Розклад елементарних функцій в ряди Тейлора та Маклорена

Якщо функція є сумою степеневого ряду

(66)

то такий ряд називають рядом Тейлора, а вираз (66) називають розвиненням функції у степеневий ряд.

(67)

і називається рядом Маклорена для функції .

Розглянемо приклади розвинення у степеневі ряди деяких елементарних функцій.

Розвинути у степеневий ряд функцію . Знайдемо похідні даної функції:

При одержимо

Одержані значення підставимо у ряд Маклорена (67). Одержимо розвинення функції у степеневий ряд

(68)

Аналогічно можна знайти розвинення інших функцій у степеневі ряди. Так

(69)

Ряд (69) називають біноміальним рядом. Цей ряд збігається при

Степеневі ряди мають широке застосування в точних та наближених обчисленнях функцій, інтегралів, наближеному розв’язуванні диференціальних рівнянь та інших випадках. 41.