 407 >

" 27 у

40? „ / га

Рассмотрим пример дг3 — Ах2 — 4х — 5 = 0. Замена у = х ^ ~ х —

4 л 28

— - приводит к уравнению jr — у

j j

11 . .sjl

і , V3

тогда:

11

a'

Замечание, В некоторых случаях удается представить кубическое уравнение в виде (разложить на множители)

аха 4 bx2 4 ст 4 d — а(г - - f.3){х - 7) = 0Т 474

тогда корни уравнения а;і = Or, х%= /3, хз — 7- Д™1 корней кубического уравнения справедливы формулы

Х\ХъХ$ =

а

ЯЇ fit

Xi + X? + ІЗ&3 — —

Если уравнение с целыми действительными коэффициентами имеет целый корень, то этот целый корень является делителем свободного члена (для рассмотренного случая делителем свободного члена d= — 5 есть ±1, ±5), а если имеет комплексный корень (а 4- if.3) кратности s, то он имеет и сопряжённый корень (с* — ifi}^той же кратности.

Пример 27. Решить уравнение = yzr™

га

Решение. Пусть а — tga, тогда (см. примеры 17 и 22)

(i±?V = LLlMg =

\i-vj 1 — І tg ф отсюда = е2іГ. и

ї — х

n

X = — -tg^

где ip — arctga, k — — 1.

VI. Логарифм комплексного числа. Комплексное число Z называется натуральным логарифмом комплексного числа Z\ {Z\ ^ 0), если Z\ = ez и обозначается Z — lsnZ\.

Логарифм является многозначной функцией, что является следствием периодичности показательной функции е^+аш* _ ^z —

Свойства логарифмов:

Ln &z = Zt LnLn Zl + ІліZi, Ln Щ- = Ln Z\ - Ln ZSh причём равенство понимается с точностью до слагаемого 2тг&?., где к — целое число.

Используя показательную форму записи комплексного числа Z — - находим Ln Z = In\Z\ -§- tip + 2iirk. Выражение In\Z\ -H iy

Называется главным значением логарифма LnZ и обозначается In Z. Таким образом, LnZ = }nZ + 2тткі, In Z = In \Z\ + цр.

Задание, Проверить правильность нахождения значении лога- рнфмов:

1п(3 + 4i) = 1п ч/32-н42 + it? = 1а 5 + і arctg a Ln(3 + 4і) =

4

= In 5 + і arctg - + ;

У

Infl -f ї) — І ln2 + ij. Ln{l-i-t) = | ln2 + ^ln(—4) и In 4 -f i7Ts Ln(-4) ^ 2 In 2 + ітг(1 + 2fc);

ht{3-3tH IhilS-iy, Ln(3-3i)= I Inl

Ln Z - Ln(a; + iy) — In у/я7 -f у2 + і arctg - 4- 2тгі;

ы « inl + il - Ln(i) = if (1 + 4fc); '

« Inl ^їтг = iir, Ln(-l) «гтг(1 +2k)\

In5 = 1q5t Ln 5 = hi 5 + 2тг*м, tp - 0.

Пусть Z\ h Zi любые комплексные числа (Zj ^ 0). тогда no определению СZi)z* = eZiLr>21.

Следооательно, степень с комплексным основанием и комплексным показателем имеет бесконечно много значений {так как Ln Z\ имеет бесконечно много значений). Если Z^ действительное целое число, то значения показателя Z^LnZj правой части отличаются между собой на кратные от 2тгі н поэтому Zf1 имеет в этом случае одно значение. Пример 28, Найти интегралы

ii = cos (In х)dx и І? - j sin (In zr) dx.

Решение.

I = /j + U2 = I [cos (In a ) -j- і sin (hi i)} dx = J eUn x dx =

— ^[cos(ln^) + sin (In a;)] 4-[sin fin x) - oaaflns)], Д — j cos (In аз) dx » Re / = ^ [cos(in a;) -V sin(ln.r)] + С

(см. также § 41),

/і ~ I sin (In х) dx — Іш J — [sin(ln я) — cos(b аг)] 4- С.

Пример 29, Разложить в ряд Маклорена следующие функции (см. § 62):

1) ^ е1 cos cos(х вїп а), /2 = ё* wsй 5Іп(я sin а);

і

, їзіпл р ? ¦2) /з = — -¦;-¦ U = — —

х — 2т cos а, 4-1

х — 2х cos а + I Р є ш с Н н е.

1) f(x)~ fi (a;) 4- if<} (я) = ex oos_ соя tt , pix sin or _ erfa>3rt+i a) _ ^ice511 _

UO 1 OO n

1 і .. .ift»ft n. I

¦ = ? ^ {coena 4- r sin na).

n=0

t Сформулируйте пределен нечастаых производных первого по- 6, что^ниывлется полным дифференциалом функции нескольких

Как6вычисляются частные производные высших порядков функ-

Сформулируйте теорему о равенстве смешанных производных.

Что называется дифференциалом высших порядков?

Ю Как находятся частные производные н дифференциалы функции

11, Шли1 формулу, которая применяется в приближённых вы-

12 Ка^определяется экстремум функции днух переменных? L3 Сформулируйте необходимые и достаточные условия экстремума

Каїґнайти наибольшее и наименьшее значения функции двух

Да^тТопрёделенне условного экстремума функции двух перемен-

Как вычисляются производная функции по направлению и его

18 ВФчёмУеостоит способ наименьших квадратов построение эмпн-

Какие существуют формы записи комплексного числа?

Какие действия можно проводить над комплексными числами?

Ї, Найти частные производные первого и второго порядков от эа-

[Г1. Наити Z^x, ZyV от данных функций:

Z — sin2(ал; 4 Ьу)\ и = ; v = axcsin(ir^).

Z = ev (cos х 4 у sin у); u — е-5ї(х cos у — у sin a;}.

Найти.если: Z = eBfiVf и = хВІп*

[V. Найти экстремумы следующих функций:

Z = x2 + (y-l)2.

Z = + у3 - 3ху.

? = Цх 4 2) - (х 4 2)э 4- I)2 + 4(у - 1).

Z — Зу3 4 - хь - Зх2 -Ь 12.

Вычислить

(1+І)'

12 -МОП

IVS-1} ' (і - і)95 - І(1 4 ІГ'

Показать что \/l + "+" — ч/б.

Выяснить геометрический смысл указанных соотношении: a} \Z-i| > 1; б) \Z-Z0\< Я; в) > Д; г) =

Решить уравнения:

б) -0.

18н Найти интеграл | еаґsin bxПредставить в показательной форме следующие комплексные числа:

a) sin tp ± г cofi у>\ б) ± sin ір 4- і cos ф.

Найти наибольшее и наименьшее расстояние от начала координат до точек заданной линии (а > 0) Z 4* і = а.

Zi I

Найти решение уравнения — 12х2 — 42х — 49 — 0.

При каком условии кубическая парабола у = х3 +рх + q касается оси Ох?

Ответы

= -Зху*(х2+у2Г%. Z'J, - -Зх*у(х2 +

4 - (1 - < = - yfo - 2)e-**f

^ - в3^, - и';х = - 2)er*V\ ^ - 4 у2)-1, vі = 2у(л>2 4 У2)-1,

= 2(у2 - 4 у3)"2, 1&, = - + у2)-2, 479

? .3

У пи „ 2Ї/

2,

_ ^ 7У/ _ 7и _ 7tf = _

4 > "t/U 2 s ^It/ ^Ifl

^ . -vy х '' "У1 аг3

Ж Sign у

V -

2 > "'Star

«і =

и.

тп

я -t-y

аґ + у

и" ^

уТ'* г/' у'У

v't = -l- 16xVt3, < - -Ах - ВхуНл> V'v -- -12х2уН\

< - -З2хг/^ЭР vSy = ift - -48aVt3>

= f = % - ад = f (i+iinj).

ж гіг J і ,

= —, nj, - — t Щ -иїпху,

t2Z,

xy 1

11Z

X * у

W'x = Ц {*-1), = -1). ub - uln2 І у

a

¦1J ТГ

1/

v!L — v?L ~ - (1 -j- z In xy),

'її

"st

xy

v

u?s = = ^ (1 + zlnxy);

1

2л:

iy

0+7?"

tt __

^ , t/' = 2ТЇ1 yy

V

1Ty ~ і , _ 5f> "ТІ

-

1+y*

1-t-x

7. Zxx = 2a2 cos 2(az + ty), Z%v = 2afj eos2(as + by\ Z" m b2 cos2(xa + fy); = u!^ (hiу - 1),

- І (14-In tiny), - ^ (Ья-1),

ту

tt

xy

жу)'

8. = Z^ » e*{smy + У cosy),

= е*(2сову ~уsiny), u'lx e~*[2y саьх(i - 2)соду],

УУ

?-ї

и

= [зїп^с - cosx + (x - 1) sm^j, и^ = cos y.

9. Z'»v = 2 + se*}, ID. = 0 при x = 0. у = 1.

480

Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников

Отзеты

li, Z,

тш

= при х — 1, у = 1. 12, Zm]n - Лри X ¦=- у s= ¦

S

40

13. = ~ при х^-2, у = 14, 4096;

16. а) Множество йсех точек, лежащих вне окружности с центром а точке (0; 1) радиуса 1;

б) внутренность круга радиуса Я с центром в точке Ма{х$,у0)'г

в) внешность этого же круга;

г) окружность того же круга.

,7Л)*-*^-^} 6)2 = 1-.

о

т] die =

,(а<МЦ* _ „(а-ЇЬ)

18

. j еа!Й siniftfdx = ^

bx)

/ -ib \ ti ^ _i елх I _±_ - fL—1 ^ -S—- (a sinbx - bcos

a ib a-ibj а +ІГ

<§41. пример 24). 19. a) sinpihicoep =cos ^ - ^ ±tsfo + f =

б) ± sim> 4- І cos tp — COS fa*fc + ^ Ipj 4. ¦ Л і. _i* -i- — w)

+ ism [2irfc + - — с ^ г

20.

l^W = \ (v^+4 + a) t |Z|Bta - ± [VPT* - a)

21. ті = «з

22. Д — 0 <см. пример 25),

<< | >>
Источник: Клименко Ю.И.. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи* Учебник для вузов /10.И. Клименко. — М,: Издательство «Экзамен»,. 736 с. (Серия «Учебник для вузов»). 2005

Еще по теме § 55. Комплексные числа:

  1. 3. Комплексные методы тестирования
  2. § 55. Комплексные числа
  3. II. Энергетическое право - комплексная отрасль законодательства
  4. Комплексные правовые институты и становление новых отраслей права
  5. Комплексные институты как компоненты системы российского права
  6. Комплексные числа.
  7. Тригонометрическая форма числа.
  8. Действия с комплексными числами.
  9. Показательная форма комплексного числа.
  10. YIII.2.1.Принцип всесторонности рассмотрения изучаемых объектов. Комплексный подход в познании
  11. Раздел 2. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
  12. 2.1. Комплексные числа и действия над ними
  13. Тема 11. Комплексные числа и многочлены.
  14. Комплексні числа. Дій над комплексними числами в алгебраїчній формі. Властивості дій