Комплексні числа. Дій над комплексними числами в алгебраїчній формі. Властивості дій

Число a+bi, де a і b — будь-які дійсні числа, i — уявна одиниця, називається комплексним числом (a — дійсна частина, bi — уявна частина комплексного числа, а b — коефіцієнт при уявній частині).

Дії над комплексними числами.

Нехай дано два комплексні числа z1=a1+b1i і z2=a2+b2i.

а) Додавання комплексних чисел

Сумою двох комплексних чисел a1+b1i і a2+b2i називається комплексне число (a1+a2)+(b1+b2)i, дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при уявних частинах додатків.

Приклади (додавання комплексних чисел):

1. (−3+5i)+(4−8i)=(−3+4)+(5−8)i=1−3i

2. (3+2i)+(−1−5i)=(3−1)+(2−5)i=2−3i

3. (2+3i)+(6−3i)=(2+6)+(3−3)i=8−0i=8

4. (10−3i)+(−10+3i)=(10−10)+(−3+3)i=0−0i=0

б) Віднімання комплексних чисел

Різницею двох комплексних чисел a1+b1i і a2+b2i називається комплексне число (a1−a2)+(b1−b2)i.

Приклади (віднімання комплексних чисел):

1. (−5+2i)−(3−5i)=(−5−3)+(2−(−5))i=−8+7i

2. (6+7i)−(6−5i)=(6−6)+(7+5)i=12i

3. (0,3+2,5i)−(−0,75+1,5i)= (0,3+0,75)+(2,5−1,5)i=1,05+i

в) Множення комплексних чисел

Добутком двох комплексних чисел a1+b1i і a2+b2i називається комплексне число (a1a2−b1b2)+(a1b2+b1a2)i.

Приклад (множення комплексних чисел):

(1−2i)⋅(3+2i)=(1⋅3−(−2)⋅2)+(1⋅2+(−2)⋅3)i=(3+4)+(2−6)i=7−4i.

г) Ділення комплексних чисел.

Часткою комплексних чисел a1+b1i і a2+b2i називається комплексне число

a1a2+b1b2a22+b22−a1b2−b1a2a22+b22i.

Приклад (знайти частку комплексних чисел):

7−4i3+2i=(7−4i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=13−26i13=1−2i. 42.