§ 55. Комплексные числа
Запись комплексного числа Z = х 4- iy называется алгебраической формой записи.
Комплексное число х -iy называется сопряжённым с комплексным числом Z — х 4- iy и обозначается 2* — a'—iy (или Z), причём легко получить равенство
z = Rc_Z = 1(2 + 2"), y = I mZ= Z-Z A Zt
Комплексное число равно нулю, если а: = 0, у = 0. Два комплексных числа хг + іУі и т2 + іу2 называются равными* если х\ = х% и уі — у?, понятие +больше* или «меньше* для комплексных чисел не существует,
Операции над комплексными числами.
Суммой (разностью) Z\±Z2 комплексных чисел Zi = х\ 4 Іуі и Z2 = 4 ЇУч называется КОА*ЛЛЄКСНОЄ ЧИСЛО Z, определяемое (сак
і
Z = Z) ±Z2='Xi±X2 + і(уі ± Уъ}- ІГ Произведением 21 іназывается комплексное число 2\ рапное
Z-Zy Zz = Z2 Zl = (xi 4 iyjixi 4 iy2) =
— XiX2 - У1У2 + і(Хіуь 4
Если
]. Zi ~ Zi - Z\ TO Z2 = (x 4 iy)2 = Xі 2ixy.
Zi = »4 iy, Z= z*xz;, {Zt + - z? + z$, (ztiy - -
Пример 1, Выполнить действия:
а) (1 4 ?;)(! - 40 - б 4
б) (3-2г)й4(1-0(1"3г);
в) (з~о(з+о+и+оо-о.
Решение.
а) (1+ г)(1 - 4i) - 6 4 4i ^ 1 4 ї - И 4 4 - G 4 4i = -1 4 Ї;
б) (3 - 2І)2 4(3- і)(1 - Зі) - Э - ДЗ* - 441 - і - Зі - 3 = 3 - ДО;
в) (3-ї)(3 4і)4 (14 00 -0-941 4 І4І - 12.
111.
Частным от деления двух комплексных чисел ^ называется комплексное число Z, равное_ ді 4 гуі _ 4 іу\ Х2 — ЦП . 4 іуі із 4 iyj — t^fe
ті- - —
—а
+ Й
,¦ (I)*
Пример 2. Следующие комплексные числа представить в алгебраической форме:
, у І-ЗІ, - ? _ (2 + і)(1+і) j) -t)(l 4 2Q.
а) Z —
Ы
(1 4 4і)2
Z = 2 — г
-7 (2 +i)(l + О + ^ 2+І + 2І-1
б) г = і l + i 3-і Т
+
І-І + 2Н-2 ^ 1_+® + З + г _ (1 + Э?)(Э+0 ( (3+»)(!-j) Ш4
1 4 і
З — І i+i (3-0(3 + 0 (І+І)(І-І)
4-2г
— і + 2 — t ^ 2, Z = 2
5i
(l+4t)3
в) Z =
5t _ 5i(-l5 - __ 40 - 75г _
-15 + tti ~ (-15 + 80(^15-Si) _ 289 ~
40
75 .
289 2891
Пример 3. Вычислить AB и ВД для матриц
=СҐ ) ¦ «-(v з)
Решен и е.
1+г 2+ Зі
ля =
З + г
-(
G + 5і і б 1
(1 + г)(3 — г) + 2 + Зг Зі(1 + г)-г(2 + Зг)
З-i + 3 + i
Зі - г(3 + і)
)-
-0(1 + 0 + Зі (3 — 0(2 + Зі) + 3г(3 + і)
+ і-і
2 + Зі ~ г(3 + і)
/ 4 +5г б + IS і \
-{ 1 з )¦
Пример 4.
Найти действительные решения следующих уравнений:
а) (3 + 4ф?+{1 = 5 +Зі;
б) <х- у)(2- і) + (х + у)(1 + г) - 4+21
Решить системы линейных ура&ненин способом Крамера и с помощью обратной матрицы:
а) Шх - 3ZS = 4, (1 + i)Zx + (1 - i)Z2 - 2 + і,
б) (-5 + 2і)яі - Zix2 - 7-і, II - = 4 + 6г.
Решение.
Учитывая, ЧТО если Z\ = то Зі — у і = У2, получим:
{
Зх -ь у 5, , л
а)
б)
4х % ^с^Да а- - 1. у - 2;
5
отсюда х = -, у = 1,
LP
Зх - у = ч ї-lt
а) 2?Лі - З?3 = 4, (1 + a)Zi + (1 - i)Zi =2 fi. Так как Л = 5 + 5Ї, Ді = 10- і, Да = -Gt го
Г — 1
10
У - Ш _ J^ " 10
7 3 л. 3
4-І = -д- = _^ + - й а 5
Вычисляем обратную матрицу, она имеет вид:
1-і
—1 — г
Я 2І
- 4
(5)-W»ii)
тогда исходную систему можно записать я следующем виде
А'
отсюда
7 0 11
10 1 * 5 5
б) (™5 + 2і)ц - Згхг «7-і» zi - ль = 4 + Л = 5 + і, Лт = = -25 + 13г, Л^ = -39 - 21 і,
56 , 45.
Xl ™ _ЇЗ ІЗ
ice 33
із =
ІЗ 13
, .-А
Обратная матрица имеет вид
Зі 5 + 2*
л-і-JLf"1 " л V -1
ІДО 33
1.
¦і, S3 ~
13
13
_ 56 45 ~ "ІЗ + 13
Пример б.
Решить уравнения а) г2 + 9 = 0; 6} я2 + 4х - 20 - 0. Решение.а) х2 -f 9 = 0, Xі = -9, хі 2 = іуЗ^ ±ЗЇ;
б) X2 + Ах + 20 - 0, Хіа - -2±ч/4^20 =
Каждое комплексное число Z = x+iy можно изображать на плоскости Оху в виде точки M(xt у) или её радиус — вектором г = — (Ш и обратно, всякая точка у) плоскости Оху может быть
рассмотрена как геометрический образ комплексного числа Z = х + \у.
Таким образом, комплексные числа могут изображаться как точками, так и векторами. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ось Ох — действительная ось. ось Оу — мнимая, Модуль числа Z ранен расстоянию точки М(х^у), изображающей это число, от начала координат. Зиедя "олярную систему координат, получим х — гсоз^з, у = гsmip, тогда Z — г cos (р + іт sin <р — r(cos tp + г він Выражение Z = r(cus Н + isin^) называется тригонометрической формой записи комплексного числа Z. ВеличиЕіьі г и tp выражаются через х и у (см. рис. 134):
т = \2 = = л/х^+у*, ҐЇО,
ір - Arg Z - Arg tg - — arctg - Ч-^тгЛ , x = rcost/ї, у — гніпу?
її
Н называются соответственно модулем и аргументом комплексного числа Z — х 4- іу. Аргумент ір комплексного числа Z определяется неоднозначно. а с точностью до слагаемого 2тгfc, где k — любое целое число.
Значение AigZ, удовлетворяющее условию 0 ^ ArgZ < 2т называется главным значением аргумента и обозначается символом sagZ. В некоторых случаям главным значением аргумента называют значение ArgZ„ удовлетворяющее условию —1Г < ArgZ ^ яг. Если г — 0, то комплексное число равно нулю и его аргумент нёопределён. Действительное число имеет аргумент 2тгк (главное значение аргумента равно нулю), если оно положительное, н (2к 4 1)тг (мавное значение аргумента равно 7г), если оно отрицательное. Если действительная часть комплексного числа равна пулю (Z = iy — называется чисто мни-мым комплексным числом), то аргумент его равен тг/2 + 2кк (главное значение аргумента равно тг/2), если у > 0 и Зтг/2 + 2ітк или -іг/2 + 4 2тгк (главное значение аргумента равно Зіт/2 или —тг/2), если у < 0.
Аргумент комплексного числа, угол считается положительным, если он отсчитьшается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки, и отрицательным при противоположном направлении отсчёта.Пример 6. Найти расстояние на комплексной плоскости между точками (ті; уі) и Ms (да! Уз), изображающими комплексные числа Zi и
Решен ие,
- 2а| - ч/C^L — =
— -Х2 + і{уі- у2)\ [si - х7 - i(yt - -
- i/(Xi-X2}2 "Г (ї/1 - У2)2-
Следовательно, искомое расстояние есть
- z2\ - VJ^^FTJ^y^.
Если дэа комплексных числа записать в тригонометрической форме Z\ -¦ 4 і sin ipi) и Z2 — г>(соз ip2 Ч- і ain^g), то
Z] ¦ Z2 = гіГзСсоя^і 4 4 Tsin^a) = .
= ГіТ^СОвУї - sm Pi Bin Pa 4* i(cos Z\ _ Г] COSy?i 4 COS 102 -- isiil ipi _ Zi COS^a cos ipi — І sin ip'i - —~(cos(^] - (eoeya 4 isin^a)(oos^a — tsin^s) = соз2 tp% 4 sin2 ^2 = 1. Таким образом, прн умножении двух комплексных чисел их модули перемножаЕотсн, а аргументы складываются. При делении двух комплексных чисел модуль числители делится на модуль знаменателя, а аргумент знаменателя вычитается из аргумента числителя. Пример 7. Записать в тригонометрической форме следующие комплексные числа: a) = ±6; 6) Zli2 = ±3i; в) Zi,2 = г) Zlt? = . Решение, Для того, чтобы комплексное число Z = х 4 iy записать в^григо но метри ческой формег нужно найти его модуль \Z\ — г = — sjх2 4 у2 и значение аргумента который спяздц с координатами х и у следующими формулами tgp = -, cos ip — —, fijn іір — причём нн одна из этих формул в отдельности не позволяет найти tp ІЕО заданным хну. а) Любое действительное число а можно записать в тригонометрической форме, а > G, а ™ |а [cos(G 4 2тгА:) 4ізіп(0 4 2іг/>)] и. если ограничиться главным значением аргумента (k = 0), то a = a(cos0 4 isiriO), a < 0, о = |а|[соа(тг -r 2тг*) 4ії>ітфг 4 2тг^)] и, если ограничиться главным значением аргумента (к — 0), то а = |a|(cos7r4 і smfr)). Тогда: G ^ G|cos(0 4^*) 4 і зів (0 4 2ЇГ*)] и при A' = 0Г 6 = 6(cos 0 4 І sm 0); -С = G[cus(?r4 27rfc) 4 t аіп(тг 4 2тг&)] и при к - 0, -6 — Є(совтг 4 4гзт1г). б) Z = Зг. равен ^ 4 2тгк, если у > 0 н Щ +2ттк (или —TJ 4 %тгк) при у < 0. Тогда: ? ?t Jj Зі = 3 [сов + -Hsin + прик=0, Зі = 3 (cos ^ 4-і sin или —Зі — З при k — 0, -Зі = 3 (coa у + tsin при fc = Op -Зі = 3 (cos (-5) -J-isin (-5))- B) 1. Zi = 1 4- . Так как ж - 1 > 0, у = /З > 0, г = 2, то Zi лежит в первой координатной четверти, a tg-p = \/3 соответствует tp = « — 4- 2тг&. г 1 %/з Другой способ- Так как cosy = -¦ = siny> — - = —то р находится в первой координатной четверти и равен ^ + 2тгк. Следова- о телъно, Zv =1 + 1^/3 =2 + -Hsin^ 4-2**)], при к — О, Z\ — 1 + гу/3 - 2 ^соз-Неш^. 2. Zi — I - гч/3 . Zi лежит в четвёртой четверти (Ї > 0, у < 0) н tgy? = -ч/З, тогда ф шш ~ + 2тг& (или или так как cos^ = 1 V3 = simp — Ч* находится Ft четвёртой координатной четверти cos (у + + ism 4 ЗтгА:) І, при к — 0, Zi — 1 — iyfb = 2 (соз у +ІЗІП или при fc^O, Z2 - 1-іУз + г) І ^ -З -Ь iV3. Zi = -З = 2\/3 cos (у -ffcrJfc)], при = -3 4-гу^ 2. - -3 - iv/3. и равен tp = ^ -f (или —? + 2irfc). Тогда 3 о Zi = 1 - іуД = 2 IBS z2 =-3 ^ iV3 = 2 л [cos + Зтгkj +isin (^y + 2*а)], при Jt = 0, ^a = -3 - іл/ь ^ 2<Д (сов 4-ism или = -3 - is/3 = [cos + 2irfc) 4 і tin (-у + при fe =Q, Za--3-*V5 = 2\/3 [oos^'^J -isin^-yj]. Для того, что?ы э г писать комплексное число Z = і 4 гу з показательной форме Z = тсЧ используем формулы Эйлера (см. § 62) е1^ — coav> 4 і віп іp, _ ^ ^ _ j ^ cus^ = І 4 c-^l gin выражающие показательную функцию через тригонометрическую и об-ратно. Тогда получим z = х -\-iy = г (cos ур + і sin уэ) = ге11р. Используя формулы Эйлера, можно выразить любую целую положительную степень соз;г: и sin а:, а также их произведения в виде суммы членов, содержащих лишь первые степени синусы и косинусы кратных ду]-: cos4 Ї = / —3—) = | (е3** 4 <Г*ІХ + Зе"'1 4 Зв") = — (сов За: -I- Зсоза:), . Bt ^ + є" sin х cos аг — - m F _ 0-І*j = ^(аіпЗя + зіпл) Пример Предстойнть в показательной форме следующие комплексные числа: й) Zi 2 = -2±2ї\/3; 6} 2 = -4±5І; и) ZJj3 = 3±2i; г) Zlt2 = —3±4i. = — 7 (ЗШ 3;Г — З ЗІЦ ї) , 4 Решение Ограничимся главными значенням ^аргументов а) Zi = -2 4 2І>/3 = 4 (cos у 4 і sin у) = ; -» -2 - 2i\/3 = 4 ^cos у 4 iain yj = 4й1 з = і б) Zi = -4 4 St - v^Ifcosp = tp = tt - arctg Za - -4- Si - s/4X (сой^ 4 isiu v7) = лДТсЧ = тг 4 axctg - или = 5 = -7Г 4 arctg —. * , 2 в) Zi — 3 4 2i — \/ЇЗ(со5<р 4 ism у?) - \/іЗ e^ s= 3 - 2i - s/ІЗ (cos ^ -і- і sin p) = \ЛЗ 9 - - arctg - 4 r) Zi — -3 4 4г — 5{cosp 4 isin^) — Se'*, Замечание. Для определения углов tp можно воспользоваться таблицей из §7 (см. также Приложение). IV. Возведение в степень, При возведении в степень можно пользоваться формулами Эйлера Zn = {х 4 iy)" - [r(cos tp 4 ism^)]" = = rVn* = rn(cosnip 4 4 isinrup). Формула . , [r(cos^> + tsm^)J = г {cosrup 4 і sinn^) называется формулой Муавра. Она показывает, что при возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени. Подчеркну что формула Муавра применима при любом значении п: целом, дробном, положительном, отрицательном. Пример 9. Выполнить указанные действия: a) (cos 12°±isin 12°)5; б) (-1 4 i\/Z )3; в) (1 - ї)е(1 4 і)*\ \ д, е) d-^)3 (і - «т (л/3 - «)' Решение. т ,- 5 а) (соя 12°dtsin 12°)6 - =«±ї ^ СовбО°±г8ШбОс = 1 ±г\/з 6) (-1 + WЗ)3 = {2 [cos -Н2тгА) + і sin + 2**}] = = 8 HiSirfcj = _ 8[oos(2?r + 67rA) +ism(2ir -f бтгА:)] = 8, Другой способ. Используя формулу [а + Ь}3 — а3 4- 3а?Ь 4- 3аЬ2 + Ьа few. Приложение), получим (—1 -И*/?)3 = -1 + Зз\/5 + 3 - 3 — Зг^/З — - -1 н-9 = 8. в) (i-i)0(l + *)4=*{V2 [cos + х х |V2 ¦'соя + 2тгАг^ +imn (j 4- - _ + , gftr+etirtf _ _ „32і - 2е [cos + 2frfc) + і sin (fe + - ЛЮ-і-иа-fc = 2е = 64. jO (i+o10 _ gvt^^ __ 9i _ 2i (i - 01 3 і ^ ?r+2i irfc 2_ j-1 sF ' -I Л Є T 3c* ^7Г+Щ7Г*' (і-іУз)3 _ - i)fJ V. Извлечение корня нэ комплексного числа Комплексное число Zi = \fZ называется корнем п-й степени из комплексного числа Z} если » Z, Из определения следует, ЧТО ҐІ = , =S — tp. Так как аргумент комплексного числа определён неоднозначно, з с точностью до 2ігЛе, поэтому ^зі — — (ір 4-2тг/;). Следовательно, п П f—f Т -П.Г- / + 2я7с . . . (р + 2 y>(cosi? 4 гэту?) - у/т (cos —— h і sin. ——— j іp + 2nk^ Таким образом, для извлечения п-Й степени нэ комплексного числа надо извлечь корень n-й степени из модуля данного комплексного числа, а аргумент данного комплексного числа разделить на п. Для получений ясех значений корня надо иметь в виду многозначность аргумента, т. е, корень n-й степени из комплексного числа имеет п различных значений. Пример 10. Найти значения: VI; л/l ; ^14- і, и решить уравнения а:5 + 32 = 0 и хп — 1 — 0. Решение, Так как Т0 \) у/і — = COS + ТГ*) + l sb (I + 7rfc) . Полагая находим два значения корня 7г , . . it 1 + і k = 0t Т! - cos +tsmj = / їг . \ , , . / тг . N зг .,-їг 1-fi При дальнейших значениях к корни будут повторяться. у/Г^Д = к = о,ті — %/5 (cos^-iain^) = -0; = = (cos^ Hsin ---^{n/3- г) Учитывая, что 1-М = \/2 c1^+2l7rfc, получим A: = 0, xv = \/2 (cos ^ + isin , j . б/Л / Зтг . . Зтг\ —1 + і 3:2 = \72 ^cos — + г sin —j = , Л — 2, лгз — (cos yf ^-H sin . При дальнейших значеннях к корни будут повторяться. хь + 32 = О, хь = -32, х ~ fy-32, так как -1 - то я = 5^32 - й'ззеьнз*** = =2Lcosu+T-)+tsm(5 + — JJ к = 0, xi = 2 (cos ~ н~ f sin J ^; к= 1.^ = 2 (cos^+isin^); Аг = 2R x$ = 2 (COSTT + і sin ТГ) = -2; A- = З, X4 = 2 (cos ~ + і sin J ; k = 4. = Комплексные числа 5) zrt - 1 = 0, Xя = 1, х = VI ^ ї/oos (0 4 2тг?) +- ism (0 + = „ТгАг . - - _7Tfc ¦ , л -і n і = c* я я cos 2 b tsm 2—h k — 0-1,2,... t n — 1, 71 11 а) Если n = 3, то решение уравнения ap^ — 1 — 0 есть 2 2 + ] = cos - irk +1 sin - itk\ к = Ot ал = 1; j і I , V3 fe = it » + С) Если n = 4, то решение уравнения зг'( — 1 = 0 есть a;jt+L = соз — Л: + і sin ~ А; Й Jb (1 + і) А* = 0» Яі = L; к - I, гса = і; А я 2, = —1; к = 3, = —і. Пример 11„ Вычислить Л = Решение, Ограничиваясь главными значениями аргументов и учитывая/что 1 = ^Де^, а также (1 + г)*14 = 2*VU* = 222єі7Т = = -2™ (1 + і)'12 = і22\ (1 - і)40 = ї™ получим Л = 4/3. Пример 12. Выяснить геометрический смысл указанных соотношении: |Z]<1; 2)1<\г~ 1\<2. 3) \Z- 21 + |2 + 2| = 5. Решение, t ]) Так как \Z\ ^ Jzff = ^^Іуї^^іу) - т/я2 + у2 , то 1 или ^Д2 + у2 < 1, те. л;2 + у2 ^ 1, Следовательно, неравенство \Z\ ^ 1 — есть Круг С центром в начале координат радиуса R = 1, включая точки окружности. 1 < \Z - 1| < 2 — соответствует 1 < ^/{z - I}2 + у2 < 2 яли 1 < <4. Неравенство 1 < — Х| < 2 — есть кольцо между двумя окружностями радиусов Ях = 1 и J?i = 2 с общим иентром в точке (1; 0). невключан точки окружностей. Учитывая, что \Z-Ya\ — fjcH-o+ty! = + а + іу)(х +а - 55 = \ДхТ~а^Туї, для исходного вьфажения получим Уеднннп один из радикалов н возведя в квадрат, ^находим 10л/(д; -ь 2)2 4 у2 — 25 4 8а1, возведя снова в квадрат, имеем -5 + yj - а Ь =а 1 ¦— эллипс с полуосями а = 2,5, b = 1,5, Пример 13, Решить уоавнения: 2) \Z\ -Z^ 1 4 Зі, Решение. Исходное уравнение имеет вид х2 - у1 4 2хуі = 3 — -ЇЇ' ИЛИ х2 - у2 — 3, ху — -2. Решение этой системи есть я =s ±2, у = ^1, тогда искомое решение можно записать а виде Від = ±2 =F і Аналогично: + v/2 - х - iy = 1 + Зі или + у2 = 1 4 я; у = —3. Отсюда имеем х = 4, у = -3, тогда искомое решение Z 4 - 3*. Пример 14. Найти интеграл Jcai5 cosbxdx, используя формулы Эйлера, Решение. a + ib 2 ц —• it J cos bx dx = ± J 4 ех<й~іЬ)} dx~± -«і] _ 2(aJ 4 - —у—у-[(g - + {a 4 = ¦ у- -, (acos kr + b sin fcr) (см. § 41, пример 24). Пример 15. Найти з/W(а?), если 3/(1) = е^сокя. Решение. Так как cosx = і (e,f f Г"), то = ^ (e*(J49 4 4 Тогда у <">(*) = ^(14- г)*ей<1+0 4 |(2 - Учиты- Г ЇГ еая. что 1 dt * = получим - і 25 ^-Ci+Wffi + = cos (а: 4 . Пример 16, Найти если у(х) ~ у1 _ ї4Й' Решение. ¦ , Ч _ 1 _ 1 _ J_ { І 1 \ х2 4 &2 (а?4іа)(аг — іа і4іа/' тогда / ^ 1 { МГг^І 2іа (я і- id) — 468 х |(ж 4m)n+1 — (яг — ia)n+1]. Учитывая, что х + га — т/х'2 4 а5 у> arctg находим ? - {-1)п~ (х2 4 sin(n 4l)ip. Итак, искомая производная равна Пример 17. Найти если у (а;) = еЛТ соь(Ьл + с), Решен ие. = [еЯІ CQR(bx 4 e)lW = і + \ ^ Н md = і + гЬ)11 + І [д _ ^ ы Z Введём дополнительный угол или то же самое запишем комплексные числа в тригонометрической форме a b COS ip = j , am w = , . . - 5 V^+b7 V»2 + b2 a±ib — \f a? 4- b2 (cos ^ ± г simp) — \f a1 4 bs тогда j^O(i) = є**(а2 І- Ь3)Т І [e^-HH-»?») -j- = — {a2 + b2)%eax соя(bx + с 4- і up), Аналогично можно подучить, если j/(;r:) ¦= є?*3lb(fcs 4- с), то ™ — (аа 4 4- с, -\-nip), ф = arctg-, fl Пример І8. Доказать равенстяо 1-і tg tp \Л _ і — і tg tup 1 4 і tg tp J 1 4 і tg пуз1 где n — целое, у ф ^ 4 Jbr, лр ф ^ + Лтг, РЄШЄНИЄн ( 1 — itgy? Vі _ / coa^? — lyin у У* _ ( — — T+Ttg^j ~ in^J J " e~ coamp^isinri^ _ 1 - t^tg ng zoftntp 4 іеіігті^ l+itgnip1 причем d = - сой 2)Vfi - і sin 2nv = LliMZZ, l + ltgTt^ 1Л Пример 19- Выполнить указанные действия; а) (1 + cosa + *sma)"; б) (1 - cosa + :siiift}1 ^ Решение. Так как 1 + cos а = 2 cos3 -, 1 - cos л - 2am2 ЗШЙ = = 2sin Ц cos то: а) (1 +cosa + isina)tl = 2ті cosn | ^соз| -Иsin = on ^п a „ a { па . . тіл\ — 2п COS 2 2 t'сон ~2~ г5Л1 ' б) (1 - СОЙО +»вілаГ = 2-і" sin* § («я | -isin = а І SI г Д] it " л'"^ л—И = 2Л sin - е" * - е а 5Г = 2nshiu - е^ = 2 ~ 2ті sin" ^ ^соз ^ (тг — ос) + івіп ~ (* — а)] ¦ Пример 20. Найти суммы Sj = cos х 4- cos 2т + + cosпя и = sinx + sm2x + ... + еізиїж. Решение, Рассмотрим сумму 5 = Si Н-= cos х ч- і sin д: + сов2я + + ... + +- cos tix + і sin nx = e" + еїіг -I- -. ¦ + emi = J*1 ЇІХ -1 — сумма геометрической прогрессии (а — 1, q = е"). Учитывая, что получим лт е1 "2 е^ sin x sm- 2i sin - ru: = (cos І(n + г) +isin I+' 2 470 оте юда их sin JSI = Re S cos x — cos 2x -Ь .., cos nx — cos ^ (ft -Ы Bin 2 TLX sir S2 ї= Iin S = sir x sin 2:n ¦+ .-, + зіn nx = — —sin - (rc + I). Пример 21. Найти асе значения следующих степеней; б) і*; в) 3і; г)(3-4і)] + (. Решение. а) « (cos2*? + ism2ir*)^ = = — cos 2nk V3 + і sin 2rr fcV3 ; б) i< = [cos (I + + і sin + 2їг*)]1 = e-5'. е-їU+^J; a) 3* - [3(cos -f- г sin 2tt&)J* = [«""V'^f = = c"7rh (COB In 3 + г sin In 3); r) (3 - 4- [5(cos^ + iaunp)] ** = = i) = 5ear,ltJT і Гсой (in 5 -- arctg + ? sin (in5 - arctg j - їіример 22. Шйтн наименьшее значение, принимаемое функцией и= Z + , где 2 — комплексная переменная: a) |Z| <2; б) |Z| ?3. Решение. _ а) Так как \Z\ = v^T7 = V^Ty5 ^ 2, ^ + у2 ^ 4, у2 ^ 4 - я;2, -2 < я ^ 2, и"— а; + + і + iy з то наименьшее значение функция ш(х) достигает при я = 0, равное 'і б) При \Z\ ^ 3 имеем у2 ^ 9 - х2, —оо < х ^ 3 ^ х <; оо. В этом случае и(т;) - + х^, а наименьшее значение равно — при х = = ІЗ. Пример 23. Решить уравнение = Решение. Учитывая, что 1 = cos2?rfc + ізїп.2тгй = имеем ?+4 = ^ _ Отсюда гс — і .fe к 4 1 . с эт = г + _ тгк 8аИгЙ -1 ? = 0,1,2,3 п-1. ^ Пример 24, Показать, что если яг + - ™ 2 cos ат то хп + ^ = — 2 cos cm, ^ Решение. Так как дг+-=2соза, то х2 — 2oosq;k 4-1=0, х А І1 2 — COS а ± Vcos2 а - 1 = cos a±i sin а - е*** агЧ- = в±іап + 1 х + __ 2сазлп (формула Эйлера). Пример 25* Найти наибольшее и наименьшее расстояние от начала координат до точек заданной линии (а > 0, Ь > 0) г + | 1-а. Решение. Расстояние произвольной точки заданной ли Х+ІУ + i + qf И+іГ- Следовательно, нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции u(x) = S , заданной неявно нии до начала координат равно S = у/х* 4* у2 — \Z\} тогда ^ 5 = О, имеем Ьл -И&г3 - и2 Находим критическую точку из условия и1 = х -=-¦ 0 , а и0 - — 0) - і + + в J 4 а3 + о2 + « і jVa3 +4Ь ± а]2 - оїсюдз \zh2\ = \ ь ± а) . 8Ь Нэходим вторую производную и определи ем её знак в критических точках t/'(0) = т- В итоге имеем IWI = = 5 (V^+45 + о) ? Пример 26. Решить уравнение ах3 + + сх 4- d — 0. Решение. Разделив уравнение на коэффициент а, сделав замену ;; — а; 4- — и обозначив ш Зас - Ь* За2 - 263 cb d За3 а' Р получим, что исходное уравнение принимает вид у3 + ру + q = 0- Далее, вместо неизвестной у введем две нозые неизвестные переменные Z и (, полагая у =¦ z +1. Переменные z и t выбираем такие, чтобы 3zt 4- + р = 0, тогда z* -г t3 -г q ~ 0. Таким образом, имеем систему уравнений гЧ3 - z3 + t3 = -q ИЛИ < 27 z3 +13 = т.е. za и t3 есть корни уравнения и2 Щ = О, + 27' «2 til - z2 = 4 ? 27 It 2w fc зі* a ук — Жк +fki причём нужно брать такие zk и tk, которые удовлегво- }т уравнению Sfctл* — "3 ® итоге получаем формулы Кардано ь 2а1 Xk - Ук 4 27 О, 2 D = ЗІ ц- НІ 4 ^ 4 57 д ^ в = г/2 = уз = -5У1 = J W " ге р g , COS3 = _ій •I fW-^-» -f А - аа 2І ^Г Sin 7/і = 2 ^ COS Таким образом, если в уравнении л:3 + рл; 4 g = 0 L) І? = >0tTO уравнение имеет один действительный и два 4 27 комплексных корня; D — О, то уравнение имеет три действительных корня, среди которых есть кратные. D < 0, то уравнение имеет три различных действительных корня. За - 407 > " 27 у 40? „ / га Рассмотрим пример дг3 — Ах2 — 4х — 5 = 0. Замена у = х ^ ~ х — 4 л 28 — - приводит к уравнению jr — у j j 11 . .sjl і , V3 тогда: 11 a' Замечание, В некоторых случаях удается представить кубическое уравнение в виде (разложить на множители) аха 4 bx2 4 ст 4 d — а(г - - f.3){х - 7) = 0Т 474 тогда корни уравнения а;і = Or, х%= /3, хз — 7- Д™1 корней кубического уравнения справедливы формулы Х\ХъХ$ = а ЯЇ fit Xi + X? + ІЗ&3 — — Если уравнение с целыми действительными коэффициентами имеет целый корень, то этот целый корень является делителем свободного члена (для рассмотренного случая делителем свободного члена d= — 5 есть ±1, ±5), а если имеет комплексный корень (а 4- if.3) кратности s, то он имеет и сопряжённый корень (с* — ifi}^той же кратности. Пример 27. Решить уравнение = yzr™ га Решение. Пусть а — tga, тогда (см. примеры 17 и 22) (i±?V = LLlMg = \i-vj 1 — І tg ф отсюда = е2іГ. и ї — х n X = — -tg^ где ip — arctga, k — — 1. VI. Логарифм комплексного числа. Комплексное число Z называется натуральным логарифмом комплексного числа Z\ {Z\ ^ 0), если Z\ = ez и обозначается Z — lsnZ\. Логарифм является многозначной функцией, что является следствием периодичности показательной функции е^+аш* _ ^z — Свойства логарифмов: Ln &z = Zt LnLn Zl + ІліZi, Ln Щ- = Ln Z\ - Ln ZSh причём равенство понимается с точностью до слагаемого 2тг&?., где к — целое число. Используя показательную форму записи комплексного числа Z — - находим Ln Z = In\Z\ -§- tip + 2iirk. Выражение In\Z\ -H iy Называется главным значением логарифма LnZ и обозначается In Z. Таким образом, LnZ = }nZ + 2тткі, In Z = In \Z\ + цр. Задание, Проверить правильность нахождения значении лога- рнфмов: 1п(3 + 4i) = 1п ч/32-н42 + it? = 1а 5 + і arctg a Ln(3 + 4і) = 4 = In 5 + і arctg - + ; У Infl -f ї) — І ln2 + ij. Ln{l-i-t) = | ln2 + ^ ht{3-3tH IhilS-iy, Ln(3-3i)= I Inl Ln Z - Ln(a; + iy) — In у/я7 -f у2 + і arctg - 4- 2тгі; ы « inl + il - Ln(i) = if (1 + 4fc); ' « Inl ^їтг = iir, Ln(-l) «гтг(1 +2k)\ In5 = 1q5t Ln 5 = hi 5 + 2тг*м, tp - 0. Пусть Z\ h Zi любые комплексные числа (Zj ^ 0). тогда no определению СZi)z* = eZiLr>21. Следооательно, степень с комплексным основанием и комплексным показателем имеет бесконечно много значений {так как Ln Z\ имеет бесконечно много значений). Если Z^ действительное целое число, то значения показателя Z^LnZj правой части отличаются между собой на кратные от 2тгі н поэтому Zf1 имеет в этом случае одно значение. Пример 28, Найти интегралы ii = cos (In х)dx и І? - j sin (In zr) dx. Решение. I = /j + U2 = I [cos (In a ) -j- і sin (hi i)} dx = J eUn x dx = — ^[cos(ln^) + sin (In a;)] 4-[sin fin x) - oaaflns)], Д — j cos (In аз) dx » Re / = ^ [cos(in a;) -V sin(ln.r)] + С (см. также § 41), /і ~ I sin (In х) dx — Іш J — [sin(ln я) — cos(b аг)] 4- С. Пример 29, Разложить в ряд Маклорена следующие функции (см. § 62): 1) ^ е1 cos cos(х вїп а), /2 = ё* wsй 5Іп(я sin а); і , їзіпл р ? ¦2) /з = — -¦;-¦ U = — — х — 2т cos а, 4-1 х — 2х cos а + I Р є ш с Н н е. 1) f(x)~ fi (a;) 4- if<} (я) = ex oos_ соя tt , pix sin or _ erfa>3rt+i a) _ ^ice511 _ UO 1 OO n 1 і .. .ift»ft n. I ¦ = ? ^ {coena 4- r sin na). n=0 t Сформулируйте пределен нечастаых производных первого по- 6, что^ниывлется полным дифференциалом функции нескольких Как6вычисляются частные производные высших порядков функ- Сформулируйте теорему о равенстве смешанных производных. Что называется дифференциалом высших порядков? Ю Как находятся частные производные н дифференциалы функции 11, Шли1 формулу, которая применяется в приближённых вы- 12 Ка^определяется экстремум функции днух переменных? L3 Сформулируйте необходимые и достаточные условия экстремума Каїґнайти наибольшее и наименьшее значения функции двух Да^тТопрёделенне условного экстремума функции двух перемен- Как вычисляются производная функции по направлению и его 18 ВФчёмУеостоит способ наименьших квадратов построение эмпн- Какие существуют формы записи комплексного числа? Какие действия можно проводить над комплексными числами? Ї, Найти частные производные первого и второго порядков от эа- [Г1. Наити Z^x, ZyV от данных функций: Z — sin2(ал; 4 Ьу)\ и = ; v = axcsin(ir^). Z = ev (cos х 4 у sin у); u — е-5ї(х cos у — у sin a;}. Найти.если: Z = eBfiVf и = хВІп* [V. Найти экстремумы следующих функций: Z = x2 + (y-l)2. Z = + у3 - 3ху. ? = Цх 4 2) - (х 4 2)э 4- I)2 + 4(у - 1). Z — Зу3 4 - хь - Зх2 -Ь 12. Вычислить (1+І)' 12 -МОП IVS-1} ' (і - і)95 - І(1 4 ІГ' Показать что \/l + "+" — ч/б. Выяснить геометрический смысл указанных соотношении: a} \Z-i| > 1; б) \Z-Z0\< Я; в) > Д; г) = Решить уравнения: б) -0. 18н Найти интеграл | еаґsin bx a) sin tp ± г cofi у>\ б) ± sin ір 4- і cos ф. Найти наибольшее и наименьшее расстояние от начала координат до точек заданной линии (а > 0) Z 4* і = а. Zi I Найти решение уравнения — 12х2 — 42х — 49 — 0. При каком условии кубическая парабола у = х3 +рх + q касается оси Ох? Ответы = -Зху*(х2+у2Г%. Z'J, - -Зх*у(х2 + 4 - (1 - < = - yfo - 2)e-**f ^ - в3^, - и';х = - 2)er*V\ ^ - 4 у2)-1, vі = 2у(л>2 4 У2)-1, = 2(у2 - 4 у3)"2, 1&, = - + у2)-2, 479 ? .3 У пи „ 2Ї/ 2, _ ^ 7У/ _ 7и _ 7tf = _ 4 > "t/U 2 s ^It/ ^Ifl ^ . -vy х '' "У1 аг3 Ж Sign у V - 2 > "'Star «і = и. тп я -t-y аґ + у и" ^ уТ'* г/' у'У v't = -l- 16xVt3, < - -Ах - ВхуНл> V'v -- -12х2уН\ < - -З2хг/^ЭР vSy = ift - -48aVt3> ж гіг J і , = —, nj, - — t Щ -иїпху, t2Z, xy 1 11Z X * у W'x = Ц {*-1), = -1). ub - uln2 І у a ¦1J ТГ 1/ v!L — v?L ~ - (1 -j- z In xy), 'її "st xy v u?s = = ^ (1 + zlnxy); 1 2л: iy 0+7?" tt __ ^ , t/' = 2ТЇ1 yy V 1Ty ~ і , _ 5f> "ТІ - 1+y* 1-t-x 7. Zxx = 2a2 cos 2(az + ty), Z%v = 2afj eos2(as + by\ Z" m b2 cos2(xa + fy); = u!^ (hiу - 1), - І (14-In tiny), - ^ (Ья-1), ту tt xy жу)' 8. = Z^ » e*{smy + У cosy), = е*(2сову ~уsiny), u'lx e~*[2y саьх(i - 2)соду], УУ ?-ї и = [зїп^с - cosx + (x - 1) sm^j, и^ = cos y. 9. Z'»v = 2 + se*}, ID. = 0 при x = 0. у = 1. 480 Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников Отзеты li, Z, тш = при х — 1, у = 1. 12, Zm]n - Лри X ¦=- у s= ¦ S 40 13. = ~ при х^-2, у = 14, 4096; 16. а) Множество йсех точек, лежащих вне окружности с центром а точке (0; 1) радиуса 1; б) внутренность круга радиуса Я с центром в точке Ма{х$,у0)'г в) внешность этого же круга; г) окружность того же круга. ,7Л)*-*^-^} 6)2 = 1-. о т] die = ,(а<МЦ* _ „(а-ЇЬ) 18 . j еа!Й siniftfdx = ^ bx) / -ib \ ti ^ _i елх I _±_ - fL—1 ^ -S—- (a sinbx - bcos a ib a-ibj а +ІГ <§41. пример 24). 19. a) sinpihicoep =cos ^ - ^ ±tsfo + f = б) ± sim> 4- І cos tp — COS fa*fc + ^ Ipj 4. ¦ Л і. _i* -i- — w) + ism [2irfc + - — с ^ г 20. l^W = \ (v^+4 + a) t |Z|Bta - ± [VPT* - a) 21. ті = «з 22. Д — 0 <см. пример 25),